2024-2025學年高中數(shù)學第三章三角恒等變換章末檢測課時作業(yè)含解析北師大版必修4_第1頁
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PAGE第三章三角恒等變換章末檢測(三)時間:120分鐘滿分:150分一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知cosθ=eq\f(1,3),θ∈(0,π)則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)+2θ))=()A.-eq\f(4\r(2),9) B.-eq\f(7,9)C.eq\f(4\r(2),9) D.eq\f(7,9)解析:原式=sin2θ=2sinθcosθ=2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)=eq\f(4\r(2),9).答案:C2.已知sinα-cosα=eq\r(2),α∈(0,π),則tanα=()A.-1 B.-eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D.1解析:∵sinα-cosα=eq\r(2),∴(sinα-cosα)2=2.∴sin2α=-1,又α∈(0,π),∴2α=eq\f(3,2)π,α=eq\f(3,4)π.則tanα=taneq\f(3,4)π=-1.答案:A3.已知sin(45°+α)=eq\f(\r(5),5),則sin2α等于()A.-eq\f(4,5) B.-eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析:sin(α+45°)=(sinα+cosα)·eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(5),5),∴sinα+cosα=eq\f(\r(10),5).兩邊平方,∴1+sin2α=eq\f(2,5),∴sin2α=-eq\f(3,5).答案:B4.若cosα=-eq\f(4,5),α是第三象限的角,則eq\f(1+tan\f(α,2),1-tan\f(α,2))=()A.-eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.2 D.-2解析:∵α是第三象限角,cosα=-eq\f(4,5),∴sinα=-eq\f(3,5).∴eq\f(1+tan\f(α,2),1-tan\f(α,2))=eq\f(1+\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1-\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))=eq\f(cos\f(α,2)+sin\f(α,2),cos\f(α,2)-sin\f(α,2))=eq\f(cos\f(α,2)+sin\f(α,2),cos\f(α,2)-sin\f(α,2))·eq\f(cos\f(α,2)+sin\f(α,2),cos\f(α,2)+sin\f(α,2))=eq\f(1+sinα,cosα)=eq\f(1-\f(3,5),-\f(4,5))=-eq\f(1,2).答案:A5.已知sin2α=eq\f(3,5)(eq\f(π,2)<2α<π),tan(α-β)=eq\f(1,2),則tan(α+β)=()A.-2 B.-1C.-eq\f(2,11) D.eq\f(2,11)解析:由sin2α=eq\f(3,5)?tan2α=-eq\f(3,4),∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=eq\f(-\f(3,4)-\f(1,2),1+\f(1,2)×-\f(3,4))=-2.答案:A6.已知cosθ=-eq\f(7,25),θ∈(π,2π),則sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=()A.-eq\f(7,5) B.eq\f(7,5)C.-eq\f(1,5) D.eq\f(1,5)解析:∵θ∈(π,2π),∴eq\f(θ,2)∈(eq\f(π,2),π),∴sineq\f(θ,2)=eq\r(\f(1-cosθ,2))=eq\f(4,5),coseq\f(θ,2)=-eq\r(\f(1+cosθ,2))=-eq\f(3,5),∴sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=eq\f(1,5),故選D.答案:D7.已知tanα=2,則eq\f(cos2α,sinα-cosα2)=()A.2 B.-2C.3 D.-3解析:原式=eq\f(cos2α-sin2α,sin2α-2sinαcosα+cos2α)=eq\f(1-tan2α,tan2α-2tanα+1)=eq\f(1-4,4-4+1)=-3.答案:D8.已知tan(α+β)=eq\f(2,5),tan(β-eq\f(π,4))=eq\f(1,4),則tan(α+eq\f(π,4))等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22) D.eq\f(13,18)解析:tan(α+eq\f(π,4))=tan[(α+β)-(β-eq\f(π,4))]=eq\f(tanα+β-tanβ-\f(π,4),1+tanα+β·tanβ-\f(π,4))=eq\f(\f(2,5)-\f(1,4),1+\f(2,5)×\f(1,4))=eq\f(\f(3,20),\f(22,20))=eq\f(3,22).答案:C9.函數(shù)f(x)=cos2x-2cos2eq\f(x,2)(x∈[0,π])的最小值為()A.-1 B.-1C.eq\f(5,4) D.