大題創(chuàng)新題精練06導(dǎo)數(shù)沖刺2024高考數(shù)學(xué)（原卷）

大題創(chuàng)新題精練06導(dǎo)數(shù)沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（原卷）【前言】自九省聯(lián)考新題型以來，各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)生以下變化：（1）求公切線、單調(diào)性討論、函數(shù)不等、函數(shù)零點等傳統(tǒng)問題變得簡單，（2）加強(qiáng)了導(dǎo)數(shù)與概率問題的綜合，（3）導(dǎo)數(shù)新定義題目浮出水面。題型探究目錄【題型一】求函數(shù)切線與公切線【題型二】函數(shù)單調(diào)性的討論【題型三】函數(shù)極值最值的討論【題型四】函數(shù)零點問題【題型五】導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計的綜合【題型六】函數(shù)導(dǎo)數(shù)新定義問題知識溫習(xí)1.指數(shù)均值不等式與對數(shù)均值不等式指數(shù)均值不等式：對于實數(shù)a,b,定義為a,b的指數(shù)平均數(shù),則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）對數(shù)均值不等式：對于a,b兩個正數(shù)的對數(shù)平均線，則有（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）2.八大經(jīng)典超越函數(shù)的圖象3.微分中值定理推論：如果在內(nèi)恒有，則在內(nèi)為常數(shù).羅爾定理圖示拉格朗日中值定理圖示【注意】（1）以上3個中值定理，特別時拉格朗日中值定理建立了函數(shù)在區(qū)間上的變化（改變量）與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，從而使我們能夠利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上的整體性態(tài).（2）羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展形式.4.泰勒公式泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多項式逼近函數(shù)和近似計算，對應(yīng)的分別時帶有皮亞諾余項的泰勒公式和帶有拉格朗日余項的泰勒公式。帶有皮亞諾余項的泰勒公式若函數(shù)在點處存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有用得比較多的是在時的特殊形式：它稱為帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式.5.常用的泰勒公式（帶有皮亞諾余項）由泰勒公式，我們得到下列常用的不等式：6.高中常用的泰勒公式（麥克勞林公式）如下：7.切線放縮各個擊破【題型一】求函數(shù)切線與公切線【知識回顧】(略）1．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知函數(shù)在點處的切線平行于軸．(1)求實數(shù)；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．2．（2024·安徽·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.3．（2022·廣東佛山·三模）已知函數(shù)，其中，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，是的零點，過點作曲線的切線，試證明直線也是曲線的切線．【題型二】函數(shù)單調(diào)性的討論【知識回顧】(略）4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)若對任意，有恒成立，求的取值范圍．6．（2024·貴州黔西·一模）已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性;(2)證明:.【題型三】函數(shù)極值最值的討論【知識回顧】(略）7．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求在區(qū)間上的最大值.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；(2)若曲線在點處的切線與軸垂直，求證：．9．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點的個數(shù).【題型四】函數(shù)零點問題【知識回顧】(略）10．（2022·青海西寧·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恰有一個零點，求a的值．11．（2021·福建莆田·二模）設(shè)函數(shù)．（1）若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，．12．（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當(dāng)時，；(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．13．（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，．(1)求的值;(2)求在上的零點個數(shù)．【題型五】導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計的綜合15．（2324高二下·山東濰坊·期中）信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，，定義的信息熵.(1)當(dāng)時，計算；(2)當(dāng)時，試探索的信息熵關(guān)于的解析式，并求其最大值；(3)若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，證明:.16．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．(1)若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．17．（2324高三下·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)證明：；(2)若隨機(jī)變量X可取值為，，且，2，，n，，為X的數(shù)學(xué)期望．證明：①；②．【題型六】函數(shù)導(dǎo)數(shù)新定義問題18．（2024·湖南·二模）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得．(1)運用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在，使得．(2)已知函數(shù)，若對于區(qū)間內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．(3)證明：當(dāng)時，有．19．（2024·廣西·二模）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”.(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；(2)已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；(3)已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.20．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計算：；(3)證明：，.21．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進(jìn)行求導(dǎo)．(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實數(shù)，且，證明：．②設(shè)，求的最小值．22．（2324高二下·浙江·階段練習(xí)）一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間分成個小區(qū)間，每個