31-一維波動方程初值問題省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

Autumn

Instructor:Y.Huang

ylhuang@

Room721,ShangxianBuilding

SchoolofMathematics&Statistics,NUISTPartialDifferentialEquations第1頁§3.1

一維波動方程初值問題無界弦自由振動波傳輸無界弦受迫振動和齊次化原理半界弦振動和延拓法端點固定有界弦振動解先驗預(yù)計第2頁1.一維波動方程初值問題基本思緒：無界弦自由振動(

)：經(jīng)非奇異變換化為標準型后直接積分得通解，代入初始條件得特解（達朗貝爾公式）；無界弦受迫振動(

)：由疊加原理分解為：齊次問題+零初值非齊次問題（由齊次化原理得解）；半界弦振動(

)：以某種方式延拓f

及初始函數(shù)，轉(zhuǎn)成無界弦振動問題，求出解后限制在半界區(qū)域上。第3頁1.1無界弦自由振動在弦微小橫振動問題中，假如弦未受到任何外力作用，而且只研究其中一小段，那么在不太長時間里，兩端影響都來不及傳到，不妨認為兩端都不存在，弦是“無限長”，則可提出以下定解問題其中分別表示初始位移和初始速度。第4頁(1)泛定方程通解由泛定方程可得其特征方程為即特征線滿足方程故特征線為作變換則第5頁代入泛定方程可得標準型兩邊依次關(guān)于積分，得通解其中F,G為兩個可微任意單變量函數(shù)。代回原變量，得泛定方程通解第6頁(2)定解問題特解——達朗貝爾公式利用初始條件來確定通解中任意函數(shù)F和G：則其中為任意一點，c

為常數(shù)。故有第7頁則得初值問題特解稱為達朗貝爾公式(D’Alembert),或無界弦自由振動問題達朗貝爾解.例1.求解初值問題第8頁解.此時，故由D’Alembert公式有注：有些例子即使不能直接應(yīng)用由D’Alembert公式，但可利用與推導(dǎo)D’Alembert公式相同方法求解。例2.求解初值問題第9頁解.泛定方程特征方程為即特征線滿足方程故特征線為作變換則原方程可化為其通解為第10頁即故有即所以可得初值問題特解為利用初始條件可得第11頁例3.求解有阻尼波動方程初值問題解.泛定方程含有阻尼項，不能直接用D’Alembert公式，但可將阻尼作用表示為其解中帶一個隨時間成指數(shù)衰減因子。即令為待定常數(shù)，于是有第12頁代入泛定方程得取原定解問題化為由D’Alembert

公式可得第13頁從而原問題解為注：當時，由D’Alembert公式(3.3)定義函數(shù)u(x,t)

稱為初值問題(3.1)古典解。當不滿足該條件時，由公式(3.3)定義函數(shù)u(x,t)

常稱為初值問題(3.1)廣義解。第14頁(3)達朗貝爾解適定性Th3.1

假設(shè)，則對任意給定T

>

0，初值問題(3.1)D’Alembert解在區(qū)域上是適定。證.從D’Alembert

公式推導(dǎo)可見，只要，

D’Alembert解是滿足初值問題(3.1)，即D’Alembert解是存在。唯一性.若有含有相同初始條件，則滿足零初始條件下初值問題(3.1)(即取

)，進而由D’Alembert

公式可得第15頁穩(wěn)定性.設(shè)有兩組初始條件且它們相差很小實際上，由D’Alembert公式，有只要記表示對應(yīng)于這兩組初始條件解，要證：在有限時間內(nèi)，當初始條件有了微小改變時，其解也只有微小改變。第16頁例4.求解初值問題其中解.此時下求廣義解。由D’Alembert公式，有計算可得其解詳細情況以下：第17頁(1)當時，有第18頁(2)當時，有第19頁(3)當時，有注：例4中所以D’Alembert解u(x,t)不是一個古典解，僅是形式解。第20頁1.2波傳輸(1)達朗貝爾解物理意義為方便起見，記顯然都是方程解，且首先考查給定t

