廣東省中山市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷含答案

廣東省中山市2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：（1）答題前填好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息；（2）請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則（

）A．B．C．D．2．已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則的值為A．0 B．-1 C．2 D．0或23．若a＞1，則的最小值是（

）A．2 B．a(chǎn)C． D．34．已知，則等于（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．6．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知銳角、滿(mǎn)足、，則（

）A． B． C．或 D．或8．已知，且，則（）A． B．C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．以下選項(xiàng)中，是，的一個(gè)必要條件的為（

）A． B． C． D．10．下列論述中，正確的有（

）A．正切函數(shù)的定義域?yàn)锽．若是第一象限角，則是第一或第三象限角C．第一象限的角一定是銳角D．圓心角為且半徑為2的扇形面積是11．形如的函數(shù)，我們稱(chēng)之為“對(duì)勾函數(shù)”.“對(duì)勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．12．雙曲函數(shù)是數(shù)學(xué)中一類(lèi)非常重要的函數(shù)，其中就包括雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．下列關(guān)于與說(shuō)法正確的是（

）A．與在上均為增函數(shù)B．與的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．，都有D．，都有三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．，，，則的最小值是________.14．已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，那么的一個(gè)取值可以是.（答案不唯一）16．對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，定義．其中常數(shù)，“”是實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，若，則；若，與都是集合中的元素，則．四、解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．（本小題滿(mǎn)分10分）計(jì)算：(1)；(2)計(jì)算：.18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若關(guān)于不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（本小題滿(mǎn)分12分）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸的合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的值：(2)求的值.21．（本小題滿(mǎn)分12分）黨的二十大報(bào)告強(qiáng)調(diào)，要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)、數(shù)字中國(guó)．專(zhuān)家稱(chēng)數(shù)字交通讓出行更智能、安全、舒適．研究某市場(chǎng)交通中，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以時(shí)間，車(chē)輛密度是該路段一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以該路段的長(zhǎng)度，現(xiàn)定義交通流量為，x為道路密度，q為車(chē)輛密度，已知當(dāng)?shù)缆访芏葧r(shí)，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范圍；（3）求車(chē)輛密度q的最大值．22．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù).（1）若在定義域上具有唯一單調(diào)性，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.廣東省中山市2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷答案一、單選題1．已知，，則（

）A．B．C．D．2．已知冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則的值為A．0 B．-1 C．2 D．0或22．A【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)可知，得出：或，然后驗(yàn)證，得到的值.【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，過(guò)原點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，，不過(guò)原點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式和函數(shù)性質(zhì)，形如的函數(shù)是冪函數(shù)，熟記和時(shí)，函數(shù)的性質(zhì)和圖象是解題的關(guān)鍵，本題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.3．若a＞1，則的最小值是（

）A．2 B．a(chǎn)C． D．33．D【分析】原式可化為形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立為a＝2【詳解】由a＞1，有a－1＞0∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝2時(shí)取等號(hào).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，使用時(shí)注意“一正二定三相等”的條件，屬于簡(jiǎn)單題4．已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用、誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】.故選：C5．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．B【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)方程思想，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.6．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．A【分析】易得函數(shù)為偶函數(shù)，排除部分選項(xiàng)，再采用特殊值法由，確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故排除D；因?yàn)?，故排除B；因?yàn)?，故排除C.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，特殊值法的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于中檔題.7．已知銳角、滿(mǎn)足、，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】首先求出、，再根據(jù)兩角和的余弦公式求出，即可得解.【詳解】因?yàn)殇J角、滿(mǎn)足、，所以、，所以，因?yàn)?，所?故選：B8．已知，且，則（）A． B．C． D．8．B【分析】設(shè)，得出x＝2k，y＝3k，z＝5k，從而得出，比較得31021556，且，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性即可得出.【詳解】設(shè)，∴x＝2k，y＝3k，z＝5k；∴，；∵215＝85，或215＝323；310＝95，56＝253，∴31021556，又，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，以及冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．二、多選題9．以下選項(xiàng)中，是，的一個(gè)必要條件的為（

）A． B． C． D．9．CD【解析】根據(jù)必要條件的定義依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由，不能得到，故不滿(mǎn)足；對(duì)于B選項(xiàng)，由，不能得到，故不滿(mǎn)足；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，成立，故滿(mǎn)足題意；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，成立，故滿(mǎn)足題意；綜上，CD是，的必要條件.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查必要條件的概念，是基礎(chǔ)題.10．下列論述中，正確的有（

