江西省宜春市上高二數(shù)學(xué)中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題理含解析

PAGE22-江西省宜春市上高二數(shù)學(xué)中2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題理（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解指數(shù)型不等式，得到集合進而求其補集，然后與集合取交集即可.【詳解】解:集合，所以故選：C【點睛】本題考查交集與補集運算，考查不等式的解法，考查計算實力，屬于?？碱}型.2.復(fù)數(shù)滿意：（為虛數(shù)單位），為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得z，然后逐一核對四個選項得答案．【詳解】由（z﹣2）?i＝z，得zi﹣2i＝z，∴z，∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，，．故選B．點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.平面直角坐標系xOy中，點在單位圓O上，設(shè)，若，且，則的值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和差的余弦公式以及三角函數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】，，，，則，故選C．【點睛】本題主要考查兩角和差的三角公式的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．4.設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對隨意的正整數(shù)”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：由題意得，，故必要不充分條件，故選C.【考點】充要關(guān)系【名師點睛】充分、必要條件的三種推斷方法：①定義法：干脆推斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并留意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．②等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．5.函數(shù)的圖象是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域，再很據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性，問題得以解決．【詳解】因為x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域為：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以選項A、D不正確．當(dāng)x∈（﹣1，0）時，g（x）=x﹣是增函數(shù)，因為y=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=ln（x-）是增函數(shù)．故選B．【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象.6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】因為，所以將其圖象向左平移個單位長度，可得，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)圖象的平移變換問題，涉及到的學(xué)問點有協(xié)助角公式，誘導(dǎo)公式，圖象的平移變換的原則，屬于簡潔題目.7.已知各項不為0的等差數(shù)列滿意，數(shù)列是等比數(shù)列且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：，，則：.本題選擇C選項.8.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個側(cè)面中最大的側(cè)面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三視圖還原出三棱錐的直觀圖，求出三棱錐的各個側(cè)面面積即可求出側(cè)面面積的最大值．【詳解】由三棱錐的三視圖可知，三棱錐的直觀圖（如下圖），可在邊長為的正方體中截取，由圖可知，，，所以側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面故側(cè)面的面積最大值為故選B【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，考查學(xué)生的空間想象實力，屬于中檔題．9.已知變量滿意約束條件若目標函數(shù)的最小值為2，則的最小值為A. B.5+2 C. D.【答案】A【解析】【詳解】由約束條件可得到可行域如圖所示，目標函數(shù)，即當(dāng)過點時目標函數(shù)取得最小值，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以的最小值為，故選A.10.設(shè)為數(shù)列的前項和，，，則數(shù)列的前20項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，相減得由得出，==故選D點睛：已知數(shù)列的與的等量關(guān)系，往往是再寫一項，作差處理得出遞推關(guān)系，肯定要留意n的范圍，有的時候要檢驗n=1的時候，本題就是檢驗n=1,不符合，通項是分段的.11.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，可知在上有解；將問題轉(zhuǎn)化為與在上有交點，找到與相切時的取值，通過圖象可得到的取值范圍.【詳解】由得：由題意可知在上有解即：在上有解即與在上有交點時，，則單調(diào)遞增；，，則單調(diào)遞減當(dāng)時，取極大值為：函數(shù)與的圖象如下圖所示：當(dāng)與相切時，即時，切點為，則若與在上有交點，只需即：本題正確選項：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決方程根存在的問題，關(guān)鍵是能夠利用對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有交點的問題，再利用相切確定臨界值，從而求得取值范圍.12.已知定義在R上的奇函數(shù)滿意，且對隨意的，都有．又，則關(guān)于的不等式在區(qū)間上的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)在是增函數(shù)，故恒成立，設(shè)，可推斷函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，，可推出，又依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)和的函數(shù)圖象，依據(jù)圖象解不等式.【詳解】是奇函數(shù)，設(shè)，由，可知，整理為：，是增函數(shù)，當(dāng)時，，即設(shè)，，是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，恒成立，即，又，關(guān)于對稱，又有，，，是周期為的函數(shù)，綜上可畫出和的函數(shù)圖象，由圖象可知不等式的解集是.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和解不等式，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的實力，以及變形計算實力，旨在培育邏輯思維實力，本題的一個關(guān)鍵點是不等式轉(zhuǎn)化為，確定函數(shù)是增函數(shù)，另一個是推斷的單調(diào)性，這樣當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為的解集.二、填空題13.已知平面對量、滿意，，且，則向量與夾角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)平面對量與的夾角為，計算出，然后利用平面對量數(shù)量積的定義和運算律可得出的值.【詳解】設(shè)平面對量與的夾角為，由題意可得，，解得.