河北省正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

PAGE河北省正中試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）一?選擇題1.下列說法中正確的有（）個(gè)：①很小的數(shù)的全體組成一個(gè)集合：②全體等邊三角形組成一個(gè)集合；③表示實(shí)數(shù)集；④不大于3的全部自然數(shù)組成一個(gè)集合.A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的元素的特征推斷.【詳解】①很小的數(shù)不確定，不能組成一個(gè)集合，故錯(cuò)誤：②全體等邊三角形組成一個(gè)集合，故正確；③表示以實(shí)數(shù)集為元素的集合，不表示實(shí)數(shù)集，故錯(cuò)誤；④不大于3的全部自然數(shù)是0，1，2，3，組成一個(gè)集合，故正確.故選：B2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，然后再求出即可．【詳解】由題意得，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查運(yùn)算實(shí)力，解題的關(guān)鍵是是通過解不等式得到集合，屬于基礎(chǔ)題．3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一分析即可.【詳解】在(0,1)上,單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故在(0,1)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在(0,1)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，嫻熟駕馭一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性是解決此問題的關(guān)鍵.4.集合，用列舉法可以表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】據(jù)題意可得是6的約數(shù)，然后逐一檢驗(yàn)的各個(gè)取值是否是正自然數(shù)，從而確定的各個(gè)可能的取值，進(jìn)而得到的各個(gè)可能的取值,即可得出的列舉法表示.【詳解】∵是6的約數(shù)，，,得,得,得,得,得,與已知沖突，故；,得；,得,與已知沖突，故得.故的值只能是，對(duì)應(yīng)的值依次為即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的描述法與列舉法的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是依據(jù)數(shù)的整除性得到的可能的取值，依據(jù)的條件進(jìn)一步確認(rèn)的可能取值，進(jìn)一步得到集合的元素.5.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.，且C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)解析式可得關(guān)于的不等式組，其解集即為函數(shù)的定義域.【詳解】由題設(shè)可得，故或，故選：C.6.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的概念推斷.【詳解】A.因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù)；B.定義域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，故是同一函數(shù)；C.定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；D.定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；故選：B7.已知函數(shù)在上是偶函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，且，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意得函數(shù)在上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，進(jìn)而依據(jù)單調(diào)性與偶函數(shù)性質(zhì)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)在上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，所以，，，，故A，B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D8.已知為奇函數(shù)，且在上是遞增的，若，則的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】依據(jù)為奇函數(shù)，且在上是遞增的，得到在也是遞增的，然后再分和求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且在上是遞增的，所以在也是遞增的．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：B9.下列推斷正確是()A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】分析】依據(jù)奇偶性定義推斷，先看定義域，再看解析式，【詳解】解：對(duì)于中，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù);對(duì)于中，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù);對(duì)于中，由得，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù);對(duì)于中，函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了奇偶函數(shù)的定義，留意定義域，解析式兩種思路推斷，屬于基礎(chǔ)題．10.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】先將函數(shù)化成，結(jié)合反例函數(shù)的單調(diào)性可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，故，故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：已知含參數(shù)的函數(shù)在給定范圍上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，既要考慮函數(shù)的單調(diào)性，也要考慮定義域滿意的要求，后者往往簡(jiǎn)潔忽視.11.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹皩\生函數(shù)”共有（）A.4個(gè) B.8個(gè) C.9個(gè) D.12個(gè)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)值求出對(duì)應(yīng)的兩組的值，和，可知定義域中至少含有和中的一個(gè)數(shù)，至少含有和中的一個(gè)數(shù)，利用列舉法計(jì)數(shù)，得到“孿生函數(shù)”的個(gè)數(shù).【詳解】解：令,解得，令，解得，函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹皩\生函數(shù)”的定義域中至少含有和中的一個(gè)數(shù)，至少含有和中的一個(gè)數(shù)，可能是{，}，，，，，共9中不同的狀況，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，本質(zhì)上考查函數(shù)定義域和值域的理解，屬基礎(chǔ)題.12.給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個(gè)數(shù)是（）個(gè)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)定義可以得到，，，，進(jìn)而求得各個(gè)函數(shù)值，然后判定,依據(jù)，可以得到，即得值域，從而判定.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，，，，∴，正確；，，，錯(cuò)誤；因?yàn)?，∴故正確；的定義域是，因?yàn)?，所以，即∴值域是，故錯(cuò)誤.綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義型函數(shù)的函數(shù)值和定義域值域問題，屬中高檔題.解決新定義問題，關(guān)鍵是明確定義含義，正確運(yùn)用定義進(jìn)行運(yùn)算.對(duì)于抽象的概念，可先列舉一些詳細(xì)的數(shù)值進(jìn)行理解與歸納.