）A．正切函數(shù)的定義域?yàn)锽．若是第一象限角，則是第一或第三象限角C．第一象限的角一定是銳角D．圓心角為且半徑為2的扇形面積是10．BD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)象限角的定義判斷B，C，根據(jù)扇形面積公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：正切函數(shù)的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若是第一象限角，則，可得，所以表示第一或第三象限角，故B正確；對(duì)于C：是第一象限角，但不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：圓心角為且半徑為2的扇形面積，故D正確．故選：BD．11．形如的函數(shù)，我們稱(chēng)之為“對(duì)勾函數(shù)”.“對(duì)勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值可以是（

）A．4 B．12 C． D．11．AD【分析】依題意得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的最值，即可得到方程，解得即可.【詳解】依題意可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，，所以，解得；若，即時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，，所以，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，若且，即，，所以，解得或（舍去）；若且，即，，所以，解得或（舍去）；綜上可得或.故選：AD12．雙曲函數(shù)是數(shù)學(xué)中一類(lèi)非常重要的函數(shù)，其中就包括雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．下列關(guān)于與說(shuō)法正確的是（

）A．與在上均為增函數(shù)B．與的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．，都有D．，都有12．AC【分析】對(duì)于A，利用單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于B，通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性求解；對(duì)于C，直接計(jì)算即可；對(duì)于D，由前面的判斷可知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以構(gòu)造函數(shù)在上為增函數(shù)，然后利用零點(diǎn)存在性定理可得，使得，從而可進(jìn)行判斷【詳解】選項(xiàng)A，設(shè)，則，，，，，，即，在上為增函數(shù)．同理可知在上也為增函數(shù)，故正確；選項(xiàng)B，兩函數(shù)定義域都為，且，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，故正確；選項(xiàng)D，由選項(xiàng)，可知與在上均為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)．又由選項(xiàng)B可知，為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)．在上為增函數(shù)．，，，，使得，即，使得，故錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題13．，，，則的最小值是________.13．【答案】【解析】【分析】利用“乘法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】∵，且，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．∴的最小值為．14．已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．【分析】由題意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以只要，即，得或，所以的取值范圍?15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，那么的一個(gè)取值可以是.（答案不唯一）15．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，有可得：，于是有：或，解得：，當(dāng)時(shí)，有可得：，于是有或，解得：，顯然的一個(gè)取值可以是，故答案為：.16．對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，定義．其中常數(shù)，“”是實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，若，則；若，與都是集合中的元素，則．16．//1.125//2.5【分析】根據(jù)給定的定義直接計(jì)算可得，再由給定的計(jì)算結(jié)果所屬集合，推理求解作答.【詳解】因任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，定義，則，解得，滿(mǎn)足，所以；因，與都是集合中的元素，則有，，因此，即，則，，所以.故答案為：；四、解答題17．計(jì)算：(1)；(2)計(jì)算：.【詳解】（1）原式.18.已知函數(shù)．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；【答案】（1）1（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，極小值為0，極大值為.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，求出即為切線斜率；（2）求導(dǎo)，列出表格，得到單調(diào)區(qū)間和極值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因此曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線的斜率為1；【小問(wèn)2詳解】令，解得：x=0或2．x02－0+0－↘極小值↗極大值↘所以f（x）在，內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．19．已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若關(guān)于不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】（I）直接解不等式得解集；（II）對(duì)分類(lèi)討論解不等式分析找到滿(mǎn)足的不等式，解不等式即得解.【詳解】（I）當(dāng)時(shí)，不等式為，不等式的解集為，所以不等式的解集為；（II）原不等式可化為，①當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為，不滿(mǎn)足題意；②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，所以；③當(dāng)，即時(shí)，，所以只需，解得；綜上所述，，或.20．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸的合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的值：(2)求的值.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可列式計(jì)算求得，即可求得答案.（2）利用誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，將代入，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，故，解得，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，即.（2）,故時(shí)，，時(shí)，.21．（本小題滿(mǎn)分12分）黨的二十大報(bào)告強(qiáng)調(diào)，要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)、數(shù)字中國(guó)．專(zhuān)家稱(chēng)數(shù)字交通讓出行更智能、安全、舒適．研究某市場(chǎng)交通中，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以時(shí)間，車(chē)輛密度是該路段一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以該路段的長(zhǎng)度，現(xiàn)定義交通流量為，x為道路密度，q為車(chē)輛密度，已知當(dāng)?shù)缆访芏葧r(shí)，交通流量，其中．（1）求a的值；（2）若交通流量，求道路密度x的取值范圍；（3）求車(chē)輛密度q的最大值．21、（1）解：依題意，，即，故正數(shù),所以，a的值為.（2）解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，F(xiàn)最大為，故的解集為空集；當(dāng)時(shí)，由，解得，即所以，交通流量，道路密度x的取值范圍為．（3）解：依題意，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于，所以，當(dāng)時(shí)，q取得最大值．因?yàn)?/p>