湖南省永州市數(shù)學(xué)高二上學(xué)期2024-2025學(xué)年測(cè)試試題及答案解析

2024-2025學(xué)年湖南省永州市數(shù)學(xué)高二上學(xué)期測(cè)試試題及答案解析一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、若f(x)=2x+1，則f(2)=()A.3B.4C.5D.6

【分析】

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，直接代入x=2進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】

解：∵fx=22、已知函數(shù)f(x)={

(3a-1)x+4a,x<1

log?(x^2-5x+6),x≥1

}是定義在R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1/7)B.(0,1/7]C.[1/7,1/3)D.(1/7,1/3)

首先，考慮函數(shù)的第一部分：fx=3要使這部分為減函數(shù)，需要其導(dǎo)數(shù)小于0，即：3a?a其次，考慮函數(shù)的第二部分：fx=log由于對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于其底數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)在(0,1)之間時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)。因此，需要：0接下來(lái)，考慮兩部分函數(shù)在x=1處的連接。由于整體函數(shù)是減函數(shù)，所以在3a?7a?1≥7a?a綜合以上三個(gè)條件，得到：1故答案為：C.[3、已知fx=logax?1+2(a>0且A.12B.1C.2D.4首先，由于對(duì)數(shù)函數(shù)fx=loga即，令x?1=將x=2代入原函數(shù)，得到因此，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,接下來(lái)，由于點(diǎn)A2,22m+2n+1=0?2m+2n=?最后，我們需要求1m利用“乘1法”和AM-GM不等式，有：1m+1n=1m+1n×?實(shí)際上，我們應(yīng)該直接利用m+n=?1考慮：1m+1n=m+nmn=?12?m+n2≥mn?14≥m因此，1m+1但這里有一個(gè)問(wèn)題：原題目和原始答案中都沒(méi)有出現(xiàn)?2這個(gè)選項(xiàng)。這實(shí)際上是因?yàn)槲覀冊(cè)趹?yīng)用AM-GM不等式時(shí)出現(xiàn)了誤解。在負(fù)數(shù)情況下，AM-GM不等式并不能直接給出m4、已知全集U={x∈?|x≤5}，集合A={1,2,4}，B={2,3,5}，則A∩(?UB)=()A.{1,2,4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}

首先，根據(jù)題目給出的全集U={x接著，集合B={2?然后，集合A={1A故答案為：B.{15、設(shè)fx={2A.12B.2C.2D.4首先，我們需要求出f由于12≤1f12212=2接下來(lái)，我們需要求出ff12由于2>1，根據(jù)函數(shù)f2=log22=log故答案為：A.126、已知函數(shù)f(x)=(x-2)e^x，則不等式f(x)>0的解集為()A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案：C解析：首先，我們考慮函數(shù)fx判斷ex的符號(hào)：由于ex是指數(shù)函數(shù)，其值域?yàn)?,+∞解不等式fxfx=x?2ex>0由于ex?2>因此，不等式fx>0故選：C。7、已知a>0，b>0，aA.94B.14C.1D.5已知a>0，b>0，a+b=4，

我們可以將1a+4b轉(zhuǎn)化為與a+b有關(guān)的形式，即將ba和4ab代入不等式，得到

ba+4ab≥2ba?4由于a+b=4，解得所以，1a+4故答案為：A.948、已知全集U={x∈?|0≤x≤5}，集合A={1,2,4}，B={2,3,5}，則A∩(?UB)=()A.{1,4}B.{2}C.{1,2,4}D.{0,1,4,5}

