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文檔簡介
一、利用極坐標計算二重積分二、小結思考題§10.2二重積分的計算法(二)1一、利用極坐標系計算二重積分首先分割區(qū)域D兩組曲線將D分割成許多小區(qū)域用1.極坐標系下二重積分表達式2將典型小區(qū)域近似看作矩形(面積=長×寬)則面積元素扇形弧長徑向寬度3則二重積分極坐標表達式可得下式極坐標系下的面積元素為直角坐標系下的面積元素為區(qū)別注意42.二重積分化為二次積分的公式區(qū)域特征如圖(1)極點O在區(qū)域D的邊界曲線之外時定限口訣仍適用注5若區(qū)域特征如圖特別地定限口訣6(2)極點O恰在區(qū)域D的邊界曲線之上時區(qū)域特征如圖定限口訣(1)的特例73.極坐標系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖(3)極點O在區(qū)域D的邊界曲線之內時定限口訣(2)的特例8下列各圖中區(qū)域D
分別與x,y軸相切于原點,試問
的變化范圍是什么?答:(1)(2)觀察練習9解例110xyo的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法由于用直角坐標計算.例2解注1.11利用例2可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中、以及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例2的結果,得①故①式成立.該法比教材上的方法簡捷.注2.說明12例3解13(課本P148例6)由對稱性其中例4解用極坐標表示14經驗一般來說,當積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域,而被積函數(shù)中含有時,采用極坐標計算二重積分往往比較簡單.15二重積分在極坐標下的計算公式(在積分中注意使用對稱性)二、小結16[二重積分計算步驟及注意事項]?
畫出積分域?選擇坐標系[直角坐標or極坐標]?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少
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