江蘇省南通市海安高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月第二次檢測試題含解析

PAGE16-江蘇省南通市海安高級中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月其次次檢測試題（含解析）一、填空題1.設(shè)集合，集合，若，則．【答案】1【解析】試題分析：由題意，所以．考點：集合間的關(guān)系．2.某高校為了解在校本科生對參與某項社會實踐活動的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取_______名學(xué)生．【答案】60【解析】【分析】采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查的.【詳解】∵該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，∴應(yīng)從一年級本科生中抽取學(xué)生人數(shù)為：.故答案為60.3.已知復(fù)數(shù)滿意為虛數(shù)單位，則的模為.【答案】【解析】試題分析：考點：復(fù)數(shù)及模的概念與復(fù)數(shù)的運算4.依據(jù)如圖所示的偽代碼，最終輸出的的值為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由算法偽代碼語言所供應(yīng)的信息可知,應(yīng)填.考點：偽代碼語言的理解和運用．5.現(xiàn)有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現(xiàn)從中隨機(jī)取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為．【答案】【解析】試題分析：從5道試題中隨機(jī)取2道試題，共有10種基本領(lǐng)件，其中皆不是乙類試題包含1中基本領(lǐng)件，因此至少有1道試題是乙類試題的概率為考點：古典概型概率6.在中，若，，，則的值是______.【答案】【解析】【分析】利用勾股定理可得知，結(jié)合平面對量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】在中，，，，由勾股定理可得，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查平面對量數(shù)量積的計算，考查平面對量數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.7.若實數(shù)滿意約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為．【答案】1【解析】【詳解】試題分析：可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中直線過點時取最小值1考點：線性規(guī)劃求最值8.已知，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由題易得，然后結(jié)合題中條件由余弦的二倍角公式干脆計算即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查余弦二倍角公式，側(cè)重考查對基礎(chǔ)學(xué)問的理解和駕馭，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則的值是．【答案】-2【解析】試題分析：，考點：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式10.已知雙曲線的一條漸近線與直線平行，則離心率______.【答案】【解析】【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，由平行求得參數(shù)，然后離心率．【詳解】由已知雙曲線的漸近線方程為和，明顯直線與直線平行，所以，，即雙曲線方程為，實半軸長為，虛半軸長為，半焦距為，所以離心率為．故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線離心率，駕馭雙曲線的漸近線方程與兩直線平行的條件是解題關(guān)鍵．11.一個圓柱和一個圓錐同底等高，若圓錐的側(cè)面積是其底面積的倍，則圓柱的側(cè)面積是其底面積的_________倍.【答案】【解析】試題分析：因為一個圓柱和一個圓錐同底等高，所以設(shè)底面半徑為，高為，因為圓錐的側(cè)面積是其底面面積的倍，所以，，所以圓柱的側(cè)面積，其底面積為，所以圓柱的側(cè)面積是底面積的倍.考點：旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積與表面積.【方法點晴】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積的計算，其中解答中涉及到圓柱側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積與表面積的計算，圓錐與圓柱的性質(zhì)等學(xué)問點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的實力，以及學(xué)生的空間想象實力，解答中利用圓柱和圓錐的側(cè)面積公式，精確計算是解答的關(guān)鍵，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】先推斷函數(shù)單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】都為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，，即∴故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，如下圖所示，則的最小值為.【答案】【解析】試題分析：由圖可知，a＞1，點(1，3)在函數(shù)的圖象上，所以a＋b＝3．1＜a＜3，0＜b＜2．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號考點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖象，基本不等式，函數(shù)的最值14.已知直線與圓相交于兩點，若，圓的半徑______.【答案】【解析】【分析】求出圓心到弦的距離，利用余弦二倍角公式與向量的數(shù)量積公式化簡可得【詳解】圓心到直線的距離..故答案為：【點睛】本題考查直線與圓相交問題．解題關(guān)鍵是駕馭垂徑定理及向量的數(shù)量積公式二、解答題15.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求的值域.