初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)研究

初中數(shù)學(xué)”統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)研究

俞京寧(中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，教研員)

各位老師，大家好！

今天我們討論的話題是初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)研究與案例評(píng)析.可能一聽

到這個(gè)話題，您就感到既親切又輕松，親切是因?yàn)樵诂F(xiàn)代社會(huì)，離不開數(shù)據(jù)，我們在生活中

時(shí)時(shí)、處處都與數(shù)據(jù)打交道，比如您去超市購物，需要考慮所購物品的大致費(fèi)用；您在教學(xué)

中要了解學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，以便分析教與學(xué)的情況等等，我們需要從數(shù)據(jù)中獲得對(duì)自己有幫

助的東西；輕松是因?yàn)閷W(xué)生自小學(xué)甚至幼兒園就開始接觸并不斷學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的基

本知識(shí)比較熟悉，所以學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容，障礙較少，而且由于這部分內(nèi)容與生活密切聯(lián)系，

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也比較容易激發(fā)。但恰恰是這些原因以及中考對(duì)這部分的要求不是很高，容

易造成部分教師對(duì)這部分內(nèi)容的輕視，認(rèn)為了解?下就行.其實(shí)統(tǒng)計(jì)與概率作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的

一部分，有著重要的意義，再有基于在這部分的教學(xué)中存在許多問題，所以作為教師我們有

必要將初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)內(nèi)容做進(jìn)一步研究，澄清認(rèn)識(shí)的同時(shí)，能夠做到引

起學(xué)生的重視，使他們在日常的學(xué)習(xí)生活中能自覺的使用數(shù)據(jù)說話。

一、對(duì)初中“統(tǒng)計(jì)與概率”數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解

(-)統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

簡單的說，統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象是數(shù)據(jù)，我們通過數(shù)據(jù)的收集、整理、描述加以分析，最

終對(duì)所研究的問題作HI決策;而概率是對(duì)我們所關(guān)注的不確定事件通過計(jì)算的方法獲取其發(fā)

生可能性的大小或者根據(jù)需要設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)。

從統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)在的知識(shí)體系看，概率是統(tǒng)計(jì)學(xué)的有機(jī)組成部分，在數(shù)據(jù)的分析階段，可

以利用概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論，根據(jù)結(jié)論進(jìn)行預(yù)測或判斷。因此，在初中階

段，可以把概率看成是統(tǒng)計(jì)過程的一個(gè)階段。

（二）統(tǒng)計(jì)與概率在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位與作用

我們先了解一下統(tǒng)計(jì)的背景。嚴(yán)格的說，有兩類統(tǒng)計(jì)學(xué)。

第?類叫描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)。舉個(gè)例子，要知道某個(gè)班的成績的基本情況，就要知道這個(gè)

班里每一個(gè)人、每一個(gè)學(xué)科的成績，和有關(guān)成績的所有情況，作為分析的基礎(chǔ)，然后利用平

均分、方差等等進(jìn)一步定量分析，通常把這樣的一種研究數(shù)據(jù)的方法，稱之為描述性統(tǒng)計(jì)學(xué),

很多領(lǐng)域都用描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)。

第二類叫推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)，數(shù)學(xué)上稱之為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，一個(gè)非常重要的

環(huán)節(jié)，就是要做抽樣，要用樣本來反映整體的情況。例如要了解全國中學(xué)生每天體育鍛煉的

時(shí)間，不必調(diào)查到所有中學(xué)生的鍛煉時(shí)間，只需要在不同區(qū)域選擇部分學(xué)校的部分學(xué)生進(jìn)行

調(diào)查即可。

所以，對(duì)這兩種不同的統(tǒng)計(jì)學(xué)，我們要有一個(gè)基本的了解。在初中階段，希望老師能

夠引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用統(tǒng)計(jì)解決問題的基本過程：從數(shù)據(jù)的收集到數(shù)據(jù)的衰示，比如用各種圖

表來呈現(xiàn)出這些數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，再比如要計(jì)算一些（測程）值，平均值,

方差，中位數(shù)等，這個(gè)過程是非常重要的。

為什么要研究這個(gè)過程？是希望能從這些數(shù)據(jù)中挖掘出有用的東西，來幫助我們解決

問題，比如剛才提到的比較兩個(gè)班的學(xué)習(xí)成績，就是要看能給提供什么樣的信息，以幫助我

們有針對(duì)性的改進(jìn)教學(xué)。

再有合情推理與演繹推理這兩種思想在統(tǒng)計(jì)過程中得到了非常好的體現(xiàn)，他們在整個(gè)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都很重要。目前，在統(tǒng)計(jì)的執(zhí)筆測試中，對(duì)這部分內(nèi)容的要求并不是很高，而

