2MATLAB的數(shù)值計算分析

第二講MATLAB的數(shù)值計算——matlab具有出色的數(shù)值計算能力，占據(jù)世界上數(shù)值計算軟件的主導(dǎo)地位數(shù)值運算的功能創(chuàng)建矩陣矩陣運算多項式運算線性方程組數(shù)值統(tǒng)計線性插值函數(shù)優(yōu)化微分方程的數(shù)值解一、命令行的基本操作創(chuàng)建矩陣的方法直接輸入法規(guī)則：矩陣元素必須用[]括住矩陣元素必須用逗號或空格分隔

在[]內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔

矩陣元素可以是任何matlab表達式，可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)可用特殊函數(shù)I，j輸入

a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

矩陣元素符號的作用逗號和分號的作用

逗號和分號可作為指令間的分隔符，matlab允許多條語句在同一行出現(xiàn)。

分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結(jié)果。注意：只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都存儲在工作空間中，以后可隨時顯示或調(diào)用。變量名盡可能不要重復(fù)，否則會覆蓋。當一個指令或矩陣太長時，可用???續(xù)行冒號的作用

用于生成等間隔的向量，默認間隔為1。用于選出矩陣指定行、列及元素。循環(huán)語句2.用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當一項操作無結(jié)果時，返回空陣。rand——

隨機矩陣（rand（3）、rand（2，3））eye——

單位矩陣zeros——全部元素都為0的矩陣ones——全部元素都為1的矩陣3.特殊矩陣矩陣符號說明company酉矩陣gallery試驗矩陣hadamard哈德馬德矩陣hankel漢克爾矩陣hilb希爾伯特矩陣invhilb逆希爾伯特矩陣magic魔方矩陣pascal帕斯卡矩陣randn隨機矩陣，元素服從正態(tài)分布rosser對稱特征值實驗矩陣vander范德蒙矩陣wilkinson威爾金森特征值測試矩陣

還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、魔方矩陣、對角矩陣、范德蒙等矩陣的創(chuàng)建，就不一一介紹了。注意：matlab嚴格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個不同的變量。

matlab函數(shù)名必須小寫。4.矩陣的修改

直接修改可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=來修改。例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780還可以用函數(shù)subs修改，matlab6.0還可用find函數(shù)修改實際應(yīng)用中，常需要提取矩陣的某一部分，或者將多個矩陣合并起來——裁剪和拼接對矩陣的裁剪與拼接操作主要是通過冒號運算符（:）來實現(xiàn)（1）重新排列>>x=[123;456;789];>>x(3:-1:1,:)ans=7894561235.矩陣裁剪與拼接（2）提取行提取：>>x=[123;456;789];>>x(1,:)ans=123列提?。?gt;>x=[123;456;789];>>x(:,1)ans=147部分提?。?gt;>x=[123;456;789];>>x(1:2,2:3)ans=2356重復(fù)提?。?gt;>x=[123;456;789];>>x(:,[1,1,1])ans=111444777x(:,[1;2;2])（3）刪除>>x=[123;456;789];>>x(:,1)=[]x=235689>>size(x)ans=32

Matlab中只能刪除矩陣的整行或整列，x(:,1)=[]將矩陣x的第一列刪除，同樣，x(1,:)=[]將矩陣x的第一行刪除。（4）拼接行拼接：兩個矩陣的行數(shù)必須相同>>x=[123;456;789];>>y=ones(3);>>z=[x,y]z=123111456111789111列拼接：兩個矩陣的列數(shù)必須相同>>x=[123;456;789];>>y=ones(1,3);>>z=[x;y]z=1234567891116.矩陣函數(shù)7.矩陣分解矩陣加、減（＋,－）運算規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應(yīng)元素相加減。允許參與運算的兩矩陣之一是標量。標量與矩陣的所有元素分別進行加減操作。二、矩陣運算2.矩陣乘（）運算規(guī)則：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)標量可與任何矩陣相乘。a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bc=143223

d=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.2832

矩陣除的運算在線性代數(shù)中沒有，有矩陣逆的運算，在matlab中有兩種矩陣除運算a^p——a自乘p次冪

方陣>1的整數(shù)3.矩陣乘方——a^p,p^a對于p的其它值,計算將涉及特征值和特征向量，如果p是矩陣，a是標量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次冪；如a,p都是矩陣，a^p則無意義。a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※當一個方陣有復(fù)數(shù)特征值或負實特征值時，非整數(shù)冪是復(fù)數(shù)陣。a^0.5ans=

0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717iinv——

矩陣求逆det——

行列式的值eig——

矩陣的特征值diag——

對角矩陣

’

