2025年高考數(shù)學復習大題題型歸納：專題08 數(shù)列中的知識交匯和創(chuàng)新型問題（原卷）

專題08數(shù)列中的知識交匯和創(chuàng)新型問題一、數(shù)列中的知識交匯問題1．王先生今年初向銀行申請個人住房貸款100萬元購買住房，按復利計算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產生的利息；②等額本息：在還款期內，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應還15000元，最后一個還貸月應還6500元，試計算王先生該筆貸款的總利息；(2)若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3%，.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)1.003119≈1.428，2．佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結合所學數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列an(2)佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前m（m∈N*）項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2a1、3a2、4a3、……、3．在當前市場經濟條件下，某服裝市場上私營個體商店中的商品所標價格a與其實際價值b之間存在著相當大的差距.對購物的消費者來說，這個差距越小越好，而商家則相反，于是就有消費者與商家的“討價還價”，常見的方法是“對半還價法”，消費者第一次減去定價的一半，商家第一次討價加上二者差價的一半;消費者第二次還價再減去二者差價的一半，商家第二次討價，再加上二者差價的一半，如此下去，可得表1:表1次數(shù)消費者還價商家討價第一次bc第二次bc第三次bc?????????第n次bc消費者每次的還價bn(n∈k)組成一個數(shù)列(1)寫出此數(shù)列的前三項，并猜測通項bn的表達式并求出lim(2)若實際價格b與定出a的價格之比為b:a=0.618:1，利用“對半還價法”討價還價，最終商家將能有百分之幾的利潤?4．近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點.某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達40%，每年年底把除運營成本a(1)若a=100，在第3年年底扣除運營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？(2)每年的運營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運營成本后資金達到3000萬元？（結果精確到0.1萬元）5．甲、乙兩人同時分別入職A,B兩家公司，兩家公司的基礎工資標準分別為：A公司第一年月基礎工資數(shù)為3700元，以后每年月基礎工資比上一年月基礎工資增加300元；B公司第一年月基礎工資數(shù)為4000元，以后每年月基礎工資都是上一年的月基礎工資的1.05倍．(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎工資收入總量（精確到1元）(2)設甲、乙兩人入職第n年的月基礎工資分別為an、bn元，記cn6．治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措．去年S市產生的垃圾量為200萬噸，通過擴大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預計從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬噸，從第6年開始，每年的垃圾排放量為上一年的75%(1)寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)nn∈(2)設An為從今年開始n7．為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預防.規(guī)定每人每天定時服用一次，每次服用m毫克.已知人的腎臟每24小時可以從體內濾除這種藥物的80%，設第n次服藥后（濾除之前）這種藥物在人體內的含量是an毫克，（即a(1)已知m=12，求a2?a(2)該藥物在人體的含量超過25毫克會產生毒副作用，若人需要長期服用這種藥物，求m的最大值.8．保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿．為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?(2)到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%9．某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0．5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構成數(shù)列an，每年發(fā)放電動型汽車牌照數(shù)為構成數(shù)列baaa3a4bbb3=b4(2)從2013年算起，累計各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張？10．市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每月的還款額均相同．銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首次還款）．已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%．（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算該筆貸款的總利息．（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半．已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）．參考數(shù)據(jù)：1.004240（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度考慮，小張應選擇哪種還款方式．11．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從11月k+19≤k≤29,k∈（1）若k=9，求11月1日至11月10日新感染者總人數(shù)；（2）若到11月30日止，該市在這30天內的新感染者總人數(shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).12．某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為13，并且規(guī)定若第ii=1,2,?,n?1題正確選項為兩個，則第i+1題正確選項為兩個的概率為13；第ii=1,2,?,n?1題正確選項為三個，則第(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設Y表示第n題得分，求證：EY13．甲?