-eq\f(5,4)解析:由題意,得f(x)=cos2x-2cos2eq\f(x,2)=cos2x-(1+cosx)=cos2x-cosx-1,設t=cosx(x∈[0,π]),y=f(x),則t∈[-1,1],y=t2-t-1=(t-eq\f(1,2))2-eq\f(5,4),所以當t=eq\f(1,2),即x=eq\f(π,3)時,y取得最小值為-eq\f(5,4),所以函數(shù)f(x)的最小值為-eq\f(5,4),故選D.答案:D10.已知α、β∈(0,eq\f(π,4)),eq\f(tan\f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq\f(1,4),且3sinβ=sin(2α+β),則α+β的值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)解析:由條件得tanα=eq\f(1,2),又3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)?3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα?sin(α+β).cosα=2cos(α+β)sinα?tan(α+β)=2tanα=1,∴α+β=eq\f(π,4).答案:B11.已知函數(shù)f(x)=cos2(eq\f(π,4)+x)-cos2(eq\f(π,4)-x),則f(eq\f(π,12))等于()A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.-eq\f(\r(3),2)Bf(x)=cos2(eq\f(π,4)+x)-cos2(eq\f(π,4)-x)=cos2(eq\f(π,4)+x)-sin2(eq\f(π,4)+x)=cos2(eq\f(π,4)+x)=cos(eq\f(π,2)+2x)=-sin2x,則f(eq\f(π,12))=-sineq\f(π,6)=-eq\f(1,2),故選B.12.已知tan(α+eq\f(π,4))=eq\f(1,2),且-eq\f(π,2)<α<0,則eq\f(2sin2α+sin2α,cosα-\f(π,4))=()A.-eq\f(2\r(5),5) B.-eq\f(3\r(5),10)C.-eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(2\r(5),5)解析:由tan(α+eq\f(π,4))=eq\f(tanα+1,1-tanα)=eq\f(1,2),得tanα=-eq\f(1,3).又-eq\f(π,2)<α<0,所以sinα=-eq\f(\r(10),10),故eq\f(2sin2α+sin2α,cosα-\f(π,4))=eq\f(2sinαsinα+cosα,\f(\r(2),2)sinα+cosα)=2eq\r(2)sinα=-eq\f(2\r(5),5),故選A.答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中的橫線上)13.化簡cos20°-cos40°-cos80°等于________.解析:原式=cos20°-cos(60°-20°)-cos(60°+20°)=cos20°-2cos60°cos20°=0.答案:014.已知向量a=(4,3),b=(sinα,cosα),且a⊥b,則tan2α=________.解析:∵a⊥b,∴4sinα+3cosα=0,∴tanα=-eq\f(3,4),∴tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)=eq\f(2×-\f(3,4),1--\f(3,4)2)=-eq\f(24,7).答案:-eq\f(24,7)15.已知sin(α-eq\f(π,4))=eq\f(3,5),α∈(0,eq\f(π,2)),則sinα=________.解析:由α∈(0,eq\f(π,2))得α-eq\f(π,4)∈(-eq\f(π,4),eq\f(π,4)),所以cos(α-eq\f(π,4))=eq\f(4,5),則sinα=sin[(α-eq\f(π,4))+eq\f(π,4)]=sin(α-eq\f(π,4))coseq\f(π,4)+cos(α-eq\f(π,4))sineq\f(π,4)=eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)+eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)=eq\f(7\r(2),10).答案:eq\f(7\r(2),10)16.設α是其次象限角,tanα=-eq\f(4,3),且sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2),則coseq\f(α,2)=________.解析:∵α是其次象限角,∴eq\f(α,2)可能是第一象限角或第三象限角.又sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2),∴eq\f(α,2)為第三角限角,∴coseq\f(α,2)<0.∵tanα=-eq\f(4,3),∴cosα=-eq\f(3,5),∴coseq\f(α,2)=-eq\r(\f(1+cosα,2))=-eq\f(\r(5),5).答案:-eq\f(\r(5),5)三、解答題(本大題共有6小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(12分)化簡:sin50°(1+eq\r(3)tan10°).解析:原式=sin50°(1+eq\f(\r(3)sin10°,cos10°))=sin50°·eq\f(cos10°+\r(3)sin10°,cos10°)=sin50°·eq\f(2\f(1,2)cos10°+\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)=sin50°·eq\f(2sin30°·cos10°+cos30°·sin10°,cos10°)=cos40°·eq\f(2sin40°,cos10°)=eq\f(sin80°,cos10°)=eq\f(cos10°,cos10°)=1.18.