8、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì) - 答案

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識點1：形如y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)．其中，常數(shù)k稱為比例系數(shù)．知識點2：反比例函數(shù)圖象的畫法反比例函數(shù)圖象的畫法分三個步驟：(1)列表；(2)描點；(3)連線．畫出反比例函數(shù)y＝eq\f(8,x)與y＝－eq\f(8,x)的圖象．解列表：x…－8－4－2－11248…y＝eq\f(8,x)…－1－2－4－88421…y＝－eq\f(8,x)…1248－8－4－2－1…描點、連線，如圖所示：提醒:(1)列表時，自變量x的取值要注意：①在取值范圍內(nèi)取值(x不等于0)；②一定要有代表性(兼顧正、負(fù)數(shù))；③大小要適度(描點時好操作)；④要盡量多取一些數(shù)值．(2)連線時，按照從左到右的順序用光滑的曲線連接各點并延伸，注意曲線的兩支是分開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不可能與坐標(biāo)軸相交．知識點3：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)反比例函數(shù)y=（k≠0）k的符號k＞0k＜0圖像性質(zhì)1（對稱性）反比例函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心為原點反比例函數(shù)是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x或y=-x性質(zhì)2（增減性）當(dāng)k＞0時，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。ㄗ⒁猓涸诿總€象限內(nèi)一定要說，不說明就是錯誤的，可以換x＞0或x＜0也可以）當(dāng)k＜0時，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大知識點4：一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的分布（1）掌握一次函數(shù)k和b對圖像的影響，（2）掌握反比例函數(shù)k的正負(fù)圖像的分布，（3）假設(shè)一次函數(shù)圖形是正確的，得到k和b的取值范圍，去驗證反比例函數(shù)的分布是否正確知識點5：一次函數(shù)和反比例函數(shù)比較大?。?）過一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點作y平行線，有幾個交點就做幾條平行線，這幾條平行線和y軸把一次函數(shù)和反比例函數(shù)分成了幾個部分（2）觀察每個部分中誰的圖像在上面，上面的＞下面的，然后求出對應(yīng)的x的取值范圍題型一：反比例函數(shù)的定義1．下列函數(shù)表達(dá)式中，是的反比例函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】可以變形為是的反比例函數(shù)，故選B．2．下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A.，是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；B.，不是反比例函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；C.，是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；

D.，是反比例函數(shù)，比例系數(shù)，故該選項正確，符合題意；故選：D．3．下列關(guān)于與的表達(dá)式中，反映是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A.為正比例函數(shù)，不符合題意；B.整理為，為正比例函數(shù)，不符合題意；C.為一次函數(shù)，不符合題意；D.可整理為，是反比例函數(shù)，符合題意；故選：D．4．下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)的個數(shù)（）①，②，③，④，⑤，⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【詳解】解：①，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；②，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；③，是一次函數(shù)，不符合題意；④，整理為，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；⑤，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；⑥，y是的反比例函數(shù)，不符合題意；綜上：①②④⑤，y是x的反比例函數(shù)．共4個．故選：C．題型二：求反比例函數(shù)解析式1．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．【答案】【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為，由于其圖象經(jīng)過點，所以；所以反比例函數(shù)的關(guān)系式為．2．已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則．【答案】【詳解】解：由題意得：，且∴，故答案為：．3．已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【詳解】∵函數(shù)是反比例函數(shù)，∴，且，解得，故選B．4．已知點、點都在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為．【答案】【詳解】解：∵點、點都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，故答案為：．5．已知函數(shù)，(1)當(dāng)m，n為何值時是一次函數(shù)？(2)當(dāng)m，n為何值時，為正比例函數(shù)？(3)當(dāng)m，n為何值時，為反比例函數(shù)？【答案】(1)且(2)(3)【詳解】（1）解：當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時，，且，解得：且；（2）當(dāng)函數(shù)是正比例函數(shù)時，，解得：．（3）當(dāng)函數(shù)是反比例函數(shù)時，，解得：．題型三：求反比例函數(shù)值1．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則a＝．【答案】3【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點點滿足反比例函數(shù)解得，故答案是：3．2．若點在反比例函數(shù)的圖像上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖像上，∴，故選：．3．已知點是雙曲線上一點，則下列各點不在該圖象上的點是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：是雙曲線上一點，，A、，故點在該圖象上；B、，故點不在該圖象上；C、，故點在該圖象上；D、，故點在該圖象上，故選：B．4．已知反比例函數(shù)，則它的圖象不經(jīng)過的點是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、，故反比例函數(shù)圖象不經(jīng)過點，符合題意；B、，故反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，不符合題意；C、，故反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，不符合題意；D、，故反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，不符合題意；故選：A．5．已知y與x成反比例，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，x的值為．【答案】3【詳解】解：與成反比例，，當(dāng)時，，，反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，∴，故答案為：3．題型四：函數(shù)的增減性1．若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：點，，，，，在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，故選：C．2．在反比例函數(shù)圖象上有三個點，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)圖象在二四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，，又∵，∴，故選：A．3．已知在反比例函數(shù)的圖象上，下列結(jié)論正確的是(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴反比例函數(shù)的兩個分支分別在第一、三象限，∴在每個象限，反比例函數(shù)隨的增大而減小，∵，∴，∴，故選：A．4．若圖象上有三個點，，，則大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，∵，，都在反比例函數(shù)圖象上，且，∴，故選C．題型五：反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)1．在反比例函數(shù)的圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，則m的取值范圍是．【答案】【詳解】解：依題意得：，解得．故答案是：．2．若反比例函數(shù)的圖象在第一、第三象限，則m的取值范圍．【答案】【詳解】解：由于反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則，解得：．故答案為．3．反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是（

