1.4 充分條件與必要條件(6種題型)解析版_第1頁
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1.4 充分條件與必要條件(6種題型)解析版_第3頁
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文檔簡介

.4充分條件與必要條件1、命題:一般地,我們把用語言、符號或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題。判斷為真的語句是真命題,判斷為假的語句是假命題。2、命題的形式:中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若,則”、“如果,那么”等形式。其中稱為命題的條件,稱為命題的結(jié)論。3、充分條件與必要條件:一般地,“若,則”為真命題,是指由通過推理可以得出,這時,我們就說,由可以推出,記作,并且說,是的充分條件,是的必要條件。如果“若,則”為假命題,那么由條件不能推出結(jié)論,記作。此時,我們就說不是的充分條件,不是的必要條件。4、要點(diǎn)詮釋:①我們說是的充分條件,是指由條件可以推出結(jié)論,但這并不意味著只能由這個條件才能推出結(jié)論。一般來說,對給定結(jié)論,使得成立的條件是不唯一的。②一般地,要判斷“若,則”形式的命題中是否為的必要條件,只需判斷是否有“”,即“若,則”是否為真命題。③一般地,數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件。④一般地,數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件。5、充要條件:一般地,如果“若,則”和它的逆命題“若,則”均是真命題,即既有,又有,記作。此時,既是的充分條件,也是的必要條件,我們就說是的充分必要條件,簡稱充要條件。顯然,如果是的充要條件,那么也是的充要條件。概括地說,如果,那么與互為充要條件。6、逆命題(舊教材):一般地,對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題。其中一個命題叫做原命題,另一個命題叫做原命題的逆命題。7、否命題(舊教材):一般地,對于兩個命題,如果其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定,我們把這樣的兩個命題叫做互否命題。如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個命題叫做原命題的否命題。8、充分、必要與充要條件的判定:如果且,則稱是的充分不必要條件,是的必要不充分條件。如果且,則稱是的必要不充分條件,是的充分不必要條件。如果既有,又有,則是的充要條件,也是的充要條件。如果且,則是的既不充分也不必要條件。9、從集合的角度理解充分與必要條件:設(shè)與命題對應(yīng)的集合為,與命題對應(yīng)的集合為,①若,則是的充分條件;②若,則是的必要條件;③若,則是的充分不必要條件;④若,則是的必要不充分條件;⑤若,則是的充要條件;【題型1】充分不必要條件1.已知a∈R,若集合M={1,a},N={0,1,2},則“a=0”是“M?N”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:因?yàn)镸?N,則a=0或a=2,所以a=0?M?N,由M?N推不出a=0.故選:A.2.“x+1=0”是“x2﹣2x﹣3=0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解答】解:當(dāng)x=﹣1時,x2﹣2x﹣3=0一定成立,但x2﹣2x﹣3=0時,x=﹣1或x=3,故x+1=0是x2﹣2x﹣3=0的充分不必要條件.故選:A.3.已知a,b∈R,則“a<b﹣1”是“a<b”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,若a<b﹣1,一定a<b,但反過來,若a<b,不一定a<b﹣1,例如,a=3,b=7所以“a<b﹣1”是“a<b”的充分不必要條件.故選:A.4.已知p:3x+2>1,q:-2≤x<1,則pA.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【解答】解:p:3x+2>1q:﹣2≤x<1,故p是q的充分不必要條件.故選:A.5.“﹣3<m<1”是“不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x﹣1<0對任意的x∈R恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:(m﹣1)x2+(m﹣1)x﹣1<0對任意的x∈R恒成立,①當(dāng)m=1時,﹣1<0,恒成立;②當(dāng)m≠1時,m-1<0Δ=(m-1)2綜上所述,{m|﹣3<m≤1},{m|﹣3<m<1}?{m|﹣3<m≤1},∴“﹣3<m<1”是“不等式(m﹣1)x2+(m﹣1)x﹣1<0對任意的x∈R恒成立”的充分不必要條件.故選:A.【小結(jié)】【題型2】必要不充分條件1.子曰:“工欲善其事,必先利其器.”