是越來越側(cè)重怎么樣從數(shù)據(jù)出發(fā)去學(xué)。所以，要幫助學(xué)生體會(huì)這樣一個(gè)過程。統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容并

不多，但是它的重要程度并不小，對(duì)將來學(xué)生進(jìn)入社會(huì)以后的作用不可低估。

概率是概率論的原始概念，它是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量。在概率論中，

人們總是通過研究隨機(jī)試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的。所以，探討隨機(jī)現(xiàn)象中隱藏的規(guī)律，實(shí)際上

就是探求隨機(jī)試驗(yàn)的規(guī)律。

統(tǒng)計(jì)與概率所提供的這種“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)一種普

遍適用并且強(qiáng)有力的思維方式。這一部分知識(shí)是最接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的。因?yàn)樵谖覀兩钪信c數(shù)

學(xué)相關(guān)的知識(shí)大部分是無法用具體的表達(dá)式來刻回，而統(tǒng)計(jì)學(xué)恰恰解決了難于用簡潔的語言

來刻畫數(shù)學(xué)模型的問題。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“統(tǒng)計(jì)與概率”單獨(dú)作為一塊內(nèi)容，是因?yàn)樗膶?shí)用價(jià)值和教育

意義。義務(wù)教育階段，通過概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟悉統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想

方法，以隨機(jī)的觀點(diǎn)來理解現(xiàn)實(shí)世界。在面對(duì)大量數(shù)據(jù)和不確定情境時(shí)，能夠制定較為合

理的決策，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，養(yǎng)成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。不

僅如此，讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象也有助于形成科學(xué)的世界觀和方法論。

1.從《新課程標(biāo)準(zhǔn)》看

統(tǒng)計(jì)與概率的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、

繪制統(tǒng)計(jì)圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提

取信息并進(jìn)行簡單的推斷；簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分

析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。

2.從《考試說明》看

2012年考試說明中提出“數(shù)學(xué)學(xué)科中考注重考查統(tǒng)計(jì)觀念"，其中對(duì)“根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)

果作出合理的判斷和預(yù)測，并能比較清晰地表達(dá)”、“能利用統(tǒng)計(jì)圖表解決簡單的實(shí)際

問題”提出了較高要求。

3.從生活、學(xué)習(xí)需求看

前面已經(jīng)說過，在我們的生活中離不開數(shù)據(jù)，需要從數(shù)據(jù)中獲得對(duì)自己有幫助的東西,

而學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容是為了在生活中更好的利用數(shù)據(jù)為我們服務(wù)。

所以，無論從哪個(gè)角度看，這部分的內(nèi)容都十分重要。

（三）切實(shí)把握課標(biāo)中對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)要求

新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的要求如下：

1.經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計(jì)算器處理

較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)。

2.體會(huì)抽樣的必要性，通過案例了解簡單隨機(jī)抽樣。

3.會(huì)制作扇形統(tǒng)計(jì)圖，能用統(tǒng)計(jì)圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)。

4.理解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢

的描述。

5.體會(huì)刻畫數(shù)據(jù)離中程度的意義，會(huì)計(jì)算簡單數(shù)據(jù)的方差。

6.通過實(shí)例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋

數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的信息。

7.體會(huì)樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體

方差。

8.能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果作出簡單的判斷和預(yù)測，并能進(jìn)行交流。

9.通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢。

10.能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件

發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。

11.知道通過大量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計(jì)概率。

課標(biāo)對(duì)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要求多為“經(jīng)歷”“體會(huì)”“了解”等，這些就提示我們對(duì)于統(tǒng)計(jì)

的教學(xué)要設(shè)置合理的教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生親自參與到全面調(diào)查或者抽樣調(diào)查的過程中，能夠用

適合的方法收集數(shù)據(jù)，并且將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎緮?shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上利用

相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對(duì)統(tǒng)計(jì)問題作出簡單的判斷與預(yù)測。對(duì)于概率的教學(xué)，在體會(huì)

隨機(jī)性的過程中，會(huì)用列舉法求簡單隨機(jī)事件的概率（所涉及的古典概率，不需要用到排

列組合），以及了解概率的統(tǒng)計(jì)定義。這兩部分教學(xué)要依據(jù)課標(biāo)要求，重在經(jīng)歷、體會(huì)。

不可省去過程，直接進(jìn)入到公式的計(jì)算或圖表的分析。

（四）“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)研究的對(duì)象、研究的思路與方式、以及獲得的研究結(jié)論的性質(zhì)，都與過