——

矩陣轉(zhuǎn)置sqrt——

矩陣開方expm——矩陣的指數(shù)logm——矩陣的對數(shù)cond——矩陣的條件數(shù)rank——矩陣的秩norm——矩陣的范數(shù)4.矩陣的其它運算5.矩陣的一些特殊操作矩陣的變維

a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向

rot90:旋轉(zhuǎn);fliplr:上翻;flipud:下翻矩陣的抽取

diag:抽取主對角線;tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角矩陣的擴展關(guān)系運算

關(guān)系符號意義<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于采用冒號運算符

a=初值:步長:終值；函數(shù)linspace創(chuàng)建

a=linspace(初值,終值,元素個數(shù))函數(shù)logspace

a=logspace(初始指數(shù),終結(jié)指數(shù),元素個數(shù))示例：

>>a=logspace(0,3,3)a=1.0e+003*0.00100.03161.00006.一維數(shù)組的特殊創(chuàng)建方法

數(shù)組運算指元素對元素的算術(shù)運算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運算不同（1）數(shù)組加減(.+,.-)a.+ba.-b7.矩陣的數(shù)組運算對應(yīng)元素相加減（與矩陣加減等效）（2）數(shù)組乘除(

，./，.\）ab——a，b兩數(shù)組必須有相同的行和列兩數(shù)組相應(yīng)元素相乘。a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172a./b=b.\aa.\b=b./aa./b=b.\a—

都是b的元素被a的對應(yīng)元素除a.\b=b./a—

都是a的元素被b的對應(yīng)元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000——

給出a,b對應(yīng)元素間的商.（4）數(shù)組乘方(.^)—

元素對元素的冪例:a=[123];b=[456];z=a.^2z=1.004.009.00z=a.^bz=1.0032.00729.00（5）向量函數(shù)

一般標量函數(shù)都可以用于數(shù)組，此時函數(shù)作用于數(shù)組的每個元素：

>>x=1:5;>>sin(x)ans=0.84150.90930.1411-0.7568-0.9589

但有些函數(shù)只有作用于向量時才有意義，故稱其為向量函數(shù)：

max——最大值

min——最小值

sum——和

length——長度（size）

mean——平均值

mediam——中間值

prod——乘積

sort——從小到大排列向量函數(shù)也可以作用于矩陣，此時運算結(jié)果為一個行向量，行向量的每個元素是函數(shù)作用于矩陣的相應(yīng)列向量所得到的結(jié)果（1）字符串Matlab中的字符串一般是ASCII值的數(shù)值數(shù)組，它作為字符串表達式進行顯示一個字符串是由單引號括起來的文本，是由字符組成的數(shù)組

>>s='Iamateacher';>>ss=Iamateacher>>u=abs(s)u=73329710932973211610197991041011148.文本操作>>str1=s(5:10)str1=atea>>y=setstr(u)%函數(shù)setstry=Iamateacheru=s(10:-1:5)輸出內(nèi)容？u=s’輸出內(nèi)容？字符串I’mateacher如何輸入？可以像數(shù)組一樣連接字符串可以用disp函數(shù)打印字符串變量表示的字符串，如disp(x);字符串也可以有多個行，但每行必須也有相同數(shù)目的列數(shù)，如果長度不等，則要以空格補齊示例：把字符串由小寫變?yōu)榇髮?/p>

>>s='iamateacher';>>fori=1:14,s(i)=setstr(s(i)-('a'-'A'));end,ss=IAMATEACHER如果改為：

>>s='iamateacher';>>fori=1:14,s(i)=setstr(s(i)-(‘a(chǎn)’-‘A’)),end,s請考慮輸出如果改為：

>>s=‘Iamateacher';>>fori=1:14,s(i)=setstr(s(i)-(‘a(chǎn)’-‘A’));end,s請考慮輸出（2）字符串轉(zhuǎn)換函數(shù)意義abs字符串到ASCII轉(zhuǎn)換dec2hex十進制到十六進制轉(zhuǎn)換fprintf把格式化的文本寫到文件中或顯示屏上fscanf從文件中讀入有格式數(shù)據(jù)hex2dec十六進制字符串轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)hex2num十六進制字符串轉(zhuǎn)換成IEEE浮點數(shù)int2str整數(shù)轉(zhuǎn)換成字符串lower字符串轉(zhuǎn)換成小寫num2str數(shù)字轉(zhuǎn)換成字符串setstrASCII轉(zhuǎn)換成字符串sprintf把數(shù)據(jù)格式化，寫給一個字符串sscanf用格式控制，把字符串轉(zhuǎn)換成數(shù)字str2mat字符串轉(zhuǎn)換成一個文本矩陣str2num字符串轉(zhuǎn)換成數(shù)字upper字符串轉(zhuǎn)換成大寫>>rad=2.5;>>t=[‘Acircleofradius’,rad]%是否正確fscanf調(diào)用格式：