這句名言最早出自于《論語?衛(wèi)靈公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由題意“工欲善其事,必先利其器.”指工匠要想要做好活兒,一定先要把工具整治得銳利精良,從邏輯角度理解,如果工匠做好活了,說明肯定是有銳利精良的工具,反過來如果有銳利精良的工具,不能得出一定能做好活兒,綜上,“利其器”是“善其事”的必要不充分條件.故選:B.2.“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:若甲和乙的生肖相同,則甲和乙的生肖不一定都是龍;若甲和乙的生肖都是龍,則甲和乙的生肖肯定相同,所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龍”的必要不充分條件.故選:A.3.“1x<1”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由1x<1可得x<0或所以1x<1是故選:B.4.“x+y>2z”是“x>y>z”的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,令x=1,y=3,z=1.5,滿足x+y>2z,但不滿足x>y>z;反之,當(dāng)x>y>z時,x>z,y>z,∴x+y>z+z,即x+y>2z,所以“x+y>2z”是“x>y>z”的必要不充分條件.故選:B.5.已知p:(x+2)(x﹣3)<0,q:|x﹣1|<2,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:因?yàn)閜:(x+2)(x﹣3)<0?﹣2<x<3;q:|x﹣1|<2?﹣1<x<3,所以q?p,p推不出q,所以p是q的必要不充分條件.故選:B.【小結(jié)】【題型3】充要條件1.已知a∈R,集合A={2,|a+1|,a+3},則“a=0”是“1∈A”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解答】解:若1∈A,則|a+1|=1或a+3=1,所以a=﹣2,或a=0,當(dāng)a=﹣2時,a+3=|a+1|=1,不滿足集合中元素的互異性,當(dāng)a=0時,A={2,1,3},由1∈A,可得a=0;當(dāng)a=0時,顯然1∈A也成立.故選:C.2.“|x|=1”是“x2=1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,由|x|=1可得x=±1,則有x2=1,由x2=1可得x=±1,則有|x|=1,所以“|x|=1”是“x2=1”的充要條件.故選:C.3.已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab=0,則“a+b=0”是“a=b=0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由a+b=0得(a+b)2=0,即a2+b2+2ab=0,又ab=0,所以a2+b2=0,所以a=b=0,充分性成立;顯然由a=b=0,可得a+b=0,必要性成立,綜上可知,“a+b=0”是“a=b=0”的充要條件.故選:C.4.已知“p:一元二次方程x2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根;q:c<0.”則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:一元二次方程x2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根,則這兩根的乘積小于0,∴根據(jù)韋達(dá)定理c<0,∴p是q的充分條件;若c<0,則Δ=b2﹣4c>0,根據(jù)韋達(dá)定理方程x2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根,∴p是q的必要條件,∴p是q的充分必要條件.故選:C.5.“a>0”是“關(guān)于x的不等式x2﹣x﹣a<0有整數(shù)解”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,設(shè)f(x)=x2﹣x﹣a,若a>0,有f(0)<0,不等式x2﹣x﹣a<0有整數(shù)解,反之,若不等式x2﹣x﹣a<0有整數(shù)解,而f(x)=x2﹣x﹣a是對稱軸為x=1必有f(0)=f(1)=﹣a<0,必有a>0,故“a>0”是“關(guān)于x的不等式x2﹣x﹣a<0有整數(shù)解”的充要條件.故選:C.【小結(jié)】【題型4】既不充分也不必要條件1.人生在世,最大的問題,莫過于“學(xué)以成人”的問題;“學(xué)好數(shù)學(xué)”是“成人”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:“學(xué)好數(shù)學(xué)”不一定能推出“成人”,充分性不成立,“成人”不一定能推出“學(xué)好數(shù)學(xué)”,必要性不成立,故“學(xué)好數(shù)學(xué)”是“成人”的既不充分也不必要條件.故選:D.2.