大學(xué)生高數(shù)練習(xí)題

大學(xué)生高數(shù)練習(xí)題一、極限與連續(xù)1.計算下列極限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$(3)$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$(4)$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}$2.判斷下列函數(shù)的連續(xù)性：(1)$f(x)=|x|$(2)$f(x)=\frac{1}{x}$(3)$f(x)=\sqrt{x^21}$3.討論函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的連續(xù)性。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)$y=x^33x+2$(2)$y=\ln(x^2+1)$(3)$y=\frac{1}{\sqrt{1x^2}}$(4)$y=e^{2x}\cdot\cosx$2.求下列函數(shù)的微分：(1)$y=\sqrt{1+4x^2}$(2)$y=\arctan(x^2+1)$3.求曲線$y=x^33x$在點(diǎn)$(2,2)$處的切線方程。三、積分與級數(shù)1.計算下列不定積分：(1)$\int(3x^22x+1)dx$(2)$\int\frac{1}{x^2}dx$(3)$\inte^x\cosxdx$2.計算下列定積分：(1)$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$(2)$\int_{1}^{e}\lnxdx$3.判斷下列級數(shù)的收斂性：(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n}$四、多元函數(shù)微分學(xué)1.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$處的偏導(dǎo)數(shù)。2.計算下列二重積分：(1)$\iint_D(x+y)dxdy$，其中$D$是由$x+y=1$，$x=0$，$y=0$所圍成的區(qū)域。(2)$\iint_De^{x+y}dxdy$，其中$D$是由$y=x$，$y=x^2$，$x=0$所圍成的區(qū)域。五、常微分方程1.求下列微分方程的通解：(1)$y'y=e^x$(2)$y''+y=\cosx$2.求下列微分方程的特解：(1)$y''+4y=4\sin2x$，其中$y(0)=0$，$y'(0)=1$(2)$y'+y=x^2$，其中$y(0)=1$六、空間解析幾何與向量代數(shù)1.計算向量$\vec{a}=(2,1,3)$和向量$\vec=(1,2,1)$的點(diǎn)積和叉積。2.求點(diǎn)$(1,2,3)$到平面$2xy+2z=5$的距離。3.給定向量$\vec{a}=(4,5,6)$和點(diǎn)$P(2,1,3)$，求過點(diǎn)$P$且平行于向量$\vec{a}$的直線方程。七、線性代數(shù)1.解下列線性方程組：(1)$\begin{cases}2x+3yz=7\\x2y+3z=4\\3x+y2z=5\end{cases}$(2)$\begin{cases}x+2y3z=1\\2xy+z=3\\3x+y2z=2\end{cases}$2.求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$的行列式。3.給定矩陣$B=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$，求矩陣$B$的特征值和特征向量。八、概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.拋擲兩個骰子，求至少有一個骰子出現(xiàn)6點(diǎn)的概率。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(50,25)$，求$P(40<X<60)$。3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)差為5，求這組數(shù)據(jù)大于60的概率。九、復(fù)變函數(shù)1.計算復(fù)數(shù)$z=1+i$的模和輻角。2.求復(fù)數(shù)$z=3+4i$的共軛復(fù)數(shù)和逆復(fù)數(shù)。3.將復(fù)數(shù)$z=\frac{1}{1i}$表示為$a+bi$的形式。十、數(shù)學(xué)建模與實(shí)際問題1.某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)第一種產(chǎn)品每單位利潤為10元，第二種產(chǎn)品每單位利潤為15元。若企業(yè)每天的資源限制為原材料200單位，人工300單位。第一種產(chǎn)品每單位需要原材料5單位，人工3單位；第二種產(chǎn)品每單位需要原材料4單位，人工6單位。求企業(yè)每天的最大利潤。2.某城市的人口增長符合指數(shù)增長模型$P(t)=P_0e^{kt}$，已知初始人口$P_0=100000$，10年后人口達(dá)到200000，求該城市50年后的人口。3.一個湖泊受到污染，污染物濃度隨時間的變化滿足一階線性微分方程$\frac{dC}{dt}=kC$，已知初始濃度為$C_0$，求經(jīng)過一段時間$t$后，污染物濃度$C(t)$的表達(dá)式。答案一、極限與連續(xù)1.(1)1(2)2(3)0(4)12.(1)在整個實(shí)數(shù)域上連續(xù)(2)在$x\neq0$時連續(xù)(3)在$[1,1]$區(qū)間內(nèi)不連續(xù)3.連續(xù)二、導(dǎo)數(shù)與微分1.(1)$y'=3x^23$(2)$y'=\frac{2x}{x^2+1}$(3)$y'=\frac{x}{(1x^2)^{3/2}}$(4)$y'=2e^{2x}\cosxe^{2x}\sinx$2.(1)$dy=\frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$(2)$dy=\frac{1}{1+(x^2+1)^2}dx$3.$y2=3(x2)$，即$y=3x4$三、積分與級數(shù)1.(1)$\frac{x^3}{3}x^2+x+C$(2)$\frac{1}{x}+C$(3)$e^x\sinxe^x\cosx+C$2.(1)$\frac{5}{3}$(2)$e1$3.(1)收斂(2)條件收斂四、多元函數(shù)微分學(xué)1.$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$2.(1)$\frac{1}{2}$(2)$e1$五、常微分方程1.(1)$y=e^x+C$(2)$y=C_1\cosx+C_2\sinx$2.(1)$y=\frac{1}{3}\sin2x\frac{1}{2}\cos2x+C_1e^{x}+C_2e^x$(2)$y=\frac{x^2}{2}x+1$六、空間解析幾何與向量代數(shù)1.點(diǎn)積：$6$，叉積：$(5,7,7)$2.$\frac{3}{\sqrt{6}}$3.$\frac{x2}{4}=\frac{y+1}{5}=\frac{z3}{6}$七、線性代數(shù)1.(1)$x=2,y=1,z=1$(2)無解2.$0$3.特征值：$9,1$，特征向量：$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$八、概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.$\frac{11}{36}$2.$0.6826$3.$0.0228