(12分)已知tan(eq\f(π,4)+α)=2,tanβ=eq\f(1,2).(1)求tanα的值;(2)求eq\f(sinα+β-2sinαcosβ,2sinαsinβ+cosα+β)的值.解析:(1)解法一∵tan(eq\f(π,4)+α)=2,∴eq\f(tan\f(π,4)+tanα,1-tan\f(π,4)tanα)=2.∴eq\f(1+tanα,1-tanα)=2.解得tanα=eq\f(1,3).解法二∵tan(eq\f(π,4)+α)=2,∴tanα=tan[(eq\f(π,4)+α)-eq\f(π,4)]=eq\f(tan\f(π,4)+α-tan\f(π,4),1+tan\f(π,4)+αtan\f(π,4))=eq\f(2-1,1+2×1)=eq\f(1,3).(2)eq\f(sinα+β-2sinαcosβ,2sinαsinβ+cosα+β)=eq\f(sinαcosβ+cosαsinβ-2sinαcosβ,2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ)=eq\f(cosαsinβ-sinαcosβ,cosαcosβ+sinαsinβ)=eq\f(sinβ-α,cosβ-α)=tan(β-α)=eq\f(tanβ-tanα,1+tanβtanα)=eq\f(\f(1,2)-\f(1,3),1+\f(1,2)×\f(1,3))=eq\f(1,7).19.(12分)已知函數(shù)f(x)=cos2x+2eq\r(3)sinxcosx-sin2x.(1)當x∈[0,eq\f(π,2)]時,求f(x)的值域;(2)若f(θ)=eq\f(6,5),且eq\f(π,6)<θ<eq\f(2π,3),求cos2θ的值.解析:(1)f(x)=cos2x+eq\r(3)sin2x=2sin(2x+eq\f(π,6)),∵x∈[0,eq\f(π,2)],∴eq\f(π,6)≤2x+eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6),∴-eq\f(1,2)≤sin(2x+eq\f(π,6))≤1,∴當x∈[0,eq\f(π,2)]時,f(x)的值域為[-1,2].(2)∵f(θ)=eq\f(6,5),∴sin(2θ+eq\f(π,6))=eq\f(3,5).∵eq\f(π,6)<θ<eq\f(2π,3),∴eq\f(π,2)<2θ+eq\f(π,6)<eq\f(3π,2),∴cos(2θ+eq\f(π,6))=-eq\f(4,5),∴cos2θ=cos[(2θ+eq\f(π,6))-eq\f(π,6)]=cos(2θ+eq\f(π,6))coseq\f(π,6)+sin(2θ+eq\f(π,6))sineq\f(π,6)=-eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)+eq\f(3,5)×eq\f(1,2)=eq\f(3-4\r(3),10).20.(12分)已知在△ABC中,sinA+cosA=eq\f(1,5).(1)求sinAcosA的值;(2)推斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;(3)求sinA-cosA的值.解析:(1)∵sinA+cosA=eq\f(1,5),兩邊平方得1+2sinAcosA=eq\f(1,25),∴sinAcosA=-eq\f(12,25).(2)由(1)sinAcosA=-eq\f(12,25)<0,且0<A<π,可知cosA<0,∴A為鈍角,∴△ABC是鈍角三角形.(3)(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=eq\f(49,25),由(2)知sinA-cosA>0,∴sinA-cosA=eq\f(7,5).21.(13分)已知0<α<eq\f(π,4),β為f(x)=cos(2x+eq\f(π,8))的最小正周期,a=(tan(α+eq\f(1,4)β),-1),b=(cosα,2),且a·b=m.求eq\f(2cos2α+sin2α+β,cosα-sinα)的值.解析:∵β為f(x)=cos(2x+eq\f(π,8))的最小正周期,故β=π,∵a·b=m.又a·b=cosα·tan(α+eq\f(1,4)β)-2,∴cosαtan(α+eq\f(π,4))=m+2,由于0<α<eq\f(π,4),所以eq\f(2cos2α+sin2α+β,cosα-sinα)=eq\f(2cos2α+sin2α+2π,cosα-sinα)=eq\f(2cos2α+sin2α,cosα-sinα)=eq\f(2cosαcosα+sinα,cosα-sinα)=2cosα·eq\f(1+tanα,1-tanα)=2cosαtan(α+eq\f(π,4))=2(2+m).22.(13分)已知函數(shù)f(x)=4eq\r(3)cos2ωx+2sin2ωx-eq\r(3)(ω>0)在半個周期內(nèi)的圖像如圖所示,H為圖像的最高點,E,F(xiàn)是圖像與直線y=eq\r(3)的交點,且eq\o(EH,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))=eq\o(EH,\s\up12(→))2.(1)求實數(shù)ω的值及函數(shù)f(x)的值域;(2)若f(x0)=eq\f(3\r(3),5),且x0∈(-eq\f(10,3),-eq\f(2,3)),求f(x0+2)-eq\r(3)的值.解析:(1)由題意,得f(x)=2eq\r(3)cos2ωx+2sin2ωx+eq\r(3)=4sin(2ωx+eq\f(π,3))+eq\r(3).因為eq\o(EH,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))=eq

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