若x,y∈R,則“x2>y2”是“x>y”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:若x,y∈R,則“x2>y2”推不出“x>y”,如:x=﹣3,y=2,若“x>y”也推不出“x2>y2”,如:x=2,y=﹣3,故“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要條件,故選:D.3.設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:a,b是實(shí)數(shù),如果a=﹣1,b=2則“a+b>0”,則“ab>0”不成立.如果a=﹣1,b=﹣2,ab>0,但是a+b>0不成立,所以設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件.故選:D.4.已知a,b∈R,則“ab>1”是“a>A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由“ab>1”推不出“a>b”,例如a=﹣2,由“a>b”也推不出“ab>1”,例如a=1,所以“ab>1”是“a>故選:D.5.已知a,b∈R,則“1a<1b”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由1a若1a<1b,則b-aab<0,當(dāng)ab<0時,b>若a>b,則當(dāng)ab<0時,1a-1b=綜上所述,“1a<1b”是“故選:D.【小結(jié)】【題型5】探求命題成立的一個充分、必要條件1.給出下列四個選項(xiàng),其中能成為x>y的充分條件是()A.xt2<yt2 B.xt<yt C.x2>y2 D.0<【解答】解:對于A,若xt2<yt2,則t2>0,∴x<y,充分性不成立,A錯誤;對于B,若xt<yt,則當(dāng)t>0時,x<y,充分性不成立,B錯誤;對于C,取x=﹣2,y=﹣1,滿足x2>y2,但x<y,則充分性不成立,C錯誤;對于D,若0<1x<1y,則x故選:D.2.已知a,b∈R,下列條件中,使a>b成立的必要條件是()A.a(chǎn)>b﹣1 B.a(chǎn)>b+1 C.|a|>|b| D.a(chǎn)﹣2>b【解答】解:對于A選項(xiàng),由a>b可以得到a>b﹣1,故a>b﹣1是a>b必要而不充分的條件,A正確;對于B選項(xiàng),a>b+1可以得到a>b,反之不成立,故a>b+1是a>b的充分不必要條件,B錯誤;對于C選項(xiàng),|a|>|b|無法推出a>b,a>b也不能推出|a|>|b|,即|a|>|b|是a>b的既不充分也不必要條件,C錯誤;a﹣2>b,即a>b+2時,a>b一定成立,當(dāng)a>b時a>b+2不一定成立,所以a﹣2>b是a>b的充分不必要條件,D錯誤.故選:A.3.不等式1xA.x<1 B.x<13 C.x>1【解答】解:由1x>1,得1x-1=1-xx>因?yàn)閧x|0<x<12}?{x|0<所以0<x<12是0<故選:D.4.設(shè)x∈R,不等式|x﹣3|<2的一個充分不必要條件是()A.1<x<5 B.x>0 C.x<4 D.2≤x≤3【解答】解:因?yàn)閨x﹣3|<2,所以﹣2<x﹣3<2,解得1<x<5,由充分不必要條件的定義可知,只有D選項(xiàng)符合.故選:D.5.若x,y∈R,則“x>y”的一個必要不充分條件可以是()A.2x﹣y>0.5 B.x2>y2 C.xy>1 D.2x﹣【解答】解:A:2x﹣y>0.5=2﹣1?x﹣y>﹣1?x>y﹣1,不能推出x>y,但由x>y能推出2x﹣y>0.5,故A正確;B:x2>y2?|x|?|y|?x>y>0或x<y<0,不能推出x>y,由x>y,也不能推出x2>y2,故B錯誤;C:xy>1?x-yy>0?y(x-y)>0,解得x>y>0或x<y由x>y,也能推出xy>1,故D:2x﹣y>2?x﹣y>1?x>y+1?x>y,反之x>y時,2x﹣y不一定大于2,如x=1.5,y=1,故D錯誤.故選:A.6.不等式x2﹣x﹣m>0在x∈R上恒成立的一個必要不充分條件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.【解答】解;不等式x2﹣x﹣m>0在R上恒成立,即一元二次方程x2﹣x﹣m=0在R上無實(shí)數(shù)解,∴Δ=(﹣1)2﹣4×(﹣m)<0,解得:m<-14,易見A選項(xiàng),m<-14可推導(dǎo)m≤-14,且m≤-14不可推導(dǎo)C選項(xiàng),m<-14不可推導(dǎo)出m<-1D選項(xiàng),m<-14不可推導(dǎo)-1<m<-1故選:A.7.“不等式mx2+x+4m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A.m>14 B.0<m<14 C.【解答】解:∵不等式mx2+x+4m>0在R上恒成立,且當(dāng)m=0不滿足題意,∴m>0Δ=1-16m2選項(xiàng)A,m>14是充要條件,選項(xiàng)B,由m>14推不出0<m<1,選項(xiàng)C,由m>14?m>選項(xiàng)D,由m<18推不出m>1故選:C.8.