去學(xué)生所接觸到的數(shù)學(xué)內(nèi)容有根本的不同。

以往學(xué)的代數(shù)、幾何屬于“確定性”數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)時(shí)主要依賴邏輯思維和演繹的方法，

它們在培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯思維能力和空間觀念方面發(fā)揮著重要作用。而統(tǒng)計(jì)與概率

屬于“不確定性”數(shù)學(xué)，要尋找隨機(jī)性中的規(guī)律性，學(xué)習(xí)時(shí)主要依靠辨證思維和歸納的方法,

它在培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和合作精神等方面更直接、更有效。具體從以下三個(gè)方面對(duì)比：

1.研究對(duì)象不同

由對(duì)確定性現(xiàn)象的研究變?yōu)閷?duì)不確定性現(xiàn)象的研究。對(duì)于不確定性的現(xiàn)象本身來講，

又有兩種情況：

拋擲一枚硬幣，我們不能確定是國徽面還是幣值面朝上，但可以確定“非此即彼”，

不存在“亦此亦彼”的問題，即這是一種結(jié)果出現(xiàn)的偶然性（又叫隨機(jī)性）問題。偶然

性是與必然性相對(duì)應(yīng)的。偶然性刻畫的是認(rèn)知對(duì)象出現(xiàn)（內(nèi)外）條件方面的不確定性，而關(guān)

于認(rèn)知對(duì)象本身在類屬和性態(tài)方面的定義是完全確定的。

統(tǒng)計(jì)與概率研究的對(duì)象具有不確定性，但不確定性現(xiàn)象并不都是統(tǒng)計(jì)與概率研究的對(duì)

象。例如“兩個(gè)人長得像”的現(xiàn)象也是不確定的，它是一種更復(fù)雜的不確定性，我們把它

稱為模糊性。不確定性的隨機(jī)性與模糊性是有區(qū)別的：隨機(jī)性的不確定，反映在某事件是否

發(fā)生，判據(jù)是明確的：模糊性的不確定，反映在事件本身的涵義上，判據(jù)不分明。統(tǒng)計(jì)與概

率研究的是前者；后者是模糊數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容。

2.研究的思路與方式不同

數(shù)學(xué)在研究確定性現(xiàn)象過程中所用的科學(xué)推理方式基本上屬于演繹推理的方式，由--

般到特殊；而統(tǒng)計(jì)學(xué)在研究不確定性現(xiàn)象時(shí)，由樣本推斷總體，使用的是歸納推理，而且很

多時(shí)候是不完全歸納推理。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)研究所獲得的結(jié)果不像以往學(xué)生學(xué)習(xí)的用演繹推理

所獲得的結(jié)果那樣“確定無疑”。

3.所獲得的結(jié)果不同

統(tǒng)計(jì)學(xué)所得到并予以接受的結(jié)果主要是局部的、歸納性的；而以往在確定性數(shù)學(xué)的學(xué)

習(xí)過程中，得到的經(jīng)常是較為一般性的、演繹的結(jié)果。

這些差異的存在，都會(huì)造成學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率過程中的困難。

所以，“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)應(yīng)該是使學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)的思想和方法以及

概率的意義，突出其應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力。而在實(shí)際

教學(xué)中，教師們更偏重于如何計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量，使得學(xué)生只會(huì)算，對(duì)其意義的理解不夠，有

的甚至對(duì)所列算式說不出根據(jù)。

二、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的教學(xué)策略

(-)把握學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的認(rèn)知基礎(chǔ)，遵循“最近發(fā)展區(qū)原則”

由于統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容從小學(xué)到初、高中，均有涉及，遵循新教材逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上

升的編寫原則，山淺入深、山感性到理性，要求學(xué)生逐步掌握統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)內(nèi)容并能

應(yīng)用他們解決一些實(shí)際問題。所以，作為初中階段的教學(xué)，我們有必要了解新課程標(biāo)準(zhǔn)中初

中和小學(xué)對(duì)這部分的教學(xué)要求。

小學(xué)階段對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求：分1-3,4-6兩個(gè)學(xué)段，學(xué)生經(jīng)歷簡單的數(shù)

據(jù)統(tǒng)計(jì)過程，學(xué)習(xí)收集、整理和描述數(shù)據(jù)的方法，并能夠根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果作出簡單的判

