數(shù)學(xué)課件人A必修5第一章1.1.2

第一章

1.1.2余弦定理1.1正弦定理與余弦定理1.余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即a2=

，b2=

，c2=

，b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accos

Ba2＋b2－2abcos

C2.余弦定理的推論在△ABC中，cosA＝

，

cosB=

，

cosC＝

，3.余弦定理及其推論的應(yīng)用應(yīng)用余弦定理及其推論可解決兩類(lèi)解三角形問(wèn)題：

(1)已知兩邊及其夾角解三角形；

(2)已知三邊解三角形．1.若△ABC為鈍角三角形，且A>90°，則三邊a，b，c滿足什么關(guān)系？

2.已知三角形的兩邊及其夾角，三角形的其他元素是否唯一確定？考點(diǎn)1已知兩邊及一角解三角形例1：在△ABC中，已知b＝3，c＝3

，B＝30°，求A、C和a.

[自主解答]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos30°，a2－9a＋18＝0，∴a＝6或a＝3.當(dāng)a＝6時(shí)，由正弦定理，得sinA＝

＝

＝1，

∴A＝90°，C＝60°.當(dāng)a＝3時(shí)，A＝30°，C＝120°.若將“c＝3

，B＝30°”改為“c＝2，A＝30°”，應(yīng)如何求解此三角形？三角形中，已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解．1.在△ABC中，邊a，b的長(zhǎng)是方程x2－5x＋2＝0的兩個(gè)根，C＝60°，求邊c.

解：由題意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝.考點(diǎn)2已知三邊(三邊關(guān)系)解三角形例2：在△ABC中，已知a＝2

，b＝

，c＝3＋

，解三角形ABC.已知三邊解三角形的方法及注意事項(xiàng)：(1)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，思路清晰，結(jié)果惟一．(2)由余弦定理的推論求一個(gè)內(nèi)角的余弦值，確定角的大?。挥烧叶ɡ砬蟮诙€(gè)角的正弦值，結(jié)合“大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊”法則確定角的大小，最后由三角形內(nèi)角和為180°確定第三個(gè)角的大?。?3)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．2．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，試求AC邊上的中線長(zhǎng)．考點(diǎn)3利用余弦定理判斷三角形的形狀例3:在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀．利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)：(1)利用余弦定理(有時(shí)還要結(jié)合正弦定理)把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．

3.在△ABC中，acos(B＋C)＋bcos(A＋C)＝ccos(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為()A．B．C.D.2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()

A.B.C.D.4.在△ABC中，b2＝ac，c＝2a，則cosB＝________.5.△ABC為鈍角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，則x的取值范圍是________．解析：由已知條件，lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B.由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形為直角三角形．答案：直角三角形6.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長(zhǎng)．解析：根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝2.答案：D一、選擇題1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊c的值是()A．8B．2C．6D．22．在△ABD中，a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°3．在△ABC中，a，b，c為角A、B、C的對(duì)邊，且b2＝ac，則B的取值范圍是()

4.已知△ABC的三邊滿足(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，則C等于()A．15°B．30°C．45°D．60°5.在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，則△ABC的形狀為_(kāi)_____________．二、填空題解析：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac又∵b2＝ac，∴ac＝a2＋c2－ac.即(a－c)2＝0.∴a＝c.