5.2平面向量的數(shù)量積答案

5.2平面向量的數(shù)量積(見(jiàn)學(xué)生用書(shū)P114)課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念3.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律,并會(huì)應(yīng)用數(shù)量積的基本運(yùn)算1.通過(guò)向量數(shù)量積的相關(guān)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)投影向量及應(yīng)用2.通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)向量模與夾角的有關(guān)計(jì)算1.(概念辨析)(多選)下列說(shuō)法不正確的有().A.投影是一種變換,投影向量是向量B.若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角C.若a∥b,b∥c,則a∥cD.若a·b=b·c,則a=c答案BCD解析對(duì)于A(yíng),由投影和投影向量的定義可知A正確;對(duì)于B,當(dāng)兩個(gè)非零向量a和b的夾角為π時(shí),a·b=|a||b|<0,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若b=0,則不能得出a∥c,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)b⊥(ac)時(shí),a·b=b·c,但可能a≠c,故D錯(cuò)誤.2.(對(duì)接教材)已知|a|=1,|b|=2,a·b=2,則向量a,b的夾角為().A.π6 B.π4 C.3π4答案B解析設(shè)a與b的夾角為θ,因?yàn)閨a|=1,|b|=2,且a·b=2,所以a·b=|a||b|cosθ=2,即1×2×cosθ=2,解得cosθ=22,又θ∈[0,π],所以θ=π3.(對(duì)接教材)已知平面向量a,b滿(mǎn)足|a|=2,|b|=1,且a與b的夾角為π3,則|a+b|=()A.3 B.5 C.7 D.3答案C解析因?yàn)閨a|=2,|b|=1,且a與b的夾角為π3所以|a+b|=(a+b)2=a4.(易錯(cuò)自糾)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,則BA·AC的值為.

答案3解析在△ABC中,BC=BA+AC,平方得BC2=BA2+2BA·AC+AC2,即10=9+2BA·AC+4,所以BA·AC5.(模擬演練)(2024·廣東七校聯(lián)考)等邊△ABC邊長(zhǎng)為2,BD=13BC,則AD·BC=(A.1 B.1 C.23 D.答案D解析如圖所示,由△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且BD=13BC,可得AD=AB+所以AD·BC=(AB+BD)·BC=AB·BC+BD·BC=2·2·cos120°+23·2=2平面向量的數(shù)量積典例1(1)(2023·全國(guó)乙卷文)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn),則EC·ED=().A.5 B.3C.25 D.5(2)(2024·江蘇如東期初學(xué)情檢測(cè))已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=3,|a2b|=3,則|ab|=().A.2 B.3 C.2 D.5(3)(2023·江蘇如皋中學(xué)月考)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=2|b|=2,且(ab)⊥b,則向量b在向量a方向上的投影向量的模為.

(4)設(shè)兩個(gè)向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2.若(2ab)·(a+b)=3,則a,b的夾角θ=;若a,b的夾角為60°,向量2tab與2a+tb的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

答案(1)B(2)A(3)12(4)120°(解析(1)(法一)以AB,AD為基底向量,可知|AB|=|AD|=2,AB·AD則EC=EB+BC=12AB+AD,ED=EA+AD=12所以EC·ED=12AB+AD·-12AB+AD=1(法二)由題意可得ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC=DE2+CE2所以EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=5×5×35=3(2)由題意可得|a2b|2=a24a·b+4b2=14a·b+12=9,解得a·b=1,所以|ab|=(a-b)2=a(3)因?yàn)?ab)⊥b,所以(ab)·b=a·bb2=0,所以a·b=b2,又|a|=2|b|=2,設(shè)a,b的夾角為θ,所以向量b在向量a方向上的投影向量的模為|b||cosθ|=|a·b||(4)由(2ab)·(a+b)=3,得2a2+a·bb2=3,又a2=1,b2=4,所以a·b=1,所以cosθ=a·b|a||b|=12若a,b的夾角為60°,則a·b=1×2×cos60°=1,則(2tab)·(2a+tb)=4ta2+2t2a·b2a·btb2=2t22.因?yàn)橄蛄?tab與2a+tb的夾角為鈍角,所以2t22<0,解得1<t<1.設(shè)2tab=λ(2a+tb),λ<0,則2t所以當(dāng)向量2tab與2a+tb的夾角為鈍角時(shí),t的取值范圍為(1,1).向量數(shù)量積的求法1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積,首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角,其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.2.求向量a,b的夾角θ的思路:(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ=a·b|a||(2)在個(gè)別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計(jì)算cosθ的值.3.解決向量投影問(wèn)題應(yīng)注意以下三點(diǎn):(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同方向的單位向量),它是一個(gè)向量,且與b共線(xiàn),其方向由向量a和b夾角θ的余弦值決定;(2)向量a在b方向上的投影向量為a·b(3)向量a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同,即向量b在a上的投影向量可表示為a·b訓(xùn)練1(1)已知a,b,c均為單位向量,且a+2b=3c,則a·c=().A.13 B.13 C.1 (2)(2023·江蘇連云港高中月考)若|a+b|=233|a|,且a⊥b,則向量a+b與a的夾角為(A.π6 B.π3C.2π3 D.(3)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,則向量b在向量a方向上的投影向量的模為.

