概率在中學數學中的應用

20-LULIANGUNIVERSITY分類號:密級:畢業(yè)論文（設計）題目:概率在中學數學中的應用系別:數學系專業(yè)年級:姓名:學號:指導教師:概率在中學數學中的應用摘要概率是對隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的研究,是研究隨機現象數量規(guī)律的學科,概率作為描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量,已經滲透到人們的日常生活中,成為數學的重要組成部分.本文是對概率在中學數學中的應用進行簡單的研究分析,并對中學數學中概率論討論的主要內容:概率,古典概型,幾何概型逐一進行分析,分別介紹了這三種概率模型的定義,概率求法,要求以及它們之間的關系.主要介紹了概率統(tǒng)計與其他知識的交匯:概率與函數的交匯,概率與數列的交匯,概率與方程的交匯,概率與不等式的交匯,概率與三角函數的交匯,概率與幾何的交匯,通過研究學科知識的滲透,融合,而增強對中學學科整體性的把握;揭示了構造概率模型來解決一些數學問題;應用概率知識巧妙的解決一類最值問題,進行了舉例證明,讓概率知識在中學數學中得到更好的應用.關鍵詞:概率;概率模型;古典概型;幾何概型TheapplicationoftheprobabilityinthemiddleschoolmathematicsAbstractTheprobabilityisthestudyofrandomphenomenastatisticalregularity,isthestudyofrandomnumberlawsubjects,probabilityasadescriptionofthesizeofthepossibilityofarandomevent,haspenetratedintoPeople'sDailylife,becomeanimportantpartofmathematics.Inthispaper,theprobabilityofapplicationinthemiddleschoolmathematicstocarryonthesimpleanalysis,andprobabilitytheorytodiscussthemaincontentofinthemiddleschoolmathematics:probability,classicalsubscheme,geometricmodelonebyoneanalysis,respectively,thispaperintroducesthedefinitionofthethreekindsofprobabilitymodelandprobabilitymethod,andtherelationshipbetweenthem.Andrevealstheprobabilityandstatisticsandotherknowledgeofintersection:probabilityandthefunctionoftheintersection,probabilityandsequenceoftheintersection,theintersectionofprobabilityandequationofprobabilityandinequality,probabilityandtriangleintersection,probabilityandtheintersectionofgeometry,throughtheinfiltrationofresearchsubjects,integration,andenhancethegraspofintegrityofschooldiscipline;Revealsthestructureofsomeprobabilitymodeltosolvemathematicalproblems;Revealstheapplicationofprobabilityknowledgeskillfullysolvethemostvalueproblems,forexampleprovesthattheprobabilityknowledgetogetbetterapplicationinthemiddleschoolmathematics.Keywords:probability;Probabilitymodel;Classicalsubscheme;Geometryofthescheme目錄TOC\o"1-3"\h\u10187第1章緒論 -17-.點評當根據條件直接求區(qū)域邊界方程比較困難時,我們有時可通過引進參數,建立參數方程,最后利用消參的方法求得,本題對三角變換的要求比較高,是一道概率與三角交匯在一起的綜合題．3.1.6概率與幾何的交匯例3.1.6圖3-2所示,設正四面體的棱長為lm,一只螞蟻從點開始按以規(guī)則前進:在每一個頂點處用同樣的概率選擇過這個頂點的三條棱之一,并一直爬到這條棱的盡頭,設它爬了以后恰好位于頂點的概率是,求值.+圖3-2解析螞蟻爬過米后,要么在點,要么不在A點,“在點”與“不在點”是互相對立事件．設表示螞蟻走過米后又回到點的概率．那么走過米又不在點的概率便是．現在讓螞蟻再多走米,無非兩種可能:若螞蟻走第米時已在點,那么它不管向哪個方向爬1米,均不可能再在點;若螞蟻走第米時不在點,那么它不管位于、或,爬1米后又回到點的概率都是．由此可見:,這個式子對以上兩種情況都適用.由于,所以,所以.點評本題以立體圖形為依托,經認真分析與推理,構造出遞推數列模型求出螞蟻爬了以后恰好位于頂點A的概率,再與比較而求出值,本題頗具趣味性、思考性和挑戰(zhàn)性,是一道典型的學科內綜合題．通過以上典型例題的分析和解答,可以看出,與概率交匯的綜合性問題是考查學生數學能力和數學素養(yǎng)的極好素材,同時也是學生將來學習高等數學必不可少的重要基礎知識,應引起廣大教師和同學們的足夠重視．3.2構造概率模型在解題中的應用中學數學分科多,知識容量大,各分科的內在聯(lián)系需要我們主動去努力發(fā)掘,打破教學造成的思維局限,獲得互相滲透、靈活轉化的效果．概率是中學數學新增內容,利用概率思想,通過構造恰當的概率模型,解決一些其他數學分科的問題,是一種別開生面的解題方法．本文舉例說明這種方法在證明恒等式與不等式方面的應用,旨在為探索解題新思路拋磚引玉．3.2.1證明恒等式例3.2.1證明:證明設事件在一次試驗中發(fā)生的概率為,則次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率為,故,從而可得.例3.2.2證明證明設袋中有個白球和個黑球,事件表示從中取個球至少有一個是白球．一方面,取到個球的概率為,所以另一方面,不取白球的概率為,所以,故,即.3.2.2證明不等式例3.2.3已知,證明:證明因為,所以,故可設、、為三個獨立事件,且,,,則即.例3.2.4證明:若、、為三角形三邊長,且,則證明因為、、為三角形三邊長,同理設、、為三個獨立事件,且則,從而有.3.3應用概率知識求最值概率是新課程中的熱點內容,在概率教學中,適當說明構造概率模型在解題中的運用,體現概率與其它數學內容之間的緊密聯(lián)系,對增強學生的學習興趣,加深學生對概率知識的理解,都是很有裨益的.最值問題是中學數學常見問題,文利用向量簡捷巧妙的解決了一類最值問題,本文將另辟蹊徑,利用一個概率定理求此類最值,以此展示解決此類問題的概率視角,希望對讀者有所啟發(fā).定理設離散型隨機變量的分布列為則當且僅當時等式成立.證明即證.3.3.1一次方程約束下的最值問題例3.3.1已知求的最小值.解設離散型隨機變量的分布列為則有,由,得,當且僅當時取最小值60.3.3.2一次不等式約束下的最值問題例3.3.2如果實數滿足那么的最小值是（）解整理條件得.設離散型隨機變量的分布列為,則有,,由,得,解得,即的最小值是.3.3.3二次方程約束下的最值問題例3.3.3已知實數滿足方程,求的最值.解,設離散型隨機變量的分布列為,則有,則由,得,即得.所以的最小值是0,最大值是10.3.3.4一次方程和二次方程約束下的最值問題例3.3.4設實數適合,則（）解方程化為設離散型隨機變量的分布列為則有,,則,得,解得,故.3.3.5分式方程約束下的最值問題例3.3.5已知,且,求的最小值.解設離散型隨機變量的分布列為,則有,,由,得,即的最小值為.3.3.6三角方程約束下的最值問題例3.3.6若,求的最大值.解因為,,所以,設離散型隨機變量的分布列為,則有,由,得,即所求最大值為.

