復(fù)變函數(shù)15省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

劉鵬

工程數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)通信科學(xué)與工程系光華樓東主樓1109Tel:65100226pliu@1/262024/8/18FreeTemplatefrom2§1.9多值函數(shù)與黎曼面多值函數(shù)研究(Multi-valuedFunction

)1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、外爾斯特拉斯

單值解析函數(shù)理論系統(tǒng)化

多值函數(shù)僅有些孤立結(jié)論

1851年，黎曼在高斯指導(dǎo)完成題為《單復(fù)變函數(shù)普通理論基礎(chǔ)》博士論文，創(chuàng)建多值解析函數(shù)理論基礎(chǔ)

黎曼對(duì)多值函數(shù)處理，關(guān)鍵是引入“黎曼面”概念，黎曼面上表示多值函數(shù)是單值

單值函數(shù)已知結(jié)論推廣到多值函數(shù)

2/262024/8/18FreeTemplatefrom3冪函數(shù)：w=zn

(n是大于2自然數(shù))

可見

w=zn

把z平面上圓周|z|=r

映射為w

平面上圓周|w|=rn；把輻角(射線)＝0映射為＝n0。冪函數(shù)與根函數(shù)3/262024/8/18FreeTemplatefrom4冪函數(shù)所組成映射(a)xOuOyvz平面

w平面=n4/262024/8/18FreeTemplatefrom5冪函數(shù)所組成映射(b)xOuOyvz平面w平面F=0~2pF=2p~4p5/262024/8/18FreeTemplatefrom6

黎曼面目標(biāo)：將多值函數(shù)處理為單值函數(shù)(1個(gè)w

1個(gè)z)w

把一個(gè)z平面映射成兩個(gè)重合在一起平面，w平面上每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)z平面兩個(gè)不一樣點(diǎn)。黎曼面定義：黎曼面即多值函數(shù)單值化曲面

解析函數(shù)？單值函數(shù)冪函數(shù)反函數(shù)為根函數(shù)，根函數(shù)為多值函數(shù)。1個(gè)w

2個(gè)z多值性起源是宗量w輻角多值性6/262024/8/18FreeTemplatefrom7

對(duì)應(yīng)單值分支：

對(duì)應(yīng)單值分支：

引入黎曼面后多值函數(shù)轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)soz1andz2

canbethoughtofas"plus"and"minus"squarerootfunctions

7/262024/8/18FreeTemplatefrom88/262024/8/18FreeTemplatefrom9

幾點(diǎn)說(shuō)明支點(diǎn)(Branchpoint)定義：對(duì)于多值函數(shù)f(z)1）若z繞某點(diǎn)一周，函數(shù)值不復(fù)原2）在該點(diǎn)每個(gè)單值分支函數(shù)值相同(公共點(diǎn))則稱該點(diǎn)為多值函數(shù)支點(diǎn)。若z繞支點(diǎn)n周函數(shù)值復(fù)原，則稱該點(diǎn)為多值函數(shù)n-1階支點(diǎn)。點(diǎn)w=

支點(diǎn)階數(shù)：9/262024/8/18FreeTemplatefrom10例求：

解：根函數(shù)可能支點(diǎn)是根式內(nèi)多項(xiàng)式零點(diǎn)和無(wú)窮大點(diǎn)，討論(1)w=-1：

保持r不變，繞

w=-1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周，f變?yōu)閒+2p再次繞

w=-1逆時(shí)針轉(zhuǎn)一周，f由f+2p變?yōu)閒+4p10/262024/8/18FreeTemplatefrom11再次繞

w=-1逆時(shí)針轉(zhuǎn)一周，f由f+2p變?yōu)閒+4p

可見，圍繞

w=-1逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)兩周根式值還原，

w=-1是根式函數(shù)一階代數(shù)支點(diǎn)

(2)

同理

w=1也是根式函數(shù)一階代數(shù)支點(diǎn)

(3)

w=

不是根式函數(shù)支點(diǎn)

P.32誤11/262024/8/18FreeTemplatefrom12

圍線：分段光滑約當(dāng)閉曲線稱為圍線(Contour)繞圍線環(huán)行時(shí)，圍線內(nèi)部要求為在觀察者左方內(nèi)部外部邊界

(境界)區(qū)域D對(duì)于區(qū)域(單連域、多連域)境界限，通常這么要求其正方向：當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總在觀察者左方。12/262024/8/18FreeTemplatefrom13復(fù)指數(shù)函數(shù)與復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)(Exponential)函數(shù)：(1)z=x，w=ex，同實(shí)變函數(shù)(2)z=x+iy時(shí)復(fù)指數(shù)函數(shù)含有周期性:xy02

4

-2

6

13/262024/8/18FreeTemplatefrom14復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)由此可見，w=ez把z平面上每一個(gè)寬度為2p帶形區(qū)域映射成全

w平面，w平面上每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)z平面無(wú)限多不一樣點(diǎn)。復(fù)指數(shù)函數(shù)反函數(shù)為復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)，所以復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。

P.31誤

Ln:natural-logarithm14/262024/8/18FreeTemplatefrom15

復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)黎曼面若z繞支點(diǎn)任何有限周函數(shù)值都不能復(fù)原，則稱該支點(diǎn)為多值函數(shù)對(duì)數(shù)支點(diǎn)。ln(w)稱為L(zhǎng)n(w)主值上式右端對(duì)每一固定k為單值函數(shù)，稱為L(zhǎng)n(w)一個(gè)分支15/262024/8/18FreeTemplatefrom1616/262024/8/18FreeTemplatefrom1717/262024/8/18FreeTemplatefrom18舉例：

解：復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)：求Ln(2),Ln(-1)和它們主值

Ln(2)=ln(2)+i2kp,所以它主值是ln(2)；Ln(-1)＝ln(1)+iArg(-1)=i(2k+1)p,

所以它主值是ln(-1)=ip。18/262024/8/18FreeTemplatefrom19反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)三角函數(shù)可用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示因而:即:所以:根號(hào)下為雙值函數(shù)同理:19/262024/8/18FreeTemplatefrom20反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)其它函數(shù):均為為多值函數(shù)

平面三角學(xué)一切公式對(duì)復(fù)三角函數(shù)都適用20/262024/8/18FreeTemplatefrom21普通冪函數(shù)I普通形式冪函數(shù):定義，由:因?yàn)長(zhǎng)n(z)=ln|z|+i(argz+2kp)是多值，普通形式冪函數(shù)也是多值。21/262024/8/18FreeTemplatefrom22普通冪函數(shù)II冪函數(shù):假如z

、a(a和b)

值給定，za

位于以rk為半徑圓周上。模:輻角:22/262024/8/18FreeTemplatefrom23特殊情況I

a=n時(shí):單值函數(shù)

n值函數(shù)

a=1/n時(shí):

a=m/n(有理數(shù))時(shí):

n值函數(shù)23/262024/8/18FreeTemplat