本題易錯(cuò)點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)是否可取上，難點(diǎn)在于整數(shù)的確定.二?填空題13.化簡(jiǎn)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是駕馭.14.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)抽象函數(shù)定義域得到不等式，計(jì)算可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域滿意，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)定義域，意在考查學(xué)生對(duì)于定義域的理解駕馭.15.若與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)和分式函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的圖象的平移變換求解即可.【詳解】依據(jù)與在區(qū)間，上都是減函數(shù)，的對(duì)稱軸為，所以，的圖象是由的圖象向左平移一個(gè)單位得到的.在區(qū)間，上是減函數(shù)，則在上單調(diào)遞減.所以所以，即的取值范圍為．故答案為：16.設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類探討，帶入相應(yīng)的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類探討代入相應(yīng)解析式求解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，f(f(a))≤2即為，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，f(f(a))≤2即為，因?yàn)楹愠闪ⅲ詽M意題意.所以f(a)≥－2，則或，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的性質(zhì)解不等式，考查分類探討思想，屬于較難題.三?解答題17.已知函數(shù).（1）求與的值；（2）若，求的值.【答案】（1）=，=；（2）a的值為：2，.【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)，先求得，再求，留意到，即可求得的值.（2）依據(jù)，分，，探討求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，因?yàn)?，所以，?∴，∵，∴.（2）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；綜上：a的值為：2，.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值和已知函數(shù)值求參數(shù)，還考查了分類探討的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.關(guān)鍵在于求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要遵循從內(nèi)到外的依次計(jì)算，分段函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，要依據(jù)留意自變量的范圍選擇正確的解析式.已知函數(shù)值求自變量的值要留意分析自變量的各個(gè)取值范圍.18.設(shè)全集,已知集合（1）求；（2）記集合已知集合若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過解不等式和方程求得集合M,N，再進(jìn)行集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算；（2）由（1）知集合，依據(jù)集合關(guān)系，得或，利用分類探討求出的范圍.【詳解】（1）∵且（2）由題意得．∵,∴或①當(dāng)時(shí),,得;②當(dāng)時(shí),解得．綜上所述,所求的取值范圍為．【點(diǎn)睛】該題考查的是與集合相關(guān)的參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有集合的交集，集合的補(bǔ)集，以及集合之間的包含關(guān)系，正確得出其滿意的式子是解題的關(guān)鍵.19.（1）計(jì)算：；（2）已知，求值：.【答案】(1);(2)6.【解析】【分析】（1）先將各個(gè)因式和為指數(shù)冪，然后依據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；（2）依據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)先將已知條件平方求得再平方可得代入計(jì)算即可.【詳解】（1）原式====；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，屬中檔題，（1）的關(guān)鍵在于先化成指數(shù)冪再依據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，（2）的關(guān)鍵在于利用平方法求得和.20.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，依據(jù)長期收益率市場(chǎng)預(yù)料，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，且投資萬元時(shí)的收益為萬元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，且投資萬元時(shí)的收益為萬元，（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（2）該家庭現(xiàn)有萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣安排資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？【答案】（1），；（2）投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬元，投資收益最大為萬元.【解析】【分析】（1）設(shè)，，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)可求得、的值，進(jìn)而可得出這兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（2）設(shè)投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬元，則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，可得出投資收益關(guān)于的解析式為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)，，則，，所以，，；（2）設(shè)投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬元，則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)萬元時(shí)，收益最大萬元，故應(yīng)投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬元，投資收益最大為萬元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中等題.21.已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】（1）（2）【解析】(1)因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，不等式的解集是，所以可設(shè),然后因?yàn)?1比5離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，所以最大值為(-1)=6a,求出a值，從而求出f(x)的解析式.（II）本小題屬于二次函數(shù)軸定區(qū)間動(dòng)的問題，分三種狀況探討分別求其最小值即可.解：（1）是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知，得（2）由（1）知，開口向上，對(duì)稱軸①當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減③當(dāng)，即時(shí)，在對(duì)稱軸處取得最小值22.設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿意，當(dāng)時(shí)，．（）求的值，試證明是偶函數(shù)．（）證明在上單調(diào)遞減．（）若，，求的取值范圍．【答案】(1)；證明見解析.(2)證明見解析.(3).【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，則，從而可得結(jié)論；