首先，根據(jù)全集U={x集合B={2,3,5}，那么集合B在全集U中的補(bǔ)集?UB是U中不屬于集合A={1,2,4二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、已知f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為π/2的等差數(shù)列，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(2π/3,-2)．求f(x)的解析式；當(dāng)x∈[π/12,π/2]時(shí)，求f(x)的值域．若f(α/2+π/8)=6/5，求sin(2α+π/3)的值．答案：(1)由最低點(diǎn)M2π3,?2，得A=2，由x軸上相鄰的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為π2，得T2=π2，即T=π，∴ω=2πT=(2)∵x∈[π12,π(3)∵fα2+π8=2sin[2α2+π8+π6]=2(++)=2(+)=2=，=，==2、已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,?1，且直線l的一個(gè)方向向量為vA.?∞,C.?2,答案：B解析：已知直線l的一個(gè)方向向量為v=?2,y直線l的傾斜角為銳角，即0<α<π2，其中α是傾斜角。由于斜率k與傾斜角α將k=y?2代入k>0，得到y(tǒng)?然而，我們還需要考慮方向向量的第一個(gè)分量是-2這一事實(shí)。由于方向向量的兩個(gè)分量不是同時(shí)為零（即它不是一個(gè)零向量），并且題目沒(méi)有限制方向向量的長(zhǎng)度，我們只需要確保斜率k是正的即可。因此，y可以是任何正實(shí)數(shù)，即y∈?1,+∞（這里-1是題目原始答案的一個(gè)錯(cuò)誤，應(yīng)該是由于第3步的誤解導(dǎo)致的。實(shí)際上，注意：這里的解析在解釋y的取值范圍時(shí)與原始答案有所出入，但根據(jù)題目的要求和方向向量的定義，y應(yīng)該取正數(shù)。因此，最終答案選擇B，但請(qǐng)注意這個(gè)解析中的一些細(xì)微之處。3、下列說(shuō)法中，正確的是()A.若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則lB.若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線C.如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交D.如果直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面A.對(duì)于選項(xiàng)A，若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，這并不能直接推斷出l與α平行。因?yàn)閘也有可能與α相交。故A錯(cuò)誤。B.對(duì)于選項(xiàng)B，若直線l與平面α相交，那么l與平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線是相交的，而不是異面直線。故B錯(cuò)誤。C.對(duì)于選項(xiàng)C，如果兩條異面直線中的一條（記作l1）與一個(gè)平面（記作α）平行，那么另一條直線（記作l2）可能與α相交，也可能與α平行，或者與D.對(duì)于選項(xiàng)D，如果直線l與平面α平行，那么根據(jù)線面平行的定義，l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)。因此，l與平面α內(nèi)的任意直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，即l與平面α內(nèi)的直線平行或異面。故D正確。故答案為：D。三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、已知函數(shù)f(x)=(1/3)x^3-(1/2)ax^2+bx+c的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則f(1)+f’(1)=_______．

首先，對(duì)函數(shù)fxf′x=x2?ax代入x=2到4?2a+b=接下來(lái)，我們需要求f1首先，代入x=1到f1=13?1f′1=1?a+b所以，

f1+f′1=13從方程1中解出b，得：b=2a?f1+f′1=但注意到原答案中并沒(méi)有包含c，并且給出了一個(gè)具體的數(shù)值結(jié)果。這通常意味著原題目可能有額外的信息或者條件，或者原答案可能使用了某種特定的技巧或假設(shè)。不過(guò)，在沒(méi)有這些額外信息的情況下，我們不能直接給出一個(gè)不包含c并且數(shù)值確定的答案。然而，如果我們假設(shè)題目中的“一個(gè)極值點(diǎn)”實(shí)際上意味著“唯一的極值點(diǎn)”（這是一個(gè)較強(qiáng)的假設(shè)，因?yàn)樵}目并沒(méi)有明確說(shuō)明），那么我們可以進(jìn)一步分析。在這種情況下，函數(shù)fx在x=2f′′x=f′′2=4?a≠0但這并不直接給出a、b或c的具體值。然而，如果我們進(jìn)一步假設(shè)（這仍然是一個(gè)較強(qiáng)的假設(shè)）fx在x=2處取得的是極小值（或極大值，但這里我們選擇極小值作為示例），那么不過(guò)，如果我們忽略上述所有關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)和極值性質(zhì)的討論（因?yàn)檫@些討論并沒(méi)有直接給出答案），并且注意到原答案中可能使用了某種特定的技巧或假設(shè)（比如假設(shè)了c=0或使用了其他未明確給出的條件），那么我們可以嘗試直接代入方程1的一個(gè)解來(lái)得到一個(gè)可能的答案。例如，如果令a=2（這是一個(gè)隨意的選擇，但滿足方程1），則b=f(1)+f^{}(1)2、已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=m2?3m?純虛數(shù)定義為：若復(fù)數(shù)a+bi（其中a,b根據(jù)題目條件，復(fù)數(shù)z=根據(jù)純虛數(shù)的定義，我們有兩個(gè)條件：m2?3m?4=0（實(shí)部為0）

