利用二次函數(shù)解決實際問題

1.(2013湖北省孝感市)在“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動，他們購進(jìn)一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親。經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價格銷售時，每天能賣出36件；若每件按29元的價格銷售時，每天能賣出21件．假定每天銷售件數(shù)y（件）與銷售價格x（元/件）滿足一個以x為自變量的一次函數(shù)。（1）求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤最大？答案：解：（1）設(shè)與滿足的函數(shù)關(guān)系式為：．由題意可得：解得∴與的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）每天獲得的利潤為：．∴當(dāng)銷售價定為元時，每天獲得的利潤最大．201309221027559370294.6利用二次函數(shù)解決實際問題計算題雙基簡單應(yīng)用2013-09-222.(2013湖北省咸寧市)為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：.（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第1個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔(dān)的總差價為多少元？（2）設(shè)李明獲得的利潤為（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為多少元？答案：解：（1）當(dāng)時，y=－10x＋500=－10×20+500=300，300×（12－10）=300×2=600，即政府這個月為他承擔(dān)的總差價為600元．（2）依題意得，∵＜0，∴當(dāng)時，有最大值4000．即當(dāng)銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000．（3）由題意得：，(第22題)O(第22題)O3000x直線x=30w2040∵＜0，拋物線開口向下，∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時，w≥3000.又∵x≤25，∴當(dāng)20≤x≤25時，w≥3000.設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為p元,∴.∵＜0，∴p隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，有最小值500．201309221002148595454.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題解決問題2013-09-223.(2013湖北省武漢市)科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)，科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：溫度/℃……－4－20244.5……植物每天高度增長量/mm……414949412519.75……由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測出植物每天高度增長量是溫度的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．（1）請你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；（2）溫度為多少時，這種植物每天高度的增長量最大？（3）如果實驗室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇？請直接寫出結(jié)果．答案：（1）選擇二次函數(shù)，設(shè)，得，解得∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是．不選另外兩個函數(shù)的理由：注意到點（0，49）不可能在任何反比例函數(shù)圖象上，所以不是的反比例函數(shù)；點（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直線上，所以不是的一次函數(shù)．（2）由（1），得，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值為50．即當(dāng)溫度為－1℃時，這種植物每天高度增長量最大．（3）．201309220952137817864.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題解決問題2013-09-224.(2013湖北省黃岡市)某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完，該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤（元）與國內(nèi)銷售數(shù)量（千件）的關(guān)系為：若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤（元）與國外的銷售數(shù)量（千件）的關(guān)系為：（1）用的代數(shù)式表示為：_________；當(dāng)時，與的函數(shù)關(guān)系為：_______；當(dāng)時，（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤（千元）與國內(nèi)的銷售數(shù)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；（3）該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？答案：解：（1）；當(dāng)時，當(dāng)時，．（2）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，（3）當(dāng)時，，時，當(dāng)時，，時，當(dāng)時，，時，∴時，國內(nèi)4千件，國外2千件，最大利潤為64萬元（或640千萬）．201309220905297816864.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題解決問題2013-09-225.(2013黑龍江省哈爾濱市)某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬為（單位：米），現(xiàn)以所在直線為軸，以拋物線的對稱軸為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點為．已知米，設(shè)拋物線解析式為．（1）求的值；（2）點是拋物線上一點，點關(guān)于原點的對稱點為，連接、、，求的面積．答案：1）解：，由拋物線的對稱性可知．．．．（2）解：過點作于，過點作于．．令，．點關(guān)于原點的對稱點為，．．··．的面積為15平方米．201309220753104845484.6利用二次函數(shù)解決實際問題復(fù)合題基本技能2013-09-226.(2013河北省)某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數(shù)Q量化考核司機(jī)的工作業(yè)績．Q=W+100，而W的大小與運輸次數(shù)n及平均速度x（km/h）有關(guān)（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）當(dāng)x=70，Q=450時，求n的值；（3）若n=3，要使Q最大，確定x的值；（4）設(shè)n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420，若能，求出m的值；若不能，請說明理由．參考公式：拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是（－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a)）答案：解：（1）設(shè)，．由表中數(shù)據(jù)，得解得．（2）由題意，得，．（3）當(dāng)時，．由可知，要使最大，．（4）由題意，得，即．解得，或(舍去)．．201309170817229682954.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題解決問題2013-09-177.(2013山西省)如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點，橋拱最高點到的距離為9m，，為橋拱底部的兩點，且，點到直線的距離為7m，則的長為m．第第18題圖答案：48201309161618128429694.6利用二次函數(shù)解決實際問題填空題基礎(chǔ)知識2013-09-168.(2013浙江省衢州市)某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結(jié)600個橘子.