第06講 完全平方公式（解析版）

第06講完全平方公式思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算2.利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算3.通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值4.求完全平方式中的字母系數(shù)5.完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用一、完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.即完全平方和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2．（1）公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍．（2）公式的變化：①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab；⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab．二、平方差和完全平方差區(qū)別平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2；平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍．1.熟記完全平方和與完全平方差公式，并能區(qū)別開(kāi).2.能利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，能解決與完全平方公式有關(guān)的幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題.3.完全平方公式變式求值，巧變形.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算例題1．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式訓(xùn)練】1．計(jì)算：．【解析】．2．計(jì)算：．【解析】．考點(diǎn)二、利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算例題2．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【解析】原式．【變式訓(xùn)練】1．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【解析】原式．考點(diǎn)三、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值例題3．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）原式，將，代入得原式=11-2×1=9．（2）由（1）得：，原式，將，代入得原式=9-2×1=7．【變式訓(xùn)練】1．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；?），，，．2．閱讀下列解答過(guò)程：已知，且滿(mǎn)足，求的值．，，即．．請(qǐng)通過(guò)閱讀以上內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：已知，且滿(mǎn)足，求的值．【解析】因?yàn)?，所以，整理得：，所以，所以．考點(diǎn)四、求完全平方式中的字母系數(shù)例題4．已知關(guān)于x的式子是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是．【答案】、和【解析】①若為首尾兩倍的平方.因?yàn)椋?，②若為首尾兩倍的平?因?yàn)槭嵌囗?xiàng)式的平方，所以；故答案為：、和．【變式訓(xùn)練】1．若是一個(gè)完全平方式，則．【答案】11或【解析】因?yàn)槭且粋€(gè)完全平方式，所以，所以，解得或，故答案為：11或．2．若整式4x2+Q+1是完全平方式，請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的單項(xiàng)式Q是__________．【答案】4x，-4x，-1，-4x2，4x4．【解析】因?yàn)?x2+4x+1=（2x+1）2，4x2-4x+1=（2x-1）2，4x2-4x2+1=12，4x2+1-1=（2x）2，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，所以滿(mǎn)足的Q有4x，-4x，-4x2，-1，4x4．故答案為：4x，-4x，-1，-4x2，4x4．考點(diǎn)五、完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用例題5．現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為，的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫(xiě)出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于，的關(guān)系式（用，的代數(shù)式表示出來(lái)）：圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(2)若，，則，．【解析】（1）圖1中，由圖可知，，由題意得，，即，故答案為：．圖2中，由圖可知，，，由題圖可知，，即，故答案為：．（2），，，，所以．故答案為：16；12．【變式訓(xùn)練】1．我們將完全平方公式進(jìn)行變形，可以得到一些新的等式，如：，，等等．請(qǐng)利用這些變形后的等式解決下列問(wèn)題：（1）已知，，求的值；（2）若滿(mǎn)足，求的值；（3）如圖，四邊形是梯形，，，，，連接，，若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．【解析】（1）因?yàn)?，即，而，所以，所以；?）設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以；?）設(shè)，由于，即，所以，，故答案為：5．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，原式計(jì)算正確，故A不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故B符合題意；C、，原式計(jì)算正確，故C不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，故D不符合題意；故選B．2．已知，則的值為（

）A．28 B．40 C．26 D．25【答案】B【解析】，，即，，，，故選B．3．小華在利用完全平方公式計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)整式的平方時(shí)，不小心用墨水把中間一項(xiàng)的系數(shù)染黑了，得到正確的結(jié)果為，則中間一項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】依題意，，則中間一項(xiàng)的系數(shù)是或，能使左右兩邊相等，即，或，故選C．4．若，，則的值是（）A．9 B．10 C．2 D．1

【答案】B【解析】．故選B．5．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積為（

）圖1 圖2A． B． C． D．【答案】C【解析】中間空的部分的面積＝大正方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積；故選C．二、填空題6．計(jì)算：．【答案】【解析】．故答案為：．7．若，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故答案為：?．若，則n的值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案為：?．若是一個(gè)完全平方式，則k的值是．【答案】13或【解析】，，或，故答案為：13或．10．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2的面積關(guān)系，寫(xiě)出正確的等式：；（2）兩個(gè)正方形，按圖3所示的方式擺放，邊長(zhǎng)分別為x，y．若，，則圖中陰影部分面積和為．【答案】；8【解析】（1）由圖2知，大正方形的面積為，又可以表示為，所以，故答案為：；（2）由題知：，，則，則，所以，所以（負(fù)值舍去），圖中陰影部分面積為：．故答案為：8．三、解答題11．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解析】，當(dāng)時(shí)，原式．12．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)；(2)【解析】（1）．（2）．13．計(jì)算題：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式．14．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋裕?5．閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．完全平方公式的變形及其應(yīng)用．我們知道，完全平方公式有：．在解題過(guò)程中，根據(jù)題意，若將公式進(jìn)行變形，則可以達(dá)到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：；．根據(jù)上述公式的變形，可以迅速地解決相關(guān)問(wèn)題．例如：已知，，求的值．．任務(wù)：(1)已知，則__________．(2)已知，求的值．【解析】（1），，，故答案為：4；（2），，，，．16．如圖①，正方形是由兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫(xiě)出，，之間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是__________；(2)若m滿(mǎn)足，請(qǐng)利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊，分別與圖①中的，重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【解析】（1）．（2）設(shè)，，則，，由已知得：，，所以，所以，

所以．（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，因?yàn)樗裕驗(yàn)?，所以?7．【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如圖1可以得到，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：【直接應(yīng)用】（1）若，，求的值．【類(lèi)比應(yīng)用】