專題11 等差數(shù)列與等比數(shù)列（5知識(shí)點(diǎn)+2重難點(diǎn)+11方法技巧+3易錯(cuò)易混）（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題11等差數(shù)列與等比數(shù)列（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的有關(guān)概念1、數(shù)列的定義及表示（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．2、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列其中n∈N*遞減數(shù)列常數(shù)列按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列周期數(shù)列對n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使3、數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式．知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號(hào)語言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：．（2）前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.知識(shí)點(diǎn)4等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義（1）等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。（2）數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；通項(xiàng)公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)5等比數(shù)列的性質(zhì)已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：下標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。2、等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）重難點(diǎn)01等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值求法1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時(shí)，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【典例1】（23-24高三下·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列中，，，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【典例2】（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則取最小值時(shí)的值為12B．若，則的最大值為108C．若，則必有D．若首項(xiàng)，，則取最小值時(shí)的值為9重難點(diǎn)02已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)．第二步，求和：①若an各項(xiàng)均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù))，則{|an|}各項(xiàng)的和等于{an}的各項(xiàng)的和(或其相反數(shù))；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時(shí)數(shù)列{an}只有前面有限項(xiàng)為正數(shù)(或負(fù)數(shù))，可分段求和再相加．【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差數(shù)列的首項(xiàng)，，記，則．【典例2】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.一、由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略1、常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用或，處理.【典例1】（23-24高三上·山東泰安·開學(xué)摸底）已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（

）A．第11項(xiàng) B．第12項(xiàng) C．第13項(xiàng) D．第14項(xiàng)【典例2】（23-24高三下·貴州黔南·二模），數(shù)列1，，7，，31，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高三下·廣東梅州·一模）.二、數(shù)列周期性解題策略1、周期數(shù)列的常見形式（1）利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；（2）相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；（3）相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列．2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前項(xiàng)的和．【典例1】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列an中，，則（

）A．-2 B． C．1 D．2【典例2】（23-24高三下·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【典例3】（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．三、求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng)．（2）通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．（3）比較法：①若有（或時(shí)，），則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；②若有（或時(shí)，），則，即數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．【典例1】（23-24高三下·山東濟(jì)南·二模）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．72【典例2】（23-24高三下高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三下·上?！つM預(yù)測）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為.四、等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·江蘇南京·月考）已知公差大于0的等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，若時(shí)，，則等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22五、等差數(shù)列的判定與證明的方法1、定義法：或是等差數(shù)列；2、定義變形法：驗(yàn)證是否滿足；3、等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列；4、通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；5、前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)，使得即可；（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．【典例1】（23-24高三下高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【典例2】（23-24高二下·江蘇·月考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，.(1)計(jì)算：，；(2)證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【典例3】（23-24高三下·江蘇南通·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求，，并證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求.六、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1、在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時(shí)，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【典例1】（23-24高三下·廣西柳州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則（

）．A．7 B．12 C．16 D．24【典例2】（24-25高三上·廣東·聯(lián)考）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．50【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10七、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和常用的性質(zhì)應(yīng)用1、等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．3、若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，，（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·天津南開·月考）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高三下高三·全國·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則.八、求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中聯(lián)系著五個(gè)量：，已知其中三個(gè)量，可以通過解方程(組)求出另外兩個(gè)量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵．2、分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須分類求和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí)，也必須對與分類討論．【典例1】（23-24高三下·四川涼山·三模）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則公比（

）A． B． C．3或 D．或【典例2】（23-24高三下·江蘇無錫·開學(xué)考試）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．31【典例3】（23-24高三下·遼寧丹東·開學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．或9 B．8或 C．8或9 D．或九、等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：1、定義法：為常數(shù)且數(shù)列是等比數(shù)列．2、等比中項(xiàng)法：數(shù)列是等比數(shù)列．3、通項(xiàng)公式法：數(shù)列是等比數(shù)列．4、前項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.【典例1】（23-24高三下·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列滿足，，則下列是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．【典例3】（23-24高三下·重慶·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求，，并證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的值．十、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1、等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)公式的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則有”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．【典例1】（23-24高三下·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（

）A．8 B．±8 C．10 D．±10【典例2】（23-24高三下·廣西·二模）設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若S2=2，，則S6S4=A．2 B． C．3 D．【典例3】（23-24高三下·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40十一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用解決數(shù)列新背景問題的步驟（1）讀懂題意：脫去傳統(tǒng)風(fēng)俗、數(shù)學(xué)文化等背景，讀懂題意；（2）構(gòu)造模型：根據(jù)題意構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系的模型；（3）求解模型：根據(jù)數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)求解，如求特定項(xiàng)、通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和.【典例1】（23-24高三下·山西·模擬預(yù)測）干支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，依此類推．已知2024年是甲辰年，則2124年為（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模擬預(yù)測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如圖，正方形的邊長為1，記其面積為，取其四邊的中點(diǎn)，，，，作第二個(gè)正方形，記其面積為，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，，，，作第三個(gè)