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為：；（2）.【解析】【分析】（1）由兩角差正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得增區(qū)間；（2）求出的范圍，把它作為一個整體，利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得值域．【詳解】解：（1）∵，∴，∴的單調(diào)增區(qū)間為：（2）∵，∴∴∴的值域為：.【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性，值域問題，考查兩角和與差的正弦公式，駕馭正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，相交于點，，，平面平面，，點為的中點.（1）求證：直線平面；（2）求證：直線平面【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】分析】（1）證明，再利用線面平行判定定理，即可證明；（2）證明平面內(nèi)的兩條相交直線、；【詳解】證明：（1）∵四邊形是菱形，，∴點是的中點，∵點為的中點，∴，又∵平面，平面，∴直線平面.（2）∵，點為的中點，∴.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∵，，，、在平面內(nèi)，∴平面.【點睛】本題考查線面平行判定定理、線面垂直判定定理的運用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象實力，求解時留意條件書寫的完整性.17.如圖，已知橢圓，離心率為，過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且.（1）若橢圓的右準(zhǔn)線方程為：，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)右準(zhǔn)線以及離心率列方程組解得，即得，可得橢圓的方程；（2）利用點差法得，結(jié)合轉(zhuǎn)化為再依據(jù)離心率可得的值.【詳解】（1），解得：，∴，∴橢圓方程為：.（2）設(shè)，，則，∴在橢圓上∴，∴∴，∵，∴，∴∵，∴，∴【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、點差法，考查綜合分析求解實力，屬中檔題.18.如圖，某小區(qū)有一塊矩形地塊，其中，，單位：百米.已知是一個游泳池，安排在地塊內(nèi)修一條與池邊相切于點的直路（寬度不計），交線段于點，交線段于點.現(xiàn)以點為坐標(biāo)原點，以線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊滿意函數(shù)的圖象，若點到軸距離記為.（1）當(dāng)時，求直路所在的直線方程；（2）當(dāng)為何值時，地塊在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值時多少？【答案】（1）；（2）；面積的最大值為.【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)，得的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，即可得到答案；（2）先求出面積的表達(dá)式為，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得到答案；【詳解】解：（1）把代入函數(shù)，得，∵，∴，∴直線方程為；（2）由（1）知，直線的方程為，令，，令，，∴，.∴，∴，令，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以所求面積的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)模型解決面積問題、導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.19.若函數(shù)在處取得極大值或微小值，則稱為函數(shù)的極值點.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）微小值；（2）.【解析】【分析】(1)求出，令求出方程的解，從而探究隨的改變狀況，即可求出極值.(2)求出，令，分，，三種狀況進(jìn)行探討，結(jié)合零點存在定理求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時，的定義域為，，令，解得，則隨的改變?nèi)缦卤?，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；故在時取得微小值；（2）函數(shù)的定義域為，，令，則，當(dāng)時，在恒成立，故在上是增函數(shù)，而，故當(dāng)時，恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上沒有極值點；當(dāng)時，由（1）知，在區(qū)間上沒有極值點；當(dāng)時，令，解得或（舍去）；故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，①當(dāng)，即時，在上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，②令得，不符合題意；③令得，所以，而，又，所以在上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了極值的求解，考查了已知極值點的范圍求解參數(shù).20.已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都有.（1）求證：；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在實數(shù)，使不等式，對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在；的取值范圍是.【解析】【分析】（1）由題得①，②，②－①即得；（2）由題得.，再對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況探討，求出數(shù)列的通項公式；（3）令，推斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，解不等式即得解.【詳解】（1）證明：∵①，∴②由②－①得，∴.（2）∵③∴，④④－③，得.從而數(shù)列的奇數(shù)項依次成等差數(shù)列，且首項為，公差為；數(shù)列的偶數(shù)項也依次成等差數(shù)列，且首項為，公差為.在