A=fscanf(fid,format)[A,count]=fscanf(fid,format,size)fprintf調(diào)用格式：

fprintf(obj,'cmd')fprintf(obj,‘format’,‘cmd’)%obj可以省略sscanf調(diào)用格式：

A=sscanf(s,format)A=sscanf(s,format,size)sprintf調(diào)用格式：

[s,errmsg]=sprintf(format,A,...)控制符符號說明示例\b退格符sprintf(‘WhoamI?\b’)（WhoamI）\n回車換行符sprintf(‘WhoamI\n?’)\t橫向走紙符

sprintf('WhoamI?\tadf')\\、’’、%%輸出特殊字符sprintf(‘WhoamI?\\')f浮點輸出符sprintf('%.2f',pi)3.14sprintf('%.0f',pi)3e指數(shù)輸出符sprintf('%.2e',pi)3.14e+000sprintf('%.0e',pi)3e+000g定長輸出符sprintf('%10.2g',pi)________3.1sprintf('%10.0g',pi)_________3（3）字符串函數(shù)函數(shù)意義blanks(n)返回一個n個零或空格的字符串deblank去掉字符串中后拖的空格findstr從一個字符串內(nèi)找出字符串isletter字母存在時返回真值（返回值為矩陣）isspace空格字符存在時返回真值（返回矩陣）isstr是一個字符串，返回真值lasterr返回上一個所產(chǎn)生Matlab錯誤的字符串strcmp兩個字符串相同，則返回真strrep用一個字符串代替另一個字符串strtok找出字符串中的第一部分s='Thisisagoodexample.';[token,rem]=strtok(s)token=Thisrem=isagoodexample.matlab語言把多項式表達成一個行向量，該向量中的元素是按多項式降冪排列的。

f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0

可用行向量p=[anan-1

……a1+a0]表示poly——

產(chǎn)生特征多項式系數(shù)向量特征多項式一定是n+1維的特征多項式第一個元素一定是1三、多項式運算例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多項式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我們可用：p1=poly2str(p,‘x’)

—

函數(shù)文件，顯示數(shù)學(xué)多項式的形式p1=x^3-6x^2-72x-272.roots——

求多項式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73——顯然r是矩陣a的特征值

-0.39當然我們可用poly令其返回多項式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab規(guī)定多項式系數(shù)向量用行向量表示，一組根用列向量表示3.conv,convs多項式乘運算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+184.deconv多項式除運算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除以a后的整數(shù)5.多項式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項式a,b乘積的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4四、代數(shù)方程組求解matlab中有兩種除運算左除和右除。對于方程ax+b，a為an×m矩陣，有三種情況：當n=m時，此方程成為“恰定”方程當n>m時，此方程成為“超定”方程當n<m時，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運算可以很方便地解上述三種方程1.恰定方程組的解方程ax=b(a為非奇異)x=a-1

b

矩陣逆兩種解:x=inv(a)

b—

采用求逆運算解方程x=a\b—

采用左除運算解方程方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];

x=inv(a)*b

x=a\bx=x=22.0033.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=13左除、右除的異同2.超定方程組的解方程ax=b,m<n時此時不存在唯一解。方程解(a'a)x=a'bx=(a'

a)-1a'b——

求逆法

x=a\b——matlab用最小二乘法找一個準確地基本解。例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3a=[12;23;34];b=[1;2;3];

解1x=a\b

解2x=inv(a'

a)

a'

b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b3.欠定方程組的解

當方程數(shù)少于未知量個數(shù)時,即不定情況,有無窮多個解存在。matlab可求出兩個解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小長度或范數(shù)的解，這個解是基于偽逆pinv求得的。x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)

bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b五、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多種，常用的有Euler（歐拉法）、RungeKutta(龍格-庫塔法。Euler法稱一步法，用于一階微分方程當給定仿真步長時：所以

yn+1=yn+h·f(xn,yn)n=0,1,2…y(x0)=y0RungeKutta法龍格-庫塔法：實際上取兩點斜率的平均斜率來計算的，其精度高于歐拉算法。龍格-庫塔法：ode23ode45

k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k)例：x+(x2-1)x+x=0為方便令x1=x，x2=x分別對x1,x2求一階導(dǎo)數(shù)，整理后寫成一階微分方程組形式

x1=x2x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程······建立m文件functionxdot=wf(t,x)xd