斷與預(yù)測；體會(huì)事件發(fā)生可能性的含義，并能計(jì)算一些簡單事件發(fā)生的可能性。

初中階段對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求：體會(huì)抽樣的必要性以及用樣本估計(jì)總體的思

想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進(jìn)一步體會(huì)概率的意義，能計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率，具

體的對(duì)比分析如下表。

初中、小學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)目標(biāo)對(duì)比表

內(nèi)容小學(xué)初中區(qū)別

統(tǒng)計(jì)的過經(jīng)歷簡單的收集、整理、從事收集、整理、描述和從“經(jīng)歷”與“從事”這

程描述和分析數(shù)據(jù)的過程分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)，能用計(jì)兩個(gè)動(dòng)詞中可以看出：小

(必要時(shí)可使用計(jì)算算器處理較為復(fù)雜的統(tǒng)學(xué)是在教師的引導(dǎo)下參與

器)。計(jì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的全過程，面對(duì)的問

題比較簡單；而初中更

多的是學(xué)生獨(dú)立從事統(tǒng)計(jì)

的全過程，面對(duì)的統(tǒng)計(jì)問

題比小學(xué)的稍微復(fù)雜一

些。

統(tǒng)計(jì)圖認(rèn)識(shí)條形統(tǒng)計(jì)圖、折線會(huì)用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)初中在小學(xué)的基礎(chǔ)上，進(jìn)

統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖；據(jù)；一步學(xué)習(xí)各種統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)

根據(jù)需要，選擇條形統(tǒng)用，此外增加了畫頻數(shù)分

會(huì)列頻數(shù)分布表，畫頻數(shù)

計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖直觀、布直方圖和頻數(shù)折線圖。

分布直方圖和頻數(shù)折線

有效地表示數(shù)據(jù)。所以，還要弄清頻數(shù)分布

圖。

直方圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的區(qū)

別。

統(tǒng)計(jì)量理解并會(huì)求數(shù)據(jù)的平均會(huì)計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，會(huì)計(jì)對(duì)于描述數(shù)據(jù)集中趨勢的

數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。算極差和方差，并會(huì)用它三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法沒

們表示數(shù)據(jù)的離散程度變，只是數(shù)據(jù)山非負(fù)數(shù)擴(kuò)

充到實(shí)數(shù)；進(jìn)一步學(xué)習(xí)加

權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法；還

增加了刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)情況

的極差與方差。

調(diào)查方法全面調(diào)查抽樣調(diào)查：用樣本估計(jì)總初中增加了樣本、總體等

體新的概念;要求學(xué)生體會(huì)

用樣本估計(jì)總體的思想以

及感受抽樣的必要性，體

會(huì)不同的抽樣可能得到不

同的結(jié)果。

概率的定可能性了解概率的意義小學(xué)沒出現(xiàn)概率的定義，

義只提出“事件的可能性”，

初中在此基礎(chǔ)上給出概率

的定義，并介紹了概率的

統(tǒng)計(jì)定義

概率的求體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能運(yùn)用列舉法（包括列表、對(duì)于結(jié)果具有等可能性事

法性，會(huì)求一些簡單事件畫樹狀圖）計(jì)算簡單事件件的概率計(jì)算，初中在小

發(fā)生的可能性。發(fā)生的概率；知道大量重學(xué)基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用列表、

復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事畫樹狀圖計(jì)算簡單事件發(fā)

件發(fā)生概率的估計(jì)值。生的概率；還需要了解結(jié)

果不具有等可能事件的概

率求法，即用頻率估計(jì)概

率的方法。

通過對(duì)比初中、小學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們可以感受到：初中的部分學(xué)習(xí)內(nèi)容是在小學(xué)基

礎(chǔ)匕進(jìn)一步加深與擴(kuò)充，在教學(xué)時(shí)，對(duì)于學(xué)生已有知識(shí)不適宜作為新課講解，要抓住中小學(xué)

的區(qū)別，創(chuàng)設(shè)合適的情境，使學(xué)生在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上鞏固深化，加深對(duì)知識(shí)的理解以及增強(qiáng)應(yīng)

用意識(shí)。

還有一些內(nèi)容，是初中新增內(nèi)容，重點(diǎn)體現(xiàn)在增加了數(shù)據(jù)表示的方法以及分析的方法,

再有概率部分對(duì)隨機(jī)性的理解要求加強(qiáng)了。其中的大部分概念，學(xué)生理解不是特別困難，但

對(duì)于這兩部分蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)思想和概率觀點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)感到困難。