）A． B．當(dāng)時，隨的增大而增大C．函數(shù)圖象分布在第二、四象限 D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】D【詳解】解：∵反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，∴，故A正確，不符合題意；∵，∴函數(shù)圖象分布在第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故B、C正確，不符合題意；D錯誤，符合題意；故選：D．4．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是(

)A． B．函數(shù)圖象分布在第二、四象限C．點在該反比例函數(shù)圖象上 D．y隨x的增大而增大【答案】D【詳解】反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，函數(shù)圖象在二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大A.，說法正確，不符合題意；B.函數(shù)圖象分布在第二、四象限，說法正確，不符合題意；C.點在該反比例函數(shù)圖象上，說法正確，不符合題意；D.在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，原說法錯誤，符合題意；故選D．5．關(guān)于反比例函的圖象，下列說法正確的是（）A．必經(jīng)過點 B．兩個分支分布在第二、四象限C．兩個分支關(guān)于x軸成軸對稱 D．兩個分支關(guān)于原點成中心對稱【答案】D【詳解】解：A、把代入得：，則反比例函的圖象不過點故本選項錯誤，不符合題意；B、，圖象在第一、三象限，故本選項錯誤，不符合題意；C、沿x軸對折不重合，故本選項錯誤，不符合題意；D、兩曲線關(guān)于原點對稱，故本選項正確，符合題意；故選：D．6．對于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．圖象分布在第二、四象限B．當(dāng)時，y隨x的增大而增大C．圖象經(jīng)過點D．若點都在圖象上，且，則【答案】D【詳解】解：∵，∴圖象分布在第二、四象限，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故A，B選項正確，不符合題意；當(dāng)時，，∴圖象經(jīng)過點，故C選項正確，不符合題意；當(dāng)點在第二象限，第四象限內(nèi)時，∵，∴，故D選項錯誤，符合題意；故選：D題型六：反比例函數(shù)求取值范圍1．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是．【答案】【詳解】解：在中，當(dāng)時，，∵，∴當(dāng)時，y隨x增大而減小，∴當(dāng)時，，故答案為：．2．已知反比例函數(shù)，則當(dāng)時，的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故選：B．3．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．(1)求的值；(2)若點也在反比例函數(shù)的圖像上，求當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：反比例函數(shù)過點，；（2），當(dāng)時，隨值增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．4．畫出反比例函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象回答：(1)當(dāng)時，y的值；(2)當(dāng)時，y的取值范圍；(3)當(dāng)且時，x的取值范圍．【答案】(1)；(2)(3)或【詳解】（1）解：作出反比例函數(shù)的圖象，

