2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第04講 五種裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法（原卷）

第04講五種裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法考法呈現(xiàn)考法一：分式型裂項(xiàng)例題分析【例1】已知在等差數(shù)列an中，a1+(1)求an(2)求數(shù)列12n+1an的前n滿分秘籍利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能是前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，也有可能是間隔開的項(xiàng)剩下，一般來說是對(duì)稱的。將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，一定要注意調(diào)整前面的系數(shù)，避免失誤。掌握常見的分式型裂項(xiàng)相消的公式：公式一：1n(n+k)=公式三：1變式訓(xùn)練【變式1-1】記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N(1)證明：an(2)求數(shù)列1ana【變式1-2】記Sn為數(shù)列{an(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列{a①數(shù)列Snn是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=1，a3=5【變式1-3】已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a(1)求an與b(2)若bn>0，設(shè)cn=3an【變式1-4】已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，且a1=1(1)當(dāng)d取最大值時(shí)，求通項(xiàng)an(2)在（1）的條件下，求數(shù)列15n+1an的前n考法二：根式型裂項(xiàng)例題分析【例2】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a4(1)求an(2)設(shè)bn=2an+2+an，數(shù)列bn滿分秘籍根式型裂項(xiàng)常見公式：根式型裂項(xiàng)常見公式：公式一：1a公式二：1n變式訓(xùn)練【變式2-1】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為Tn，若不等式(?1)nλ<2?(3)記bn=1【變式2-2】已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1(1)求證：數(shù)列an(2)設(shè)bn=1an2a【變式2-3】在正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=(1)求an(2)證明：i=1n【變式2-4】在①bn=1an+a已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)證明：數(shù)列an(2)若a1=2，設(shè)___________，求數(shù)列bn的前n考法三：指數(shù)型裂項(xiàng)例題分析【例3】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列an(2)若bn=2nan?1滿分秘籍指數(shù)型裂項(xiàng)常見公式指數(shù)型裂項(xiàng)常見公式公式一：n?2n?1公式二：n?2n?1公式三：n?變式訓(xùn)練【變式3-1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=3nan+1【變式3-2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)記bn=anSn?【變式3-3】已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)設(shè)bn=2nan?an+1【變式3-4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3，(1)求S2，S3及(2)設(shè)bn=an+1an?1an+1?1，數(shù)列bn考法四：對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)例題分析【例4】已知數(shù)列an滿足(1)證明：數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=lnan+1a滿分秘籍對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)常見公式對(duì)數(shù)型裂項(xiàng)常見公式log變式訓(xùn)練【變式4-1】已知數(shù)列an的首項(xiàng)為2，an>0且滿足an2?a(1)求an(2)設(shè)cn=log2bn+1b【變式4-2】已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，n∈N?，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b(1)求an和b(2)設(shè)c1=0，cn+1?c(3)設(shè)dn=3cnbn+1,n=2k?1ln【變式4-3】已知數(shù)列an，bn，已知對(duì)于任意n∈N?，都有an=3bn+1，數(shù)列(1)求數(shù)列an和b(2)記cn（?。┣骾=1n（ⅱ）求k=12n【變式4-4】已知數(shù)列pn是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，qn是公比為2的等比數(shù)列，且滿足p3=q2，(1)求an(2)在①bn=nn+1an；②bn=log4an考法五：三角函數(shù)型裂項(xiàng)例題分析【例5】已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以qnqn>1為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2(1)證明：數(shù)列1a(2)設(shè)bn=tanπa滿分秘籍三角函數(shù)型裂項(xiàng)常見公式三角函數(shù)型裂項(xiàng)常見公式公式一：sin公式二：tan變式訓(xùn)練【變式5-1】已知數(shù)列{an}中，a1=1(1)設(shè)bn=1an+1?1(n∈N(2)設(shè)cn=sin3cosbn【變式5-2】在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=（Ⅰ）求數(shù)列{a（Ⅱ）設(shè)bn=tanan?tan【變式5-3】已知數(shù)列an中，a1=2，a(1)設(shè)bn=a(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列an的的前(3)設(shè)cn=sin【變式5-4】在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1+（1）求數(shù)列an（2）令bn=log2an，求數(shù)列真題專練1．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n+132．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列1an的前n項(xiàng)和3．在等差數(shù)列{an}中，a2=4，其前n(1)求實(shí)數(shù)λ的值，并求數(shù)列{a(2)若數(shù)列{1Sn+bn}是首項(xiàng)為λ，公比為2λ4．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求an和S(2)設(shè)bn=1SnSn+15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnSn≠0，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積為(1)求證：1S(2)記bn=1n26．已知數(shù)列an滿足a(1)證明1an為等差數(shù)列，并(2)設(shè)cn=4n2ana7．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的積記為Tn，且滿足(1)證明：數(shù)列Tn(2)設(shè)bn=1TnTn+18．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1(1)求an(2)記數(shù)列l(wèi)og2an+1an的前n9．已知等差數(shù)列an，首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)若bn=1anan+110．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)記bn=1nan，數(shù)列bn11．已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：數(shù)列3n(2)若數(shù)列bn滿足bn=9n?a12．在公差不為0的等差數(shù)列an中，a4=5，且a2，(1)求an的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S(2)設(shè)bn=1anan+113．已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1(1)證明：數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求數(shù)列(2)設(shè)bn=an+1an14．已知數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=sinπ215．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求數(shù)列an(2)已知_________，Tn是bn的前n項(xiàng)和，證明：從①bn=2?316．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列cn滿足cn+1?17．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)證明：數(shù)列an(2)若a2+1，a3+1，a5成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列b①bn=nan2a1