了解了以上的中小學(xué)差異，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)就可以建立在學(xué)生已有知識(shí)水平的基礎(chǔ)上，增

強(qiáng)針對(duì)性，否則容易出現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)低于學(xué)生認(rèn)知水平或遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于學(xué)生能力的現(xiàn)象。

例如關(guān)于“確定事件與不確定事件”的教學(xué)，有的教師采用實(shí)驗(yàn)的方法，設(shè)計(jì)一個(gè)情

境：“某大型游樂園，有一個(gè)摸獎(jiǎng)的娛樂項(xiàng)目。摸獎(jiǎng)的規(guī)則是：每一位持有游樂園門票的游

人，都有次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)。在裝有十個(gè)紅球的盒子、裝有十個(gè)白球的盒子以及裝有五個(gè)紅球五

個(gè)白球的盒子中任選一個(gè)，摸到紅球有獎(jiǎng)，摸到白球沒有獎(jiǎng)。如果你手持門票參與游戲，你

一定能獲獎(jiǎng)嗎？”呈現(xiàn)問題后讓全班討論，哪一個(gè)盒子一定能摸到紅球？之后請(qǐng)三位同學(xué)分

別到講臺(tái)前參與游戲，其他學(xué)生展開想象，他們可能摸到紅球嗎？用''一定”“不可能”“可

能”來描述摸球試驗(yàn)的結(jié)論，繼而舉出生活中的例子。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步體會(huì)感知事件的發(fā)

生是“一定”、“不可能”、還是“可能”。接著給出想一想，判斷下列事件哪些是確定的？

哪些是不確定的？（1）太陽每天從東邊升起；（2）明天一定下雨；（3）擲硬幣一定國

徽面朝上等等。最終給出定義：必然事件：有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生（一定發(fā)

生）。不可能事件：有些事情我們事先能肯定它-,定不會(huì)發(fā)生（不可能發(fā)生）。必然事件、

不可能事件稱為確定事件。不確定事件：有些事情我們事先無法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生（不一定

發(fā)生）。

事實(shí)上，這堂課學(xué)生最終學(xué)會(huì)的是什么。一是必然事件發(fā)生了，二是不可能事件沒

有發(fā)生，三是可能性事件不一定發(fā)生。我認(rèn)為這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)的效率比較低。關(guān)于什么叫必

然事件，什么叫不可能事件，什么叫隨機(jī)事件，特別是必然、不可能事件，對(duì)于學(xué)生來說,

應(yīng)該是沒有太大的困難的?；ㄟ@么長的時(shí)間來講必然事件，忽視了小學(xué)生都已經(jīng)能夠懂得，

在全是白球的盒里摸，肯定不能中獎(jiǎng)；全是紅的肯定中獎(jiǎng)，在中學(xué)花堂課來講，效率就比

較低了。一旦效率比較低的話，學(xué)生就沒有學(xué)習(xí)的興趣了，因?yàn)樗茉缇椭来鸢噶?。這時(shí)

的動(dòng)手操作沒有太大的挑戰(zhàn)性，中學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣沒有被真正激發(fā)起來。?開始強(qiáng)調(diào)在相同

條件下的必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件是什么要告訴學(xué)生，但是用不著花這么多的時(shí)間

來區(qū)分這些事件。重要的應(yīng)講清什么是隨機(jī)事件。一定是在相同條件下，可以重復(fù)實(shí)驗(yàn)下，

可能發(fā)生可能不發(fā)生的?？梢栽O(shè)計(jì)一些問題來讓學(xué)生區(qū)分，不是在相同條件下的情形不確定

的事件；不能重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情形等等。

造成課堂教學(xué)效率低下的原因，可能是新增內(nèi)容的教學(xué)資源比較缺乏。我們應(yīng)將重點(diǎn)

放在通過更多的例子，讓學(xué)生來區(qū)分這種偶然性，隨機(jī)性是什么。如果把必然事件，不可能

事件和隨機(jī)事件放在同等重要地位的話，就沒有突出這堂課的重點(diǎn)。整堂課上下來之后，學(xué)

生就會(huì)沒有覺得很多的新知，沒有挑戰(zhàn)，容易產(chǎn)生乏味，沒有興趣。事實(shí)上，初中學(xué)生的能

力水平，可以講得更多一些，突出統(tǒng)計(jì)和概率所研究的隨機(jī)現(xiàn)象的這種偶然性，它是怎么發(fā)