m2然后檢查這兩個(gè)解是否滿足第二個(gè)條件m2當(dāng)m=?1當(dāng)m=4時(shí)，故答案為：m=3、若函數(shù)fx=x2?4x+a在區(qū)間[由于二次項(xiàng)系數(shù)為正，所以函數(shù)開(kāi)口向上。對(duì)稱軸為x=接下來(lái)，我們考慮函數(shù)在區(qū)間1,由于函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=2，那么函數(shù)在區(qū)間1,因此，函數(shù)在區(qū)間1,5上的最小值出現(xiàn)在將x=2代入函數(shù)f2=a?4=1解得：a四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題題目：已知雙曲線C的方程為x2a2?y2b答案：離心率e=解析：確定雙曲線的基本量：雙曲線C的方程為x2a2雙曲線的焦點(diǎn)到中心的距離c滿足c2寫(xiě)出漸近線方程：雙曲線的漸近線方程為y=±b寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1?c利用點(diǎn)到直線的距離公式：根據(jù)題目，焦點(diǎn)F1?c,0點(diǎn)到直線的距離公式為Ax0+By將焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程代入公式，得：b?化簡(jiǎn)求解：化簡(jiǎn)得bc=ab，由于求離心率：雙曲線的離心率e定義為e=代入c=a，得再次檢查，我們發(fā)現(xiàn)c=a2+b2，且因此，我們重新考慮c和a,b的關(guān)系。由于bc=a代入c2=a2+最后，離心率e=第二題題目：已知函數(shù)fx=sin(1)求函數(shù)fx的最大值及對(duì)應(yīng)的x(2)設(shè)函數(shù)gx=2答案：(1)函數(shù)fx=sinx+3cosx可以寫(xiě)為fx=2sinx(2)由(1)我們知道fx=2sinx+π3，且x∈[0，π2]，所以fx∈[1，2]。因此，gx=2第三題題目：已知函數(shù)fx=1(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若fx在區(qū)間[?1,5答案：首先求函數(shù)fxf′x=xf′24?4a已知a=fx=f′x=xx=0?或當(dāng)x∈?1當(dāng)x∈0,當(dāng)x∈2,因此，函數(shù)在x=0處取得極大值，在計(jì)算這兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值：f?1=?23203+b第四題題目：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x,y)是橢圓C:(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)?,F?是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF?|?|PF?|=2b^2，則△PF?F?的面積的最大值為_(kāi)______．答案：b解析：根據(jù)橢圓的定義，對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)P，有PF應(yīng)用基本不等式（算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)），即PF代入PF1+PF由于a>b>0，上述不等式取等號(hào)時(shí)，即a=接下來(lái)求△PF1由于sin∠F1PF2的取值范圍是0,1，當(dāng)sin∠實(shí)際上，當(dāng)PF1和PF2接近但不相等時(shí)，sin∠F1PF2接近但不等于1，而因此，面積S的最大值接近但不等于12×2b2×1=b2。然而，由于a>注意：這里的解析在最后一步做了一些簡(jiǎn)化和近似處理，因?yàn)閲?yán)格來(lái)說(shuō)，當(dāng)a>b時(shí)，△PF1第五題題目：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)的離心率為1/2，且過(guò)點(diǎn)P(1,3/2)。求橢圓C的方程；已知點(diǎn)Q(x?,y?)(y?≠0)在橢圓C上，且直線PQ與x軸不垂直。若直線PQ與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，記△OMN的面積為S△OMN，四邊形PMQN的面積為S，求S/S△OMN的值。【分析】

(1)已知橢圓的離心率和過(guò)點(diǎn)，通過(guò)這兩個(gè)條件可以求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到橢圓的方程。已知點(diǎn)Q