不一樣值，就得到弦在各時刻振動狀態(tài)。當t=0

時，對應(yīng)是初始狀態(tài)；第21頁因時間段內(nèi)波形右移了距離了故a為波移動速度。這種形如解所描述弦振動規(guī)律稱為右傳輸波或右行波。經(jīng)時間之后，表明在(x,u)平面上時刻波形相對于初始時刻波形向右平移了距離伴隨時間推移，波形繼續(xù)向右移動，而形狀保持不變。第22頁所以，D’Alembert解(3.3)表明初值問題(3.1)解是由和確定左、右行波疊加(其中是一個原函數(shù))。這就是D’Alembert解(3.3)物理意義。這種結(jié)構(gòu)解方法稱為行波法。類似地，保持波形F(x)以速度a向左移動，稱為左傳輸波或左行波。注：行波法基于波動特點，引入了坐標變換簡化方程；優(yōu)點：求解方式易于了解，求解波動方程十分方便；缺點：通解不易求，有不足。第23頁由D’Alembert

公式得例5.（初始位移引發(fā)波動）一根無限長弦初始位移為從靜止開始運動，求其在任意時刻位移。解.定解問題為第24頁例6.（初始速度引發(fā)波動）一根無限長弦初始位移為0,以初始速度開始振動，求其在任意時刻位移。解.定解問題為其中由D’Alembert

公式得第25頁其中第26頁(2)依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域由D’Alembert

公式可知，初值問題解u在點值由函數(shù)在點和值以及函數(shù)在區(qū)間上值唯一確定。區(qū)間稱為點依賴區(qū)間。第27頁在x

軸上任取一區(qū)間[c,d],過點(c,0)和(d,0)分別作直線x=c+at

和x=d-at,組成一個三角形區(qū)域K。K內(nèi)任一點(x,t)依賴區(qū)間都落在[c,d]內(nèi)，故u(x,t)在K內(nèi)任一點(x,t)值都完全由初值函數(shù)和在區(qū)間[c,d]上值來確定，而與此區(qū)間外數(shù)據(jù)無關(guān)。這個區(qū)域K稱為區(qū)間[c,d]決定區(qū)域。即在區(qū)間[c,d]上給定初值和，就能夠確定解在決定區(qū)域K內(nèi)值。第28頁過點(c,0)和(d,0)分別作直線x=c-at

和x=d+at。經(jīng)過t

時刻后，受到區(qū)間[c,d]上初值擾動影響區(qū)域是此區(qū)域內(nèi)任一點(x,t)依賴區(qū)域都全部或有一部分落在[c,d]內(nèi)，故解在這種點值與初始函數(shù)在區(qū)間[c,d]上值相關(guān)。此區(qū)域外任一點依賴區(qū)間都不會和區(qū)間[c,d]相交，故解在這種點值與初始函數(shù)在區(qū)間[c,d]上值無關(guān)。第29頁注：兩條直線(常數(shù))對一維波動方程解起著主要作用，這兩條直線稱為波動方程特征線，所以行波法又稱為特征線法。這個區(qū)域D

稱為區(qū)間[c,d]上影響區(qū)域。簡言之，影響區(qū)域是那些使得解值受到區(qū)間[c,d]上初始函數(shù)值影響點所組成集合。第30頁1.3無界弦受迫振動和齊次化原理當弦受到外力f(x,t)

作用而產(chǎn)生振動時，有以下非齊次方程初值問題由線性疊加原理可知，若v(x,t),

w(x,t)

分別為初值問題第31頁解，則u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

是初值問題(3.4)解。初值問題(3.5)解可由D’Alembert

公式(3.3)直接給出，所以，為求解(3.4)

,只需求解(3.6)。對問題(3.6),若能設(shè)法將非齊次項消除，即將方程變?yōu)辇R次方程，便可一樣由D’Alembert

公式(3.3)得到解。第32頁1.3.1沖量原理(齊次化原理)對問題(3.6)中是單位質(zhì)量弦上所受外力，這是從初始時刻t

=0一直延續(xù)到時刻t

連續(xù)作用力。由線性疊加原理，可將連續(xù)作用力f(x,t)

所引發(fā)振動(即初值問題(3.6)解)，視為一系列前后相繼瞬時作用力所引發(fā)振動疊加，即第33頁我們先來分析瞬時作用力所引發(fā)振動。從物理角度考慮，力對系統(tǒng)作用對于時間累積是給系統(tǒng)一定沖量。所以在短時間間隔內(nèi)對系統(tǒng)作用可表示為沖量，這個沖量使得系統(tǒng)動量有一改變量(因是單位質(zhì)量弦所受外力，故動量改變量在數(shù)值上等于速度改變量)。若將時間內(nèi)得到速度改變量看成是在時刻一瞬間集中得到，而在其余時間則認為沒有沖量作用(即沒有外力作用)，則在時間內(nèi)，瞬時力所引發(fā)振動定解問題可表示為第34頁為便于求解，設(shè)則有由上述分析可看出，欲求解問題(3.6),只需求解(3.7)，而即第35頁這種用瞬時沖量疊加代替連續(xù)作用力來處理定解問題(3.6)方法，稱為沖量原理，可歸結(jié)為以下定理。定理1.(齊次化原理)設(shè)若是初值問題(3.7)解，則由積分(3.8)所定義函數(shù)w(x,t)是初值問題(3.6)解，其中是參數(shù)。證.由(3.8)和含參變量積分求導(dǎo)公式，有