生的，這個(gè)隨機(jī)性具有什么樣的特征。應(yīng)該把整堂課的教學(xué)的重點(diǎn)放在這個(gè)可能性事件，怎

么去刻畫和描述上。

例如：郵遞員投信的問題。就是人們寫信后，忘了在信封上寫地址，就把信投到信筒

里了.但是，剛?cè)舆M(jìn)去，就立刻警覺了。等著那個(gè)開信箱的郵遞員來。郵遞員來開信箱后，

發(fā)現(xiàn)這種信封中有信，而信封上沒寫地址的不止一個(gè)。不能區(qū)分哪個(gè)是你所投的那個(gè)。后來,

人們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象有很強(qiáng)的頻率穩(wěn)定性，它大概穩(wěn)定在百萬分之二十七左右。一個(gè)數(shù)據(jù)是俄

國數(shù)學(xué)家統(tǒng)計(jì)的，從1906年到1910年五年期間，這五年中有三年是百萬分之二十五，兩

年是百萬分之二十七。這樣一個(gè)許多人覺得沒有任何規(guī)律的東西,它也能出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性。

多舉一些這樣的例子，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到隨機(jī)現(xiàn)象穩(wěn)定性的特征，比起僅讓學(xué)生討論比如

說，太陽升起、明天是否會(huì)下雨等太過簡單的例子，更有深刻性、更突出所要學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)與

概率的本質(zhì)。教學(xué)的重點(diǎn)，應(yīng)該是隨機(jī)現(xiàn)象的理解上。

另外，在中學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)過程中，不要讓學(xué)生去背一些像定義一樣的東西。比

如說，像必然事件，不可能事件，學(xué)生能理解，它又不是一個(gè)非常嚴(yán)格的數(shù)學(xué)上的定義。學(xué)

生只要了解它，就行了。沒有必要把學(xué)生都懂的東西，一定要把它用一個(gè)定義的情形來描述

一下。數(shù)學(xué)定義要求總要用另一個(gè)詞來定義它，這是一個(gè)沒完沒了的東西，過分追求定義的

嚴(yán)謹(jǐn)性就不好了。學(xué)生用已有的一些樸素概念，可以很明白地進(jìn)一步學(xué)習(xí)。如果用抽象的定

義來學(xué)習(xí)，學(xué)生反而更糊涂了。像現(xiàn)在概率教材里，有時(shí)候?qū)?shí)驗(yàn)下定義。什么叫實(shí)驗(yàn)，條

件出現(xiàn)一次叫做條件實(shí)現(xiàn)一次，叫做一次實(shí)驗(yàn)。那么這比實(shí)驗(yàn)還難懂。什么叫條件，什么叫

實(shí)驗(yàn)一次。這就是我們一定要定義，反而使學(xué)生感到更困惑了。所以，樸素的概念只要學(xué)生

理解，不失科學(xué)性，不失真實(shí)性，我們還是盡量讓學(xué)生從更自然的角度上去接受，這樣更有

助于進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。

（二）使學(xué)生在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過程中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)

學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中，潛在地存在統(tǒng)計(jì)意識(shí)。比如每年的聯(lián)歡會(huì)在采購前，生活委員一

定會(huì)調(diào)查同學(xué)的喜好，然后結(jié)合大多數(shù)同學(xué)的愛好進(jìn)行采購。我們教學(xué)的重點(diǎn)是幫助學(xué)生挖

掘這種潛意識(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)的從統(tǒng)計(jì)的角度思考有關(guān)問題，也就是當(dāng)遇到有關(guān)問題

時(shí)能想到去收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。

觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷。要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計(jì)觀念，最有效的方法是讓他

們真正投入到統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過程中去：提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決

策，進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn)。在參與活動(dòng)中學(xué)會(huì)統(tǒng)計(jì)方法，滲透統(tǒng)計(jì)思想。從另一個(gè)角

度看，數(shù)學(xué)的發(fā)展往往也經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程，首先是問題的提出，然后是收集與這個(gè)問題

相關(guān)的信息并進(jìn)行整理，再根據(jù)這些信息做出一些判斷以解釋或解決開始提出的問題。提出

問題這點(diǎn)特別重要，沒有目的的問題，比如老師讓學(xué)生來數(shù)一數(shù)有班里有幾個(gè)人，年級(jí)有幾

位教師等，這樣的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)在學(xué)生心里會(huì)留下什么？問題的提出，要考慮學(xué)生的興趣，使他