第4章結論通過對概率在中學數學中的應用這一課題的研究有以下結論:1.學生認識所學概率的有關內容及要求;2.通過一個以活動為主的短期教學計劃是否能夠增進普通中學學生對概率這一概念的理解:文獻[6]揭示了概率統(tǒng)計與其他知識的交匯:概率與函數的交匯,概率與數列的交匯,概率與方程的交匯,概率與不等式的交匯,概率與三角的交匯,概率與幾何的交匯,通過研究學科知識的滲透,融合,而增強對中學學科整體性的把握;文獻[7]揭示了構造概率模型來解決一些數學問題,文獻[8]揭示了應用概率知識巧妙的解決一類最值問題,讓概率知識在中學數學中有更好的應用.

參考文獻[1]周陽.中學概率的教學研究[D].碩士學位論文,2009.[2]陳旭明.新課程理念下的高中概率教學研究[D].碩士學位論文,2005.[3]鐘志華.對高中新課程中概率教學的認識[J].數學教育學報,2006(2):34[4]粱好翠.中學概率統(tǒng)計中的數學思想及其教學[J].中學數學教與學(人大復印資料),2007(1):26-28[5]陳萍,包素華.關于概率統(tǒng)計教學改革的思考[J].衡水學院學報,2005(9):25-30[6]肖習亮,王勇.概率—高中數學的一個重要交匯[J].上海中學學報,2005(6):31-33[7]陸坤.構造概率模型解數學題[J].解題方法與技巧,2005(1):57[8]李建新.巧用向量求值[J].中學數學雜志(高中),2004(6):56[9]任念兵.淺談構造概率統(tǒng)計模型解題[J].中學數學雜志(高中),2005(1):22-28[10]任念兵.一類最值問題的概率視角[J].中學數學雜志(高中),2005(3):34-35致謝這幾年的本科學習中,首先我要心地感謝我的指導老師樊利利老師．本文是在她的細心指導下完成的.恩師高尚的品德、淵博的學識、