“方程x2﹣2x+m=0至多有一個實(shí)數(shù)解”的一個充要條件是()A.m≥1 B.m≤1 C.m≥2 D.m≥0【解答】解:“方程x2﹣2x+m=0至多有一個實(shí)數(shù)解”的充要條件為“(﹣2)2﹣4m≤0”即“m≥1”.故選:A.9.命題“2x2﹣5x﹣3<0”的一個充要條件是()A.-12<x<3 B.-12<x<4 C.﹣3<【解答】解:2x2﹣5x﹣3<0?(2x+1)(x﹣3)<0?-1故選:A.10.已知a,b,c∈R,則“a>b”的一個充要條件是()A.a(chǎn)2>b2 B.3a>3b C.a(chǎn)c2>bc【解答】解:對于選項(xiàng)A:例如a=﹣2,b=﹣1,滿足a2>b2,不滿足a>b,即a2>b2不能推出a>b,故A錯誤;對于選項(xiàng)B:因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增,則3a>3所以“3a>3b”是“a>對于選項(xiàng)C:例如c=0,則ac2=bc2=0,即a>b不能推出ac2>bc2,故C錯誤;對于選項(xiàng)D:例如a=﹣2,b=﹣1,c=﹣1,滿足ac>bc,不滿足即ac>bc不能推出a>故選:B.【小結(jié)】【題型6】根據(jù)條件求參數(shù)取值范圍1.集合A={x|﹣1<x<2},B={x|﹣2<x<m},若x∈B的充分條件是x∈A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(﹣1,2) B.[2,+∞) C.(﹣2,2] D.(2,+∞)【解答】解:由題意,x∈B的充分條件是x∈A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞).故選:B.2.若不等式|x﹣1|<a成立的充分條件為0<x<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|a≥3} B.{a|a≥1} C.{a|a≤3} D.{a|a≤1}【解答】解:由|x﹣1|<a得1﹣a<x<1+a,依題意,(0,4)?(1﹣a,1+a),則1-a≤01+a≥4解得a≥3.故選:A.3.已知p:﹣4<x﹣a<4,q:2<x<3,若p是q的必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[﹣1,6] B.(﹣∞,﹣1] C.[6,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[6,+∞)【解答】解:由﹣4<x﹣a<4,得﹣4+a<x<4+a,即p:﹣4+a<x<4+a,對應(yīng)的集合A=(﹣4+a,4+a),結(jié)合q:2<x<3,得q對應(yīng)的集合B=(2,3),若p是q的必要條件,可知(2,3)?(﹣4+a,4+a),∴2≥-4+a3≤4+a,解得﹣1≤a故選:A.4.若不等式|x﹣a|<1成立的必要條件是1<x≤4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[2,3] B.(2,3] C.[2,3) D.(2,3)【解答】解:由|x﹣a|<1得:a﹣1<x<a+1,∵不等式成立的必要條件是1<x≤4,則{x|a﹣1<x<a+1}?{x|1<x≤4},∴a-1≥1a+1≤4,解得2≤a故選:A.5.若集合A={x|2<x<3},B={x|x>b,b∈R},則A?B的一個充分不必要條件是()A.b≥3 B.2<b≤3 C.b≤2 D.b<2【解答】解:因?yàn)榧螦={x|2<x<3},B={x|x>b,b∈R},若A?B,則b≤2,故A?B的一個充分不必要條件是b<2.故選:D.6.若集合A={x|x2+x﹣2>0},B={x|﹣1<x<a},則“A∩B≠?”的一個充分不必要條件是()A.a(chǎn)>﹣2 B.a(chǎn)≥﹣2 C.a(chǎn)>﹣1 D.a(chǎn)>2【解答】解:根據(jù)題意,集合A={x|x2+x﹣2>0}={x|x<﹣2或x>1},若A∩B≠?,必有a>1,反之,若a>1,則A∩B≠?,故“A∩B≠?”的充分必要條件是a>1,依次分析選項(xiàng):對于A,a>﹣2是“A∩B≠?”的必要不充分條件,不符合題意;對于B,a≥﹣2是“A∩B≠?”的必要不充分條件,不符合題意;對于C,a>﹣1是“A∩B≠?”的必要不充分條件,不符合題意;對于D,a>2是“A∩B≠?”的充分不必要條件,符合題意.故選:D.7.已知p:“x>2”,q:“x2﹣x﹣a>0”,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[-14,2] B.(﹣∞,2] C.【解答】解:若p是q的充分不必要條件,則當(dāng)x>2時,可推出x2﹣x﹣a>0成立,因?yàn)閒(x)=x2﹣x﹣a的圖象是開口向上的拋物線,關(guān)于直線x=1所以f(x)在(12,+∞)上是增函數(shù),可知f(x)在(2,+∞)上的最小值大于f(2)=2﹣a若x2﹣x﹣a>0在(2,+∞)上成立,則22﹣2﹣a≥0,解得a≤2.反之,若不等式x2﹣x﹣a>0成立,則在a≤2時有如下三種情況:①若-14不等式的解集為(﹣∞,x1)∪(x2,+∞),且x2=1+1+4a2≤2,此時(2,+∞)?