人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 2.1.1同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

福建數(shù)學(xué)網(wǎng)一站式數(shù)學(xué)資源服務(wù)千人教師QQ群474204436第二章點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系2．1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系2．1.1平面[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系．[知識(shí)鏈接]1．在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有平行、相交、重合．2．點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系有點(diǎn)在直線(xiàn)上和點(diǎn)在直線(xiàn)外．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．平面的概念(1)幾何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．幾何里的平面是無(wú)限延展的．(2)平面的畫(huà)法①水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫(huà)成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍，如圖①.②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái)．如圖②.(3)平面的表示法圖①的平面可表示為平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系(1)直線(xiàn)在平面內(nèi)的概念：如果直線(xiàn)l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l.(2)一些文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)A在直線(xiàn)l上A∈l點(diǎn)A在直線(xiàn)l外A?l點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)A在平面α外A?α直線(xiàn)l在平面α內(nèi)l?α直線(xiàn)l在平面α外l?α直線(xiàn)l，m相交于點(diǎn)Al∩m＝A平面α、β相交于直線(xiàn)lα∩β＝l3.平面的基本性質(zhì)及作用公理內(nèi)容圖形符號(hào)作用公理1如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α既可判定直線(xiàn)和點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又能說(shuō)明平面是無(wú)限延展的公理2過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線(xiàn)共面問(wèn)題；三是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l一是判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)；二是證明點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的依據(jù)；三是證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的依據(jù)要點(diǎn)一三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換例1用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形．(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于A(yíng)C.解(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示如圖①.(2)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示如圖②.規(guī)律方法1.用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀(guān)察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線(xiàn)且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．2．根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)的區(qū)別．跟蹤演練1根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.解(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，直線(xiàn)m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線(xiàn)l上，如圖②.(3)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖③.要點(diǎn)二點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題例2證明：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)．證明方法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線(xiàn)l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線(xiàn)l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．規(guī)律方法在證明多線(xiàn)共面時(shí)，可用下面的兩種方法來(lái)證明：(1)納入法：先由部分直線(xiàn)確定一個(gè)平面，再證明其他直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得所有元素在同一個(gè)平面內(nèi)．跟蹤演練2已知直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn)l與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面．證明如圖所示．由已知a∥b，所以過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面．要點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)與線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D、A、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．證明∵M(jìn)N∩EF＝Q，∴Q∈直線(xiàn)MN，Q∈直線(xiàn)EF，又∵M(jìn)∈直線(xiàn)CD，N∈直線(xiàn)AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線(xiàn)AD，即D、A、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．規(guī)律方法點(diǎn)共線(xiàn)與線(xiàn)共點(diǎn)的證明方法：(1)點(diǎn)共線(xiàn)：證明多點(diǎn)共線(xiàn)通常利用公理3，即兩相交平面交線(xiàn)的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線(xiàn)上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，然后證明其他點(diǎn)也在其上．(2)三線(xiàn)共點(diǎn)：證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線(xiàn)的兩個(gè)平面的交線(xiàn)，然后再證兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)在此直線(xiàn)上，此外還可先將其中一條直線(xiàn)看作某兩個(gè)平面的交線(xiàn)，證明該交線(xiàn)與另兩條直線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線(xiàn)共點(diǎn)．跟蹤演練3如圖所示，已知四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2.求證：直線(xiàn)EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)．證明∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD.又∵eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2，∴GH∥BD且GH＝eq\f(1,3)BD，∴EF∥GH且EF>GH，∴四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線(xiàn)必相交，設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于一點(diǎn)P，∵EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故直線(xiàn)EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn).1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；②2個(gè)平面重疊在一起比一個(gè)平面厚；③一個(gè)平面的面積是25平方米；④將一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)延長(zhǎng)，它就會(huì)伸出這個(gè)平面．