乙兩人進行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，雙方的籌碼不動，當一方無籌碼時，比賽結束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，甲的籌碼個數(shù)記為X，求X的分布列和期望；(2)求四局比賽后，比賽結束的概率；(3)若Pii=0,1,?,6表示“在甲所得籌碼為i枚時，最終甲獲勝的概率”，則P0二、數(shù)列中的創(chuàng)新型問題14．已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=2，對任意的正整數(shù)(1)證明：數(shù)列Sn(2)問an15．如果數(shù)列an對任意的n∈N*，a(1)請寫出一個速增數(shù)列an(2)若數(shù)列an為“速增數(shù)列”，且任意項an∈Z，a1=1，16．設數(shù)列an的前n項和為Sn，若12(1)若an=n(2)若數(shù)列an前n項和為Sn=(3)設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列.若數(shù)列an與Sn17．已知an和bn是各項均為正整數(shù)的無窮數(shù)列，若an和bn都是遞增數(shù)列，且an中任意兩個不同的項的和不是bn中的項，則稱an(1)求數(shù)列cn(2)若dn為首項與公比均為c1+1的等比數(shù)列，求數(shù)列cn?dn的前n18．設y=f(x)是定義域為R的函數(shù)，如果對任意的x1、x2∈Rx1(1)若f1(x)=1x2+1,f2(x)=sinx(2)若函數(shù)y=f(x)是“平緩函數(shù)”，且y=f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的x1、x2∈R，(3)設y=g(x)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=A?g(x)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列xn滿足:x1=0,x19．若項數(shù)為NN≥3的數(shù)列AN:a1,a2,?,aN(1)①若N=3，寫出所有具有性質P的數(shù)列A3②若N=4,a4=3，寫出一個具有性質P(2)若N=2024，數(shù)列A2024具有性質P，求A(3)已知數(shù)列AN:a1,a2,?,aN,BN:b20．在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”.如數(shù)列1，2第1次“和擴充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設數(shù)列a，b，c經過第n次“和擴充”后所得數(shù)列的項數(shù)記為Pn，所有項的和記為S(1)若a=1,b=2,c=3，求P2，S(2)設滿足Pn≥2023的n的最小值為n0，求n0及Sn03（其中[x21．已知Q：a1,a2,…,ak為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的n∈1,2,???,m,在Q中存在ai,ai+1,ai+2,…,ai+j(1)判斷Q：2,1,4,2是否為7—連續(xù)可表數(shù)列？是否為8(2)若Q：a1,a2,…,ak為8—22．已知有限數(shù)列an，從數(shù)列an中選取第i1項、第i2項、?、第im項（i1<i2<?<im），順次排列構成數(shù)列bk，其中bk=aik，1≤k≤m，則稱新數(shù)列bk(1)判斷下面數(shù)列an數(shù)列①：3，5，7，9，11；數(shù)列②：2，4，8，16．(2)數(shù)列an的子列bk長度為m，且bk(3)數(shù)列an的子列bk長度m=5，且bk23．有窮數(shù)列{an}共m項(m≥3)．其各項均為整數(shù)，任意兩項均不相等．bi=(1)若{an}：0，1，a3．求(2)若m=5，當i=15ai(3)若1≤ai≤mi=1,24．如圖為一個各項均為正數(shù)的數(shù)表，記數(shù)表中第i行第j列的數(shù)為ai,j1…620?(1)若ai,j=100，求實數(shù)對(2)證明：所有正整數(shù)恰在數(shù)表中出現(xiàn)一次.25．若數(shù)列an滿足ak+1?ak=1k=1,2,3,?,n?1(1)寫出一個滿足a1=a5=1(2)若a1=24,n=2000，證明：η數(shù)列an(3)對任意給定的整數(shù)nn≥3，是否存在首項為1的η數(shù)列an，使得Sn=1？如果存在，寫出一個滿足條件的26．定義矩陣運算：abcdxy=ax+bycx+dy．已知數(shù)列(1)證明：an，b(2)求數(shù)列a2n+3b2n?1+127．將數(shù)列{an}按照一定的規(guī)則，依順序進行分組，得到一個以組為單位的序列稱為數(shù)列{an}的一個分群數(shù)列，{an}稱為這個分群數(shù)列的原數(shù)列.如(a1,a2,?,ar)，(a(1)若數(shù)列{an}的一個分群數(shù)列每個群都含有3項，該分群數(shù)列第k群的最后一項為b(2)若數(shù)列{an}的一個分群數(shù)列滿足第k群含有k項，Ak為{an}28．已知數(shù)列an3n是以13為首項的常數(shù)列，Sn(1)求Sn(2)設正整數(shù)m=b0×30+b1×31+?+bk×3k，其中bi∈{0,1,2},i,k∈N．例如：3=0×29．已知an是公比為q的等比數(shù)列．對于給定的k(k=1,2,3?n)，設T(k)是首項為ak，公差為2ak?1的等差數(shù)列an，記T(k)的第(1)求an(2)求i=1n(3)求i=1n30．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求an(2)保持an中各項先后順序不變，在ak與ak+1之間插入k個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列bn，記bn的前n31．若項數(shù)為k?(k∈N?，k≥3)的有窮數(shù)列{an}滿足：0≤a1<a(1)判斷數(shù)列0?,?(2)設數(shù)列{an}具有性質P，ai?(i=1，(3)若數(shù)列{an}具有性質P，證明：當k≥532．已知有窮數(shù)列A:a1，a2，?，an(n≥3)中的每一項都是不大于n的正整數(shù).對于滿足(1)若A:6?，?3?，?2?，?(2)若1s(a1(3)已知a1=a?,?a2=b，若對任意的正整數(shù)33．已知無窮數(shù)列an滿足an=maxan+1,an+2?minan+1(1)當a1=1，a2(2)若數(shù)列an中的項存在最大值，證明：0為數(shù)列a(3)若an>0(n=1,2,3,?)，是否存在正實數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有an34．設λ為整數(shù)．有窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，其項數(shù)為m（m≥2）．若an滿足如下兩個性質，則稱an為Pλ數(shù)列：①am(1)若an為P1數(shù)列，且a1(2)若an為P?1數(shù)列，求(3)若對任意的P1數(shù)列an，均有m≤2log35．若數(shù)列An滿足An+1=