東北三省四市教研協(xié)作體2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．2．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤3．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．4．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知雙曲線：的焦距為，焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．368．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．11．若非零實(shí)數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．12．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________，________.14．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為____．15．已知是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．16．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：.過(guò)點(diǎn)的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點(diǎn)），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù)，使得，證明：.20．（12分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點(diǎn)，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．21．（12分）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，其中p為常數(shù)．（1）求p的值；（2）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．22．（10分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路，中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口，恰有個(gè)路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個(gè)種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2．C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C3．D【解析】

用列舉法，通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出與的值，得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.4．B【解析】,選B5．A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C和D.當(dāng)時(shí)，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.6．A【解析】

利用雙曲線：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，求出，的關(guān)系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】雙曲線：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，可得：，可得，，則的漸近線方程為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.7．D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.8．D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

對(duì)分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．11．C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后，然后取絕對(duì)值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．12．D【解析】

采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式，屬于簡(jiǎn)單題.14．【解析】，，所以，所以的解集為。點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式。本題先對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數(shù)解析式，再解不等式即可。絕對(duì)值函數(shù)一般都去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。15．【解析】

由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對(duì)稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.16．【解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解．【詳解】由是單位向量．若，，設(shè)，則，，又，則，則，則，又，所以，（當(dāng)或時(shí)取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數(shù)）消去即可.（2）將（為參數(shù)）與聯(lián)立得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，，再根據(jù)，即，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數(shù)），消去得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數(shù)）代入得，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．(1)(2)4【解析】

（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計(jì)算的值即可．【詳解】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入中，求得，∴P（2，），，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為，；設(shè)，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．19．（1）當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解：的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，令，得，令，得；當(dāng)時(shí)，則，令，得，或，令，得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，令，得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，此時(shí)，設(shè)，又因?yàn)?，則，設(shè)，則對(duì)于任意成立，所以在上是增函數(shù)，所以對(duì)于，有，即，有，因?yàn)?，所以，即，又在遞增，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性大，屬于難題.20．（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．【解析】

（Ⅰ）由題知，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，證明，從而平面PAC，即可得證；（Ⅱ）求解平面PDE的一個(gè)法向量，計(jì)算，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求解平面PBE的一個(gè)法向量，計(jì)算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【詳解】（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又，平面PAC，平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）設(shè)為平面PDE的一個(gè)法向量，又，則，取，得，直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為平面PBE的一個(gè)法向量，又則，取，得，，二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計(jì)算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.21．（1）p＝2；（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）取n＝1時(shí)，由得p＝0或2，計(jì)算排除p＝0的情況得到答案.（2），則，相減得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化簡(jiǎn)得到，得到證明.（3）分別證明充分性和必要性，假設(shè)an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得2x﹣2y﹣2＝1，設(shè)k＝x﹣（y﹣2），計(jì)算得到k＝1，得到答案.【詳解】（1）n＝1時(shí)，由得p＝0或2，若p＝0時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，解得a2＝0或，而an＞0，所以p＝0不符合題意，故p＝2；（2）當(dāng)p＝2時(shí)，①，則②，②﹣①并化簡(jiǎn)得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，則3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，④﹣③得（n∈N*），又因?yàn)?，所以?shù)列{an}是等比數(shù)列，且；（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次為，，，滿足，即an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列；必要性：假