樂于參與，而且應(yīng)該有利于教師的學(xué)科寓教。例如，我們可以開展豐富多彩的問題調(diào)查活

動(dòng)，如調(diào)查初中生的最喜愛的課外活動(dòng)、最愛看的書、最喜歡的人物、最喜歡的科目等等，

也可以調(diào)查現(xiàn)階段學(xué)生的理想等。此外，調(diào)查的問題還可以從報(bào)刊雜志、電視廣播、網(wǎng)絡(luò)等

多方面尋找素材，但是要引導(dǎo)學(xué)生注意以上渠道提供的數(shù)據(jù)，其來源是否可靠、合理？利用

合理的調(diào)查素材，使學(xué)生在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)的同時(shí)，將統(tǒng)計(jì)作為了解社會(huì)的一個(gè)重要手段，提

高他們分析問題解決問題的能力，更好的認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)社會(huì)，同時(shí)能理智的看待新聞媒介、廣告

等公布的數(shù)據(jù)，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的許多事情形成自己的看法。

愛因斯坦說過：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗(yàn)世界的知識(shí)，現(xiàn)實(shí)世界的一

切知識(shí)是始于經(jīng)驗(yàn)并終于經(jīng)驗(yàn)的?！苯?jīng)驗(yàn)性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，

這種活動(dòng)將有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神。

例如，在“數(shù)據(jù)的收集與整理”一節(jié)課的設(shè)計(jì)中，有的教師結(jié)合2008年北京奧運(yùn)會(huì)在

班中開展了關(guān)于金牌數(shù)目猜想的調(diào)查，沒想到學(xué)生的積極性特別的高，學(xué)生以小組為單位，

查閱歷史資料，不僅查閱了歷屆各國金牌的數(shù)目，居然還對(duì)可能獲金牌的選手的近況進(jìn)行分

析，調(diào)查的對(duì)象涉及家人、同學(xué)、教師等，然后將收集的數(shù)據(jù)選用合適的統(tǒng)計(jì)圖表示出來，

在此基礎(chǔ)上對(duì)08年中國奧運(yùn)金牌數(shù)進(jìn)行預(yù)測。在這個(gè)過程中，可以看出初中教材中許多統(tǒng)

計(jì)的內(nèi)容是不需要教師講的，而是學(xué)生在實(shí)際問題的解決中根據(jù)需要自己很容易獲得的，而

且這種根據(jù)自身需要獲得的知識(shí)是不容易遺忘的。所以，在這部分教學(xué)中，教師一定要給學(xué)

生展示的機(jī)會(huì)，在學(xué)生最需要教師的地方，我們再扶他們一把，千萬不能把學(xué)生已會(huì)的和不

會(huì)的一股腦當(dāng)做新知教給他們，這樣將會(huì)扼殺學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造力。

總之，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，一定要注意讓學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)的全過程。不僅要收集數(shù)據(jù)、填寫

統(tǒng)計(jì)表，繪制統(tǒng)計(jì)圖、計(jì)算數(shù)據(jù)，而且感受統(tǒng)計(jì)圖表的作用，并從中得出相關(guān)的結(jié)論。

（三）創(chuàng)設(shè)合理的現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生在其中體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的影響

要培養(yǎng)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)的角度思考問題的意識(shí)，重要的途徑就是要在教學(xué)中結(jié)合生活實(shí)例

展示統(tǒng)計(jì)的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生在親身經(jīng)歷解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用。

例如：“極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差”教學(xué)設(shè)計(jì)

教師引言：剛剛結(jié)束的08北京奧運(yùn)會(huì)我國取得了驕人的成績，以51金榮登奧運(yùn)金牌

榜首.這包含了奧運(yùn)健兒的血與汗，同時(shí)，我們也不得不佩服我國的教練，是他們慧眼識(shí)英

才，選出了每個(gè)項(xiàng)目的精英。就拿射擊冠軍杜麗來說吧，隊(duì)里有很多人也很有實(shí)力，可教練

憑什么選中她呢？除了個(gè)人素質(zhì)外，還要經(jīng)過層層比賽進(jìn)行選拔，下表是杜麗與隊(duì)友武柳希

的一次預(yù)賽射擊成績。

（播放圖片一，同時(shí)教師提出問題）

順序

12345678910

環(huán)數(shù)

杜麗8.510.010.89.910.010.010.010.310.210.3

武柳希9.010.79.210.010.69.410.510.810.09.8

通過表中數(shù)據(jù)，你能運(yùn)用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)說明她們的教練王躍舫選擇杜麗上場的原

因嗎？

學(xué)生借助計(jì)算器，利用已學(xué)統(tǒng)計(jì)量（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)）進(jìn)行分析?？梢缘玫?