第36頁代入(3.6)中泛定方程和定解條件均滿足。注：變限積分求導(dǎo)公式若f

(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)都在上連續(xù)，為定義在[a,b]上其值域含于[c,d]中可微函數(shù)，則函數(shù)在[a,b]上可微，且第37頁1.3.2純受迫振動解對于問題(3.7),令則有由D’Alembert

公式(3.3)有第38頁注:(3.10)被積函數(shù)區(qū)域為平面上過點(x,t)向下兩特征線與s

軸所圍三角形區(qū)域。代入(3.8)有——純受迫振動(3.6)解第39頁例1.求解初值問題解.此處a

=2,f(x,t)=2x,由(3.10)有第40頁1.3.3普通受迫振動解定理2.

假設(shè)函數(shù)則初值問題(3.4)存在唯一解——一維非齊次波動方程初值問題解Kirchhoff

公式深入地，對于任意T>0,(3.4)解在區(qū)域上是穩(wěn)定。第41頁例2.求解初值問題解.第42頁命題1.

假設(shè)函數(shù)且關(guān)于變量x

是偶/奇/周期為T

函數(shù)，則初值問題(3.4)解u(x,t)關(guān)于x

也是偶/奇/周期為T

函數(shù)。證.只對奇函數(shù)給出證實，其它情形類似可證。設(shè)u(x,t)是初值問題(3.4)解，定義w(x,t)=-u(-x,t),則有從而有第43頁即w(x,t)滿足初值問題(3.4)中泛定方程。又即w(x,t)滿足初值問題(3.4)中初始條件。再由定理2關(guān)于解唯一性，得w(x,t)=u(x,t)，即-u(-x,t)=u(x,t)，u(x,t)為奇函數(shù)。第44頁例3.求解初值問題解.由Kirchhoff

公式得第45頁1.4半界弦振動和延拓法1.4.1端點固定情況(1)齊次端點條件考慮定解問題為了利用D’Alembert

公式求解，把初始條件和f

延拓到第46頁設(shè)此時定解問題為則在上，有其中，對有第47頁問題是，對x<0,怎樣定義或者說，怎樣把延拓到x<0,使得u(0,t)=0?由微積分知，若一個連續(xù)函數(shù)g(x)在上是奇函數(shù)，則必有g(shù)(0)=0。故要使得解u(x,t)滿足u(0,t)=0，只要u(x,t)是

x

奇函數(shù)即可。而由命題1知，只要是x

奇函數(shù)。為此，只需要對關(guān)于x

作奇延拓。第48頁經(jīng)過奇延拓，得到定解問題(3.13)解U(x,t)。問題(3.12)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即第49頁當時，有當時，有第50頁(2)非齊次端點條件考慮定解問題可令則滿足此時端點條件已化為齊次形式,利用前述方法可得解,從而第51頁例4.求解初值問題解.把關(guān)于x

奇延拓到第52頁得到新定解問題解限制在上，得到：當時，有當時，有第53頁例5.求解初值問題解.當時，有當時，有注意到此時滿足第54頁1.4.2端點自由情況(1)齊次端點條件考慮定解問題類似地，因為可把偶延拓，即令第55頁則在上是偶函數(shù)。由命題1可知，初值問題(3.13)解關(guān)于x

是偶函數(shù)。問題(3.14)解u(x,t)就是U(x,t)在上限制，即當時，有第56頁當時，有第57頁(2)非齊次端點條件考慮定解問題可令化為齊次端點問題。第58頁例6.求解初值問題解.當時，有當時，有第59頁1.5端點固定有界弦振動因為波在邊界處不停反射，有界弦振動問題相比于無界弦負責得多?？疾殚L為l

端點固定弦振動問題：由前面討論可知，泛定方程通解為第60頁代入初始條件，得解得所