不等式求最值“勾勾”型代數(shù)式的最值

“勾勾”型代數(shù)式的最值一知識(shí)梳理1.當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，等號(hào)成立。特別注意：①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；2.（勾勾函數(shù)）形如的函數(shù)稱為“勾勾”函數(shù)，其圖像如圖所示，其性質(zhì)為：=1\*GB3①函數(shù)在區(qū)間和上y隨著x的增大而增大，函數(shù)在區(qū)間和上y隨著x的增大而減小；②當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)在處取得最小值當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)在處取得最大值③函數(shù)的函數(shù)值組成的集合為 二例題分析例1.（2021·廣東·廣州市真光中學(xué)高一期中），在處取最小值，則（

）A．1 B． C．3 D．9答案：C解析：∵∴有基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立故選：C變形1：若函數(shù)在處取最小值，則（）A．B．C．D．答案：解析：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到等號(hào).變形2：（2021·湖北黃石·高一期中）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．9答案：C解析：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為；故選：C變形3：已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．答案：A解析：因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：A.練一練.（2021·天津·油田三中高一階段練習(xí)）函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3B．3C．6 D．6－3答案：D解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：.變形4：（2022·天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________．答案：6解析：由題得，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為6.故答案為：6變形5：已知，則的最大值為_(kāi)_______．答案：1解析：因?yàn)椋?，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為1.例2.（2022·云南紅河·高一期末）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B解析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.變形1：設(shè)，，若，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：C解析：因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．變形2：求函數(shù)的最小值．答案：3解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．變形3：（2022·遼寧撫順·高二期末）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．答案：B解析：因?yàn)?，，．所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.變形4：若，，，則的最小值為（）A．8B．10C．4D．6答案：C解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C.變形5：函數(shù)的最小值.答案：解析：在上遞增，變形6：（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值答案：A解析：因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A變形7：（2022·天津·南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則的最小值為_(kāi)_____．答案:.解析:因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，故答案為：.例3.若對(duì)任意，恒成立,則的取值范圍是__________.答案：解析：，因，所以變形1：已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2﹣2ab+9b2﹣c＝0，則當(dāng)abc取得最大值時(shí)，3A．3 B．94 C．1 答案：C解析：由a2﹣2b+9b2﹣c＝0，可得c＝a2﹣2ab+9b2，∴abc當(dāng)且僅當(dāng)ab=9ba時(shí)，即當(dāng)此時(shí)c＝a2﹣2ab+9b2＝（3b）2﹣2×3b×b+9b2＝12b2，所以，3a當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以，3a故選：C．變形2：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．答案:D解析:因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為.故選：D.變形3：（2022·河北張家口·高二期末）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．答案：C解析：由題意，函數(shù)又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以即函數(shù)的最大值是.故選：C.變形4:若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A．B