②若a=-1不等式x2﹣x﹣a>0即x2﹣x+14>0,解集為(﹣∞,12)∪(12③若a<-14,不等式x2﹣x﹣a>0的解析為綜上所述,對任意a≤2,都可以使“x>2”是“x2﹣x﹣a>0”的充分不必要條件.因此,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,2].故選:B.8.設(shè)f(x)=x2﹣2ax+4(x∈R),則關(guān)于x的不等式f(x)<0有解的一個必要不充分條件是()A.﹣2<a<0 B.a(chǎn)<﹣2或a>2 C.|a|>4 D.|a|≥2【解答】解:若f(x)=x2﹣2ax+4<0有解,則Δ=4a2﹣16>0,解得|a|>2,結(jié)合選項(xiàng)可知,D符合題意.故選:D.9.已知p:x2﹣2x﹣8<0,q:2﹣a<x<a+1,且q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞,3)∪(0,+∞) B.[4,+∞) C.[﹣3,0] D.(﹣3,0)【解答】解:∵x2﹣2x﹣8<0,∴﹣2<x<4,記P={x|﹣2<x<4},Q={x|2﹣a<x<a+1},由q是p的必要不充分條件,可得P?Q且P≠Q(mào),故2-a≤-2a+1≥4,且等號不同時成立,解得a∈故選:B.10.已知p:2xx+1<1是q:a<x<aA.(﹣1,1) B.[﹣2,﹣1] C.[﹣1,0] D.[0,1]【解答】解:由不等式2xx+1<1,2x-x-1x+1<0,x-1x+1<0,等價于(所以p:(﹣1,1),q(a,a+1),由題意可得(a,a+1)是(﹣1,1)的一個真子集,可得-1≤aa+1≤1,解得﹣1≤a當(dāng)a=﹣1時,a+1=0≠1;當(dāng)a+1=1時,a=0≠﹣1,綜上可得a∈[﹣1,0].故選:C.【小結(jié)】當(dāng)堂檢測一.選擇題(共8小題)1.(2024春?臨汾期末)褐馬雞,屬于馬雞的一種,是中國特產(chǎn)珍稀的鳥類.若甲是一只鳥,則“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,若“甲是馬雞”,則“甲不一定是褐馬雞”,反之,若“甲是褐馬雞”,則“甲一定是馬雞”,故“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的必要不充分條件.故選:B.2.(2022?天津)“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:x為整數(shù)時,2x+1也是整數(shù),充分性成立;2x+1為整數(shù)時,x不一定是整數(shù),如x=1故選:A.3.(2023?天津)已知a,b∈R,則“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:a2=b2,即(a+b)(a﹣b)=0,解得a=﹣b或a=b,a2+b2=2ab,即(a﹣b)2=0,解得a=b,故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立,“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立,故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.故選:B.4.(2024?懷仁市校級模擬)設(shè)a,b∈R,則“a<1且b<1”是“a+b<2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:根據(jù)題意,若a<1且b<1,則a+b<2,即充分性成立;反之,若a+b<2,例如a=1,b=0,滿足a+b<2,但不滿足a<1且b<1,即必要性不成立;綜上所述:“a<1且b<1”是“a+b<2”的充分不必要條件.故選:A.5.(2024?和平區(qū)二模)若x∈R,下列選項(xiàng)中,使“x2<1”成立的一個必要不充分條件為()A.﹣2<x<1 B.﹣1<x<1 C.0<x<2 D.﹣1<x<0【解答】解:不等式x2<1等價于﹣1<x<1,使“x2<1”成立的一個必要不充分條件,對應(yīng)的集合為A,則(﹣1,1)是A的真子集,故選:A.6.(2024春?牡丹江校級期末)已知a為非零實(shí)數(shù),則“a>1a”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:由a>1a可得,a>1或﹣1<故a>1a”是“故選:B.7.(2024春?江西期末)已知集合M={x|ax2﹣x+1=0}(a∈R),則“a=14”是“集合A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解答】解:集合M={x|ax2﹣x+1=0}僅有1個真子集,即集合M只有一個元素,若a=0,方程ax2﹣x+1=0等價于﹣x+1=0,解得x=1,滿足條件;若a≠0,方程ax2﹣x+1=0要滿足Δ=1﹣4a=0,有a=1則集合M={x|ax2﹣x+1=0}僅有1個真子集,有a=0或a=14,則a=1集合M僅有1個真子集時不一定有a=14,所以a=1故選:B.8.(2023?