因此，向量與夾角的余弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查平面對量夾角余弦值的計算，涉及平面對量數(shù)量積的定義和運算律，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)，則_____．（不用化簡）【答案】【解析】，，，故答案為.15.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線的斜率為，則該切點的橫坐標等于______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)為偶函數(shù)，利用，可得：，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，可得：．，，設(shè)該切點的橫坐標等于，則，令，可得，化為：，解得．，解得．則該切點的橫坐標等于．故答案為．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討切線的斜率、函數(shù)的奇偶性，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．16.已知為銳角三角形，滿意，外接圓的圓心為，半徑為1，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為邊，得到，將所求的轉(zhuǎn)化成，結(jié)合，全部轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，再求出的范圍，從而得到答案.【詳解】依據(jù)正弦定理，將轉(zhuǎn)化為即，又因為銳角，所以.所以因為是銳角三角形，所以，所以，得，所以故取值范圍是.【點睛】本題考查向量的線性運算、數(shù)量積，正、余弦定理解三角形，余弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于難題.三、解答題17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若對隨意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，則當(dāng)時，由得，，解得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，由得，，解得．所以的解集為．（2）因為對隨意，都存在，使得不等式成立，所以．因為，所以，且，①當(dāng)時，①式等號成立，即．又因為，②當(dāng)時，②式等號成立，即．所以，整理得，解得或，故的取值范圍為．18.已知函數(shù).（1）若，，，求的值；（2）若動直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于P，Q兩點，求線段PQ長度的最大值，并求出此時t的值.【答案】（1）；（2）最大值為，【解析】【分析】（1）先對進行化簡，求出，再依據(jù)同角三角函數(shù)求出，再依據(jù)特點，求出，利用和角公式求值即可（2）先表示出，再依據(jù)肯定值特點和三角函數(shù)最值特點，求出對應(yīng)的值即可【詳解】（1），，則，又，故，...（2）由題意可知當(dāng)時，取到最大值.當(dāng)取到最大值時，，又，所以.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本求法，三角函數(shù)正切值的和角公式，復(fù)合三角函數(shù)最值的求法，難度相對簡潔19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和記為,證明：.【答案】（1）證明見解析，；（2）見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，兩式相減變形為，驗證后，推斷數(shù)列是等差數(shù)列；（2）依據(jù)（1）的結(jié)果求和，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和，并證明不等式.【詳解】（1）由已知：①,得②①－②可得.因為，所以檢驗：由已知，，所以，那么，也滿意式子.所以.所以為等差數(shù)列，首項為，公差為.于是.（2）由，所以.所以.則.【點睛】本題考查已知求通項公式和裂項相消法求和，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計算實力，從形式看此題不難，但有兩個地方需留意，第一問，假如忽視的條件，就會遺忘驗證，其次問，采納裂項相消法求和，消項時留意不要丟掉某些項.20.中，，，為線段上一點，且滿意.(1)求的值；(2)若，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用面積公式求的值；（2）依據(jù)（1）可知，又因為，變形可求，，設(shè)，和分別利用余弦定理求的長度.【詳解】（1）由題：，所以,即.所以.（2）由，所以，所以，所以，.設(shè)，在中，由.中，.又因為,所以，即.化簡可得，即，則或.又因為為線段上一點，所以且，所以.【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形的綜合運用，重點考查轉(zhuǎn)化與變形和計算實力，屬于中檔題型，有多個三角形的解三角形時，一是可以先分析條件比較多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一個三角形都不能求解時，可以先設(shè)共有變量，利用等量關(guān)系解三角形.21.如圖，在四面體中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)取的中點，連接，，可證為二面角的平面角,再依據(jù)計算可得,即二面角為直二面角,依據(jù)平面與平面垂直的定義可證平面平面;(2)以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，以的方向為軸正方向，以的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，然后求出平面的一個法向量和平面的一個法向量,利用兩個法向量的夾角即可求得答案.【詳解】（1）證明：由題設(shè)可得，從而．又是直角三角形，所以.取的中點，連接，，則，.又因為是正三角形，故，所以為二面角的平面角．在中，，又，所以，故,即二面角為直二面角,所以平面平面．（2）由題設(shè)及（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，以的方向為軸正方向，以的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得，故，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，同理可取，則.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了平面與平面所成的角,考查了平面與平面垂直的定義,考查了利用法向量求二面角的平面角,建立空間直角坐標系,利用向量解決角的問題是常用方法,屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）若，函數(shù)的極大值為，求實數(shù)的值；（2）若對隨意的，，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點分類探討，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號改變規(guī)律確定函數(shù)極大值，最終依據(jù)肯定值求實數(shù)值；（2）先求，最大值，再變量分別得，最終依據(jù)導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最大值，即得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）由題意，.①當(dāng)時，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增單調(diào)遞減.所以的極大值為，不合題意.②當(dāng)時，，令，得；，得或，所以在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減.所以的極大值為，得.綜上所述.（2）令，當(dāng)時，，故上遞增，原問題上恒成立①當(dāng)時，，，，此時，不合題意.②當(dāng)時，令，，則，其中，，