答案(1)C(2)A(3)1解析(1)因?yàn)閍+2b=3c,所以a3c=2b,所以(a3c)2=(2b)2,所以a26a·c+9c2=4b2.因?yàn)閍,b,c均為單位向量,所以16a·c+9=4,所以a·c=1.(2)因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,又因?yàn)閨a+b|=233|a|,所以|a|2+2a·b+|b|2=43|a|2,即|a|2=3所以|a+b|=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2又0≤<a+b,a>≤π,所以a+b與a的夾角為π6(3)因?yàn)橄蛄縜,b滿(mǎn)足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,所以|ab|2=25+b22a·b=36,|a+b|2=25+b2+2a·b=16,所以a·b=5,|b|=1,所以向量b在向量a方向上的投影向量的模為|b||cos<a,b>|=|b||a·b||a||平面向量數(shù)量積的性質(zhì)典例2關(guān)于非零的平面向量a,b,c,下列說(shuō)法正確的是.(填序號(hào))

①若a·c=b·c,則a=b;②(a+b)·c=a·c+b·c;③若a2=b2,則a·c=b·c;④(a·b)c=(b·c)a;⑤|a·b|≤a·b;⑥若|a+b|=|a||b|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.答案②⑥解析對(duì)于①,若c和a,b都垂直,顯然a,b至少在模的方面沒(méi)有特定關(guān)系,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,這是平面向量數(shù)量積的分配律,所以②正確;對(duì)于③,若a2=b2,則|a|=|b|,a·c=|a||c|cos<a,c>,b·c=|b||c|cos<b,c>,而cos<a,c>與cos<b,c>不一定相等,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,(a·b)c與(b·c)a分別是一個(gè)和c,a共線(xiàn)的向量,顯然命題(a·b)c=(b·c)a不一定成立,所以④錯(cuò)誤;對(duì)于⑤,|a·b|=|a||b||cosθ|≥a·b(θ為a與b的夾角),所以⑤錯(cuò)誤;對(duì)于⑥,當(dāng)|a+b|=|a||b|時(shí),a2+2a·b+b2=|a|22|a||b|+|b|2,所以a·b=|a||b|,所以a,b共線(xiàn),即存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,所以⑥正確.(1)向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消去律:設(shè)a,b,c均為非零向量且a·c=b·c,則不一定能得到a=b.(2)一般地,向量的數(shù)量積(a·b)c≠(b·c)a,這是由于a·b,b·c都是實(shí)數(shù),(a·b)c表示與c共線(xiàn)的向量,(b·c)a表示與a共線(xiàn)的向量,而a與c不一定共線(xiàn).(3)兩個(gè)結(jié)論:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a+b)·(ab)=a2b2.訓(xùn)練2給出以下結(jié)論:①0·0=0;②0a=0;③|a·b|=|a||b|;④a·b=0?a=0或b=0;⑤a⊥b?(a·b)c=0.其中正確的結(jié)論是.(填序號(hào))