安康一模)設(shè)c∈R,則a>b成立的一個必要不充分條件是()A.a(chǎn)c2>bc2 B.ca<cb C.2a+c>2b+c D.a(chǎn)【解答】解:ac2>bc2,∴c≠0,∴a>b,是a>b的充分條件,A錯;當(dāng)c=0時,不是必要條件,B錯;∵f(x)=2x在R上遞增,∴2a+c>2b+c?a>b,是充要條件,C錯;a>b可得a﹣b>0,又﹣2c<0,可得a﹣b>﹣2c,反之不一定成立,D對.故選:D.二.多選題(共3小題)(多選)9.(2024春?廣東期末)若“x<k﹣2或x>k”是“﹣2<x<3”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)k的值可以是()A.3 B.﹣3 C.5 D.﹣5【解答】解:根據(jù)題意,令A(yù)={x|x<k﹣2或x>k},B={x|﹣2<x<3},因?yàn)椤皒<k﹣2或x>k”是“﹣2<x<3”的必要不充分條件,所以B真包含于A,所以k≤﹣2或k﹣2≥3,解得k≤﹣2或k≥5.結(jié)合選項(xiàng)可知符合題意的有B、C、D.故選:BCD.(多選)10.(2024春?鞍山期末)設(shè)A={x|x2﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0},B是A的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的值可以為()A.15 B.0 C.3 D.【解答】解:因?yàn)閤2﹣8x+15=0的兩個根為3和5,所以A={3,5},B是A的充分不必要條件,所以B是A的真子集,所以B=?或B={3}或B={5},當(dāng)B=?時,滿足a=0即可,當(dāng)B={3}時,滿足3a﹣1=0,所以a=1當(dāng)B={5},滿足5a﹣1=0,所以a=1所以a的值可以是0,13,1故選:ABD.(多選)11.(2024春?德化縣校級期末)下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的必要條件的是()A.若兩個三角形全等,則這兩個三角形相似 B.若x>5,則x>10 C.若ac=bc,則a=b D.若0<x<5,則|x﹣1|<1【解答】解:A.兩個三角形全等?這兩個三角形相似,反之,不成立,故p是q的充分條件;B.p:x>5,q:x>10,p推不出q,由q?p.故p是q的必要條件;C.p:ac=bc,q:a=b,p推不出q,由q?p.故p是q的必要條件;D.|x﹣1|<1?0<x<2,p:0<x<5,q:0<x<2,p推不出q,由q?p.故p是q的必要條件;∴只有B,C,D中p是q的必要條件.故選:BCD.三.填空題(共3小題)12.(2023秋?虹口區(qū)期末)已知α:2x+1>1,β:m≤x≤2,若α是β的充分條件,則實(shí)數(shù)m【解答】解:因?yàn)?x+1>1,即2-(x+1)x+1>0,整理可得:(x+1)(β:m≤x≤2,因?yàn)棣潦铅碌某浞謼l件,則m≤﹣1.即m的范圍為(﹣∞,﹣1].13.(2024春?海淀區(qū)期末)已知集合A=[a,+∞)、B=[3,+∞).若x∈A是x∈B的必要不充分條件,則a的取值范圍為(﹣∞,3).【解答】解:根據(jù)題意,因?yàn)閤∈A是x∈B的必要不充分條件,所以B是A的真子集,又由集合A=[a,+∞)、B=[3,+∞).所以a<3,則a的取值范圍為(﹣∞,3).14.(2024春?平羅縣校級期末)若不等式|x﹣3|≤a成立的一個充分不必要條件是﹣1≤x≤7,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4,+∞).【解答】解:由|x﹣3|≤a?3﹣a≤x≤3+a,因?yàn)椴坏仁絴x﹣3|≤a成立的一個充分不必要條件是﹣1≤x≤7,所以有3+a≥73-a≤-1,等號不同時成立,a當(dāng)a=4時,﹣1≤x≤7是不等式|x﹣3|≤a成立的充要條件,不符合題意,所以a>4,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4,+∞).四.解答題(共5小題)15.(2023秋?雙塔區(qū)校級期末)已知集合A={x|m-12<x<m+1},B={x|2x2(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若集合A∩(?RB)中只含有兩個整數(shù)元素且這兩個元素非負(fù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解:(1)B={x|2x2+x-3>0}={x|x<-根據(jù)充分不必要條件的定義可知A是B的真子集,所以m+1≤-32或m-12≥1故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-5(2)由(1)可知,?RB={x|-32≤x≤1}由集合A∩(?RB)中只含有兩個整數(shù)元素且這兩個元素非負(fù)可知-1≤m-1解得0<m<12,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為16.(2023秋?