把代入得：；（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)圖象得：當(dāng)時，y的取值范圍為；（3）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)題意得：當(dāng)且時，x的取值范圍為或．題型七：反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)的的圖象經(jīng)過一、三象限，故A選項的圖象符合要求，當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)的的圖象經(jīng)過二、四象限，沒有符合條件的選項．故選：．2．函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：分類討論：①當(dāng)時，的圖象過第一、二、四象限，的圖象過第二、四象限，②當(dāng)時，的圖象過第一、三、四象限，的圖象過經(jīng)過第一、三象限．綜上，符合題意的選項為D．故選：D．3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)(k為常數(shù)，)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】解：當(dāng)時，直線從左往右上升，雙曲線分別在第一、三象限，故A、C選項錯誤；∵一次函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸，∴D選項錯誤，B選項正確，故選：B．4．反比例函數(shù)與在同一坐標(biāo)系的圖象可能為()A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈上升趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤；B、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項正確；C、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈上升趨勢且交與軸的負(fù)半軸，又，故本選項錯誤；D、由反比例函數(shù)的圖象可知，，一次函數(shù)圖象呈下降趨勢且交與軸的正半軸，，即，故本選項錯誤．故選：B．題型八：反比例函數(shù)和一次函數(shù)比較大小1．如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于、兩點，則不等式的解集為．【答案】或【詳解】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)或時，一次函數(shù)圖象不在反比例函數(shù)圖象的下方，則不等式的解集為或．故答案為：或．2．如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于，兩點，若，則x的取值范圍是（）A． B．C． D．或【答案】D【詳解】解：把代入得，，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，解得：，∴，當(dāng)時，正比例函數(shù)圖象在反比例圖象下方，∴或，故選：D．3．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（、是常數(shù)，且）與反比例函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象相交于，兩點，則不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，由圖可知或時，一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象的下方，因此不等式的解集是或．故選B．4．如圖，直線與雙曲線交于A、兩點，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式的解為（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】解：解：由，得，，所以，不等式的解集可由雙曲線不動，直線向下平移個單位得到，直線向下平移個單位的圖象如圖所示，交點的橫坐標(biāo)為，交點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時，雙曲線圖象在直線圖象上方，所以，不等式的解是：或．故選C題型九：反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合應(yīng)用1．如圖，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．【答案】(1)；(2)6(3)或【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象過點，∴，即，∴反比例函數(shù)的解析式為：．∵一次函數(shù)的圖象過點，∴，解得．∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）∵由；令，則，∴，即．∴；（3）∵，．∴不等式的解集為：或2．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和點，與y軸交于點C．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時x的取值范圍；(3)求的面積．【答案】(1)，(2)或(3)【詳解】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴．∴點B的坐標(biāo)為．∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，∴，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）觀察圖象可知，當(dāng)時，x的取值范圍為或．（3）∵一次函數(shù)的圖象與y軸的交點為C，∴．∴．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點的橫坐標(biāo)為，軸于點，連接．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)結(jié)合圖象，直接寫出時的取值范圍；(3)若點是反比例函數(shù)圖象上的一點，且滿足與的面積相等，求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)坐標(biāo)為或【詳解】（1）解：把代入中，得，點A坐標(biāo)為，點A在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：根據(jù)對稱性可知，由圖象可知，或時，．（3）解：，，、B關(guān)于原點對稱，，到的距離為，，，設(shè)點坐標(biāo)為，則到的距離為，，解得或，點坐標(biāo)為或4．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象交于，B兩點．(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時，寫出x的取值范圍．(3)在y軸上存在點P，使得的周長最小，求點P的坐標(biāo)及的周長．【答案】(1)，(2)或(3)，【詳解】（1）解：把代入到一次函數(shù)中得：，∴，∴，把代入到反比例函數(shù)中得：，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值；（3）解：如圖所示，作點B關(guān)于y軸對稱的點C，連接交y軸于P，則，∴，∴的周長，∵，∴的周長，∴當(dāng)三點共線時最小，即的周長最小，最小為，∴的周長最?。辉O(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線與直線在第一象限內(nèi)交于點，與軸交于點．(1)求，的值；(2)在軸上取一點，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．(3)點在雙曲線上，且是以為腰的等腰三角形，則滿足條件的點共有______個，任意寫出一個滿足條件的點的坐標(biāo)，可以為______．【答案】(1)(2)或(3)，【詳解】（1）解：∵雙曲線與直線在第一象限內(nèi)交于點，∴，∴，∴；（2）解：∵直線與軸交于點．令，得，∴，設(shè)，∵的面積為3∴∴,∵，，∴，解得：或，∴或，（3）如圖，以為圓心，為半徑畫弧交反比例函數(shù)的圖象于，，，，可得，，是等腰三角形，其中在直線上不能構(gòu)成三角形，根據(jù)對稱性可知，，故滿足條件的點有個，故答案為：，．課后練習(xí)1．下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的有（填序號）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（為常數(shù)，）．【答案】（2）（3）（4）（6）（9）【詳解】由題意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函數(shù)．故答案為：（2）（3）（4）（6）（9）．2．如果點在同一反比例函數(shù)的圖象上，那么m的值為．【答案】6【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵點在同一個反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，故答案為：．3．若點和點都在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則n的值為．【答案】【詳解】設(shè)點和點都在同一個反比例函數(shù)的圖像上，，，，，故答案為．4．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)，則m的值為．【答案】【詳解】解：∵是反比例函數(shù)，∴，，∴且，∴，故答案為：5．已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將代入，則，那么，則點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)故選：D6．已知點都在反比例函數(shù)的圖像上，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解；∵在反比例函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一，三象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，∵點都在反比例函數(shù)的圖像上，且，∴，故選B．7．已知點，在反比例函數(shù)（是常數(shù)）的圖象上，且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】解：由反比例函數(shù)可知圖象位于二、四象限，每個象限內(nèi)隨的增大而增大．點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，點，不在同一象限，則點第四象限，點在第二象限．，．故答案為：．8．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過了第二象限，則的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，，得：．故選：A．9．若反比例函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而增大，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．【答案】三【詳解】∵反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨增大而增大，∴，∴的圖象經(jīng)過第一、二、