答案⑤解析①0·0=0,故①錯(cuò)誤;②0a=0,故②錯(cuò)誤;③|a·b|=|a||b||cos<a,b>|,故③錯(cuò)誤;④a·b=0?a=0或b=0或a⊥b,故④錯(cuò)誤;⑤a⊥b?a·b=0?(a·b)c=0c=0,故⑤正確.投影法的應(yīng)用典例3(2023·河北石家莊月考)已知A,B是圓x2+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),|AB|=2,點(diǎn)C滿(mǎn)足CB=52CA,若M為AB的中點(diǎn),則OC·OM的值為(A.3 B.23C.2 D.3答案A解析如圖,因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB,由CB=52CA知,A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),所以O(shè)C·OM=|OC||OM|·cos∠COM=|OM|(|OC|cos∠COM)=因?yàn)閨AB|=2,所以|AM|=1,故|OM|=|OA|2-|AM|2=作為數(shù)量積的幾何定義,通常適用于處理幾何圖形中的向量問(wèn)題1.圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件,尤其是垂足確定的情況下(此時(shí)便于確定投影),例如:直角三角形,菱形對(duì)角線(xiàn),三角形的外心(外心到三邊的投影為三邊中點(diǎn))2.從模長(zhǎng)角度出發(fā),在求數(shù)量積的范圍中,如果所求數(shù)量積中的向量有一個(gè)模長(zhǎng)是定值,則可以考慮利用投影,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大、最小的問(wèn)題.訓(xùn)練3如圖,在△ABC中,O是外接圓圓心,D是BC中點(diǎn),AB=3,AC=2,則AD·AO=.

答案13解析AO·AD=12(AO·AB+AO·AC)=14(AB2+AC2)=14(32+2極化恒等式1.極化恒等式:a·b=14[(a+b)2(ab)2(1)公式推導(dǎo):(a+b)2=a2+2a·b+b(2)幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的142.平行四邊形模式:如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),則AB·AD=14(|AC|2|BD|2)3.三角形模式:如圖,在△ABC中,設(shè)D為BC的中點(diǎn),則AB·AC=|AD|2|BD|2.(1)推導(dǎo)過(guò)程:AB·AC=12(AB+AC)21(2)三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式,幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決.(3)記憶規(guī)律:向量的數(shù)量積等于第三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差.典例如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD邊上的中點(diǎn),則EF·FG+GH·HE=().A.32 B.32C.34解析A解析取HF的中點(diǎn)O(圖略),則EF·FG=EF·EH=EO2OH2=1122=34,GH·HE=GH·GF=GO2OH2=1122=34,因此,極化恒等式使用步驟在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下,極化恒等式的一般步驟如下:第一步,取第三邊的中點(diǎn),連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);第二步,利用極化恒等式公式,將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線(xiàn)長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差;第三步,利用平面幾何方法或用正弦、余弦定理求中線(xiàn)及第三邊的長(zhǎng)度,從而求出數(shù)量積.如需進(jìn)一步求數(shù)量積的最值或范圍,可以用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離或三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊或基本不等式等求得中線(xiàn)長(zhǎng)的最值或范圍.訓(xùn)練如圖,在平面四邊形ABCD中,O為BD的中點(diǎn),且OA=3,OC=5.若AB·AD=7,則BC·DC的值是.