安徽期末)已知集合A={x|2m﹣1≤x≤m+1},B={x|1(1)若m=12,求A∩(?R(2)若x∈B是x∈A的必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解:(1)由B={x|12≤x<2},則?RB={x|x<若m=12,則A={x|0≤x≤32},所以A∩(?(2)若x∈B是x∈A的必要條件,則A?B.當(dāng)2m﹣1>m+1時,即m>2時,A=?,符合題意;當(dāng)2m﹣1≤m+1時,即m≤2時,A≠?,要滿足A?B,可得12≤2m-1≤m+1<2,解得綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3417.(2024春?新城區(qū)校級期末)已知集合A={x|22-x≥1},集合B={x|x2﹣2x﹣(1)若m=2,求(?RA)∩B;(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解:(1)由22-x≥1,得所以x(2-x)≥02-x≠0解得0≤x<2,所以A=[0,2)所以?RA=(﹣∞,0)∪[2,+∞),當(dāng)m=2時,B={x|x2﹣2x﹣3<0}=(﹣1,3),所以(?RA)∩B=(﹣1,0)∪[2,3);(2)因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,所以A?B,因?yàn)锽={x|x2﹣2x﹣m2+1<0},則x2﹣2x﹣m2+1<0對任意的x∈[0,2)恒成立,令f(x)=x2﹣2x﹣m2+1,所以f(0)<0f(2)≤0即-m2+1<0-m所以m的取值范圍為(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)18.(2023秋?湖北期末)已知集合A={x|4≤x≤6},B={x|1<x<5},C={x|2a﹣3≤x≤a+1}.(1)求A∪B,(?RA)∩B;(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解:(1)因?yàn)榧螦={x|4≤x≤6},B={x|1<x<5},所以A∪B={x|1<x≤6};又?RA={x|x<4或x>6},則(?RA)∩B={x|1<x<4}.(2)因?yàn)閤∈A是x∈C的必要不充分條件,所以集合C是集合A的真子集,C≠?,則2a﹣3≤a+1,得a≤4,由題意a+1≤62a-3≥4a≤4,所以綜上所述:a的取值范圍為[719.(2023秋?濰坊期末)已知集合A={x|(x+2)(x﹣8)≤0},B={x||x|<3}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|m﹣6<x<4m},且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解:(1)不等式(x+2)(x﹣8)≤0即﹣2≤x≤8,所以A={x|(x+2)(x﹣8)≤0}=[﹣2,8],而B={x||x|<3}={x|﹣3<x<3}=(﹣3,3),所以A∩B=[﹣2,3);(2)由“x∈C”是“x∈A”的必要不充分條件,可知集合A是集合C的真子集,說明集合C={x|m﹣6<x<4m}是非空集合,可得4m>m﹣6,即m>2.因?yàn)锳=[﹣2,8],且A?C,所以m-6<-24m>8,解得2<m所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,4).練一練一.選擇題(共8小題)1.(2024?周口開學(xué))若“x>a”是“x>1”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解答】解:由“x>a”是“x>1”的必要不充分條件,則{x|x>a}?{x|x>1},所以a<1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,1).故選:A.2.(2023秋?中牟縣校級月考)“0<x<4”的一個必要不充分條件為()A.0<x<4 B.0<x<2 C.x<0 D.x<4【解答】解:顯然A項(xiàng)是充要條件,不符合題意;由“0<x<2”可推出“0<x<4”,即B項(xiàng)是充分條件,不符合題意;“x<0”不能推出“0<x<4”,反之“0<x<4”也推不出“x<0”,即C項(xiàng)為既不充分也不必要條件,不符合題意;易知(0,4)?(﹣∞,4),所以“0<x<4”的一個必要不充分條件為“x<4”,故選:D.3.(2024春?云南期末)已知x∈R,則“1≤x≤3”是“x-3x-1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:因?yàn)閤-3x-1所以(1,3]是[1,3]的真子集,所以“1≤x≤3”是“x-3x-1故選:B.4.(2023秋?魏都區(qū)校級月考)“方程x2﹣2x+m=0至多有一個實(shí)數(shù)解”的一個充分不必要條件是()A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≥2【解答】解:“方程x2﹣2x+m=0至多有一個實(shí)數(shù)解”的充要條件為Δ=(﹣2)2﹣4m≤0即m≥1,又m≥2是m≥1的充分不必要條件.故選:D.5.(2022秋?