A．0B．1C．2D．3答案A解析幾何中的平面是無(wú)限延展的，不可進(jìn)行所有類(lèi)型的度量，容易判斷所有命題都不對(duì)．2．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫(huà)法正確的是()答案D解析畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線(xiàn)表示．3．若點(diǎn)Q在直線(xiàn)b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作()A．Q∈b∈βB．Q∈b?βC．Q?b?βD．Q?b∈β答案B解析∵點(diǎn)Q(元素)在直線(xiàn)b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線(xiàn)b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.4．設(shè)平面α與平面β交于直線(xiàn)l，A∈α，B∈α，且直線(xiàn)AB∩l＝C，則直線(xiàn)AB∩β＝________.答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空間任意4點(diǎn)，沒(méi)有任何3點(diǎn)共線(xiàn)，它們最多可以確定________個(gè)平面．(2)空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒(méi)有任何3點(diǎn)共線(xiàn)，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定________個(gè)平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定4個(gè)平面．(2)可以想象四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定7個(gè)平面．1.解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖形語(yǔ)言，將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ)言描述出來(lái)，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言．文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代表的含義，作直觀(guān)圖時(shí)，要注意線(xiàn)的實(shí)虛．2．在處理點(diǎn)線(xiàn)共面、三點(diǎn)共線(xiàn)及三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要體會(huì)三個(gè)公理的作用，體會(huì)先部分再整體的思想．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知點(diǎn)A，直線(xiàn)a，平面α，以下命題表述正確的個(gè)數(shù)是()①A∈a，a?α?A?α；②A(yíng)∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.A．0B．1C．2D．3答案A解析①不正確，如a∩α＝A；②不正確，∵“a∈α”表述錯(cuò)誤；③不正確，如圖所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正確，“A?α”表述錯(cuò)誤．2．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)答案A解析A不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過(guò)推理論證；BCD都是平面的基本性質(zhì)公理．3．已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線(xiàn)，下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線(xiàn)?α、β重合答案C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β為經(jīng)過(guò)A的一條直線(xiàn)而不是A.故α∩β＝A的寫(xiě)法錯(cuò)誤．4．空間四點(diǎn)A、B、C、D共面而不共線(xiàn)，那么這四點(diǎn)中()A．必有三點(diǎn)共線(xiàn)B．必有三點(diǎn)不共線(xiàn)C．至少有三點(diǎn)共線(xiàn)D．不可能有三點(diǎn)共線(xiàn)答案B解析如圖(1)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中A、B、D不共線(xiàn)．5．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，a∩b＝M，則M________l.答案∈解析因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.6．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)M∈α，N∈α，點(diǎn)P∈β，且P?l，又MN∩l＝R，過(guò)M，N，P三點(diǎn)所確定的平面記為γ，則β∩γ＝________.答案直線(xiàn)PR解析如圖，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直線(xiàn)AB∩α＝P，直線(xiàn)AC∩α＝R，直線(xiàn)BC∩α＝Q，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)．證明∵直線(xiàn)AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.則由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上．故P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)于平面ABC與平面α的交線(xiàn)．二、能力提升8．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線(xiàn)A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面答案D解析在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線(xiàn)上，即C1，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)，∴選項(xiàng)A，B，C均正確，D不正確．9．若直線(xiàn)l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．答案共線(xiàn)解析∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線(xiàn)CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線(xiàn)CD，∴O，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)．10．如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，那么，稱(chēng)此直線(xiàn)與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線(xiàn)與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線(xiàn)面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________．答案36解析正方體的一條棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”，12條棱長(zhǎng)共對(duì)應(yīng)著24個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”；正方體的一條面對(duì)角線(xiàn)對(duì)應(yīng)著1個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”，12條面對(duì)角線(xiàn)對(duì)應(yīng)著12個(gè)“正交線(xiàn)面對(duì)”，共有36個(gè)．11.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．證明(1)如圖，分別連接EF，A1B，D1C.∵E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1D1CB為平行四邊形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF與CD1確定一個(gè)平面，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面．(2)∵EF綊eq\f(1,2)CD1，∴直線(xiàn)D1F和CE必相交．設(shè)D1F∩CE＝P，∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.∴P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)．又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．三、探究與創(chuàng)新12.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，畫(huà)出平面SBD和平面SAC的交線(xiàn)．解很明顯，點(diǎn)