根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一顆樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橘子.設(shè)果園增種棵橘子樹，果園橘子總個數(shù)為個，則果園里增種▲棵橘子樹，橘子總個數(shù)最多.答案：10201309160933013629274.6利用二次函數(shù)解決實際問題填空題基礎(chǔ)知識2013-09-169.(2013山東省濱州市)某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長方體形．其中，抽屜底面周長為180cm，高為20cm．請通過計算說明，當(dāng)?shù)酌娴膶抶為何值時，抽屜的體積y最大？最大為多少？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計)答案：解：根據(jù)題意，得y=20x(－x)，整理，得y=－20x2+1800x．∵y=－20x2+1800x=－20(x2－90x+2025)+40500=－20(x－45)2+40500，∵－20＜0，∴當(dāng)x=45時，函數(shù)有最大值，y最大值=40500，即當(dāng)?shù)酌娴膶挒?5cm時，抽屜的體積最大，最大為40500cm2．201309131618334842814.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-1310.(2013浙江省湖州市)某農(nóng)莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農(nóng)小張和果農(nóng)小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務(wù)。小張種植每畝蔬菜的工資(元)與種植面積（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖①所示；小李種植水果所得報酬（元）與種植面積（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示（1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是________元，小張應(yīng)得的工資總額是_______元；此時，小李種植水果_______畝，小李應(yīng)得的報酬是_______元；（2）當(dāng)10<≤30時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)農(nóng)莊支付給小張和小李的總費用為W（元），當(dāng)10<≤30時，求W與之間的函數(shù)關(guān)系式。答案：解：（1）小張種植每畝蔬菜的工資是140元，1分小張應(yīng)得的工資總額是2800元；1分小李種植水果10畝，1分小李應(yīng)得的報酬是1500元1分（2）當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)圖像經(jīng)過點，，設(shè)則2分解得∴1分（3）當(dāng)時，∵又∵當(dāng)時，；當(dāng)時，∴當(dāng)時，，1分當(dāng)時，，∴1分∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為：201309121514240195504.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-1211.(2013安徽省)某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示.銷售量p（件）p=50—x銷售單價q（元/件）當(dāng)1≤x≤20時，q=30+x；當(dāng)21≤x≤40時，q=20+（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？答案：解：（1）當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，令，得.即第10天或者第35天該商品的銷售單價為35/件.（4分）（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，.（8分）（3）當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值，有最大值，且當(dāng)時，，隨著的增大而減小，時，最大.于是，時，有最大值，且..這40天中第21天時該網(wǎng)店獲得利潤最大，最大利潤為725元.（12分）201309111612404066064.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-1112.(2013江蘇省鹽城市)水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進(jìn)一種水果銷售.經(jīng)過還價，實際價格每千克比原來少2元，發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80千克的錢，現(xiàn)在可買88千克.（1）現(xiàn)在實際購進(jìn)這種水果每千克多少元？（2）王阿姨準(zhǔn)備購進(jìn)這種水果銷售，若這種水果的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（利潤=銷售收入進(jìn)貨金額）答案：（1）解：設(shè)現(xiàn)在實際購進(jìn)這種水果每千克a元，根據(jù)題意得：80（a+2）=88a，解之得：a=20.答：現(xiàn)在實際購進(jìn)這種水果每千克20元.（2）∵y是x的一次函數(shù)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（25，165），（35，55）分別代入y=kx+b，得：解得：k=11，b=440.∴.（3）設(shè)最大利潤W元，則W=.∴當(dāng)x=30時，.答：將這種水果每千克定為30元時，能獲得最大利潤，最大利潤為1100元.201309101715136872914.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-1013.(2013新疆烏魯木齊)某公司銷售一種進(jìn)價為20元/個的計算器，其銷售量（萬個）與銷售價格（元/個）的變化如下表：價格x（元/個）…30405060…銷售量y（萬個）…5432…同時，銷售過程中的其他開支（不含進(jìn)價）總計40萬元．（1）觀察并分析表中的與之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出（萬個）與（元/個）的函數(shù)解析式；（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤（萬元）與銷售價格（元/個）的函數(shù)解析式，銷售價格為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應(yīng)定為多少元？答案：解：（1）（3分）（2）故當(dāng)銷售單價為50元/個時凈得利潤最大，最大值為50萬元；（7分）（3）當(dāng)凈得利潤為40萬元時，即，解得通過觀察函數(shù)的圖象（如圖）．可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：．而與的函數(shù)關(guān)系式為：∵，∴隨的增大而減?。暨€需考慮銷售量（萬個）盡可能大，故銷售價格應(yīng)定為40元/個．（12分）201309101602144009464.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-1014.(2013四川省宜賓市)某商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲元（為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？答案：解：（1）（且為整數(shù)）；（2）．，當(dāng)時，有最大值2402.5．，且為整數(shù)，當(dāng)時，，（元），當(dāng)時，，（元）當(dāng)售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．（3）當(dāng)時，，解得：．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．當(dāng)售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元．當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當(dāng)售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．201309091607485787374.6利用二次函數(shù)解決實際問題應(yīng)用題基礎(chǔ)知識2013-09-0915.(2013江蘇省連云港市)我市某海域內(nèi)有一艘漁船發(fā)生故障，海事救援接到求救信號后立即從港口出發(fā)沿直線勻速前往救