河南月考)設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a>b”的一個必要不充分條件是()A.a(chǎn)2>b2 B.a(chǎn)3>b3 C.1a<1b D.2【解答】解:A:由a2>b2可得:a>b或a<﹣b,因?yàn)閍>b不能得出a>b或a<﹣b,故A錯誤,B:由a3>b3可得:a>b,是充要條件,故B錯誤,C:由1a<1b可得:a>bab>0D:當(dāng)a>b時,一定有a+1>b,故D正確,故選:D.6.(2024春?淮濱縣期末)已知關(guān)于x的不等式x2﹣2x﹣3<0成立的一個必要不充分條件是a<x<3,則a的取值范圍是()A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,﹣1] C.(﹣1,3) D.[﹣1,3)【解答】解:由x2﹣2x﹣3<0,解得﹣1<x<3,由已知不等式x2﹣2x﹣3<0成立的一個必要不充分條件是a<x<3,所以a<﹣1,則a∈(﹣∞,﹣1).故選:A.7.(2024春?遵義期中)若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.﹣3≤m≤4 B.﹣4≤m≤3 C.m≤﹣4或m≥3 D.m≤﹣3或m≥4【解答】解:不等式x2﹣x﹣6≥0的解集為{x|x≤﹣2或x≥3},故{x|m﹣1≤x≤m+1}?{x|x≤﹣2或x≥3},故m﹣1≥3或m+1≤﹣2,解得m≥4或m≤﹣3.故選:D.8.(2024春?鼓樓區(qū)期末)“a>1”是“函數(shù)y=x2﹣2ax+1在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)y=x2﹣2ax+1的圖象開口向上,對稱軸為x=a,若函數(shù)y=x2﹣2ax+1在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減,等價于a≥1,顯然(1,+∞)是[1,+∞)的真子集,所以“a>1”是“函數(shù)y=x2﹣2ax+1在(﹣∞,1]上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選:A.二.多選題(共3小題)(多選)9.(2023秋?中牟縣校級月考)下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的必要條件的有()A.若x,y是偶數(shù),則x+y是偶數(shù) B.若a<2,則方程x2﹣2x+a=0有實(shí)根 C.若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形是菱形 D.若ab=0,則a=0【解答】解:A.由x+y是偶數(shù),不能推出x,y是偶數(shù),則p不是q的必要條件;B.方程x2﹣2x+a=0有實(shí)根?(﹣2)2﹣4a≥0?a≤1?a<2,則p是q的必要條件;C.由一個四邊形是菱形,能夠得到該四邊形的對角線互相垂直,則p是q的必要條件.D.若a=0,則ab=0,則p是q的必要條件,∴p是q的必要條件的有BCD.故選:BCD.(多選)10.(2024春?德州期末)已知集合A={x|m﹣3≤x≤2m+1},B={x|﹣5≤x≤2},若x∈A是x∈B的充分條件,則實(shí)數(shù)m的值可能為()A.﹣5 B.﹣3 C.0 D.1【解答】解:若A是空集,顯然滿足題意,此時m﹣3>2m+1,解得m<﹣4,若A不是空集,x∈A是x∈B的充分條件,則m-3≥-52m+1≤2,解得-2≤m≤對比選項(xiàng)可知,ACD符合題意.故選:ACD.(多選)11.(2023秋?陽江期末)已知p,q都是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,則()A.p是q的充分條件 B.p是s的必要條件 C.r是q的必要不充分條件 D.s是q的充要條件【解答】解:由p,q都是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,可得p?r,q?r,r?s,s?q,對于A中,由p?q,所以p是q的充分條件,所以A正確;對于B中,由p?s,所以p是s的充分條件,所以B不正確;對于C中,由r?q,所以r是q的充要條件,所以C不正確;對于D中,由s?q,所以s是q的充要條件,所以D正確.故選:AD.三.填空題(共3小題)12.(2023秋?河南期中)已知P:實(shí)數(shù)x滿足a≤x<4a,a>0,q:實(shí)數(shù)x滿足2<x≤4,若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].【解答】解:由已知可得集合(2,4]是[a,4a)的真子集,∴a≤24a>4得1<a≤2.實(shí)數(shù)a13.(2023秋?鼓樓區(qū)校級月考)若“1﹣m<x+m<2m”是“2x-1<-1”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為【解答】解:因?yàn)?﹣m<x+m<2m等價于1﹣2m<x<m,且2x-

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