答案9解析AB·AD=AO2BO2則有OB=4,所以BC·DC=CO2BO2=25一、單選題1.(課本改編題)在銳角三角形ABC中,下列關(guān)于向量夾角的說(shuō)法,正確的是().A.AB與BC的夾角是銳角 B.AC與BA的夾角是銳角C.AC與BC的夾角是銳角 D.AC與BC的夾角是鈍角答案C2.下列說(shuō)法正確的是().A.向量a,b滿(mǎn)足|a·b|≤a·bB.若向量a,b,c滿(mǎn)足a·c=b·c(c≠0),則a=bC.若向量a∥b,b∥c,則a∥cD.對(duì)任意兩向量a,b,ab與ba是相反向量答案D解析對(duì)于A(yíng),因?yàn)楫?dāng)兩向量的夾角為(90°,180°]時(shí),a·b<0,而|a·b|>0,所以|a·b|≤a·b不正確,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若a·c=b·c(c≠0),則(ab)·c=0,所以a=b或(ab)⊥c,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,a∥b,b∥c,若b=0,則a與c不一定平行,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,根據(jù)相反向量的定義可知,ab的相反向量是(ab)=ba,故D正確.3.(2024·廣東高三摸底考試)已知平面單位向量a,b,c滿(mǎn)足a+b+12c=0,則a·b=()A.52 B.2 C.3 D.答案D解析由a+b+12c=0可知a+b=12c,兩邊同時(shí)平方得2+2a·b=14,所以a·4.(2023·江蘇徐州一中調(diào)研)在△ABC中,C=90°,點(diǎn)D在A(yíng)B上,AD=3DB,|CB|=4,則CB·CD=().A.8 B.10 C.12 D.16答案C解析在△ABC中,因?yàn)锳D=3DB,所以CD=CA+AD=CA+34AB=CA+34(AC+CB)=1所以CB·CD=CB·14CA+34CB=14CA·CB+二、多選題5.設(shè)平面向量|a|=1,|b|=2,b在a方向上的投影向量為c,則().A.a·c=c·b B.a·b=a·cC.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c|答案BC解析c=a·b|a|2a=a·c=(a·b)a2=a·b,A選項(xiàng)不一定相等,A錯(cuò)誤,B正確.|a·c|=|a·b|≤|a||b|=2,C正確.|a||c|=|(a·b)a|=|a·b|,D不一定正確.6.(2023·江蘇泗洪中學(xué)月考)已知向量a,b的夾角為π6,|a|=3,|b|=1,t∈R,則()A.b在a方向上的投影向量的模為3B.a+3b在a方向上的投影向量的模為3C.|ta+b|的最小值為1D.當(dāng)|ta+b|取得最小值時(shí),a⊥(ta+b)答案AD解析因?yàn)閎在a方向上的投影向量的模為|b|cosπ6=3因?yàn)閍+3b在a方向上的投影向量的模為(a+3b)·a||ta+b|2=t2a2+2ta·b+b2=9t2+2t×332+1=9t2+33t+1=9t+362+14,當(dāng)t=36時(shí),|ta+b|取得最小值12,此時(shí)a·(ta+b)=ta2+a·b=9t+332=9三、填空題7.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知向量a,b滿(mǎn)足|ab|=3,|a+b|=|2ab|,則|b|=.

答案3解析因?yàn)閨a+b|=|2ab|,所以(a+b)2=(2ab)2,則a2+2a·b+b2=4a24a·b+b2,整理得a22a·b=0,又因?yàn)閨ab|=3,所以(ab)2=3,所以a22a·b+b2=b2=3,所以|b|=3.8.(2024·福建第一次質(zhì)量檢測(cè))已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,點(diǎn)P在BC邊上(包括端點(diǎn)),則AD·AP的取值范圍是.

答案[2,2]解析如圖所示,以C為原點(diǎn),BC為x軸正方向,過(guò)點(diǎn)C且垂直向上的方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,則B(2,0),C(0,0),D(1,3),A(1,3).因?yàn)辄c(diǎn)P在BC邊上(包括端點(diǎn)),所以P(t,0),其中t∈[2,0].所以AD=(2,0),AP=(t+1,3),所以AD·AP=2t+2.因?yàn)閠∈[2,0],所以AD·AP=2t+2∈[2,2].四、解答題9.已知平面向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2ab)=3.(1)求|ab|;(2)若向量b與λa+b的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解析(1)依題意,(a+2b)·(2ab)=2a2a·b+4a·b2b2=3a·b6=3,得a·b=1,所以|ab|=(a-b)2=a(2)由向量b與λa+b的夾角為銳角,可得b·(λa+b)>0,即有λ+4>0,解得λ>4,而當(dāng)向量b與λa+b同向時(shí),可知λ=0.綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(4,0)∪(0,+∞).10.如圖,在△ABC中,CM=2MB,點(diǎn)Q為AC的中點(diǎn),BQ交AM于點(diǎn)N.(1)證明:點(diǎn)N為BQ的中點(diǎn);(2)若NA·NM=6,求|AM|.解析(1)設(shè)BN=kBQ,因?yàn)辄c(diǎn)Q為AC的中點(diǎn),所以BQ