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

杜麗10.010.010.0

武柳希10.010.010.0

從這三個(gè)量來看，她們的成績一樣.這可怎么辦呢？教練是以什么為依據(jù)選拔的？今

天我們來共同揭開謎底。

請(qǐng)大家繼續(xù)觀察表中數(shù)據(jù)，提出：我們還能從哪些方面來說明這兩個(gè)人射擊成績的差

異呢？啟發(fā)學(xué)生借助圖象直觀地比較.學(xué)生很快地能夠想到初一學(xué)過的刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)的折線

統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生動(dòng)手畫圖。

借助圖象直觀的觀察，感到二人10次成績均呈現(xiàn)上下波動(dòng)，且感覺杜麗的波動(dòng)較小

些，那么如何刻畫它們的波動(dòng)大小呢？以什么量為參照進(jìn)行分析更合理呢？

引導(dǎo)學(xué)生分析出，由于關(guān)注的是所有數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，而平均數(shù)是與所有數(shù)據(jù)有關(guān)的

量，表示所有數(shù)據(jù)的平均水平，所以選取平均數(shù)為參照更合適。要求學(xué)生在折線圖上畫出?

條表示平均數(shù)的水平直線，再觀察，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？借助圖象可以直觀的感受每組數(shù)據(jù)

與平均數(shù)的偏差有大有小。

那么如何從數(shù)量上得到兩組數(shù)據(jù)的差異？

學(xué)生思考后，進(jìn)行小組交流。有人提出：算出他們每個(gè)人的成績偏離平均數(shù)的差的平

均數(shù)。讓學(xué)生動(dòng)筆，得到0,為什么會(huì)這樣呢？請(qǐng)學(xué)生闡述原因（正負(fù)抵消）。

那么，有什么辦法克服正負(fù)抵消呢？聯(lián)系以前學(xué)過的知識(shí)思考一下，學(xué)生山數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)的距離，聯(lián)想到絕對(duì)值，讓他們動(dòng)筆操作計(jì)算，利用絕對(duì)值進(jìn)行比較。

杜麗:(|8.5—10|+|10.0-10|+,,-+|10.3-10()=0.32

武柳希：^(|9-10|+|10.7-10|+-+|9.8-10|)=0.52

計(jì)算結(jié)果說明什么呢？

因?yàn)?.32<0.52,所以杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均距離較小，也就是波動(dòng)小，

成績相對(duì)穩(wěn)定。

教師質(zhì)疑，為什么要取距離的平均數(shù)，只求和行不行？學(xué)生思考，并請(qǐng)他們舉例說明

(當(dāng)比較的兩組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不同時(shí)利用總和進(jìn)行比較就不合理了)。從而得到數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)

的平均距離：即每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值的平均數(shù)。

數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均距離的作用：反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小。

而平均距離與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，更全面地反映了數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，但計(jì)算時(shí)要取絕對(duì)

值，在以后的公式變形時(shí)不方便，所以統(tǒng)計(jì)中少用。

那么，還有什么辦法可以避免正負(fù)抵消呢？聯(lián)想已學(xué)的兩個(gè)非負(fù)數(shù)，除絕對(duì)值外還有

平方數(shù)，請(qǐng)學(xué)生嘗試用平方替代絕對(duì)值計(jì)算：

學(xué)生獨(dú)立完成后，組內(nèi)交流，并請(qǐng)??名學(xué)生板書過程。并闡述分析結(jié)果。

杜麗：白[(85-10)2+(10-10)2+--+(10.3-10):]=0.312

武柳希：\[(9.0-10)2+(10.7-10)2+…+(9.8-10)2]=0.378

因?yàn)?.312<0.378,所以杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均波動(dòng)較小，也就是成績相

對(duì)穩(wěn)定，所以比較后應(yīng)選杜麗。

請(qǐng)學(xué)生觀察式子運(yùn)算特征：

1.先求平均數(shù)；

2.再求數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和；

4.求平方和的平均數(shù)。

你能結(jié)合這個(gè)例子，完成下面的問題嗎？

設(shè)三是n個(gè)數(shù)據(jù)x1,…，xn的平均數(shù)，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),

叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的方差(variance),用“s?”表示。你能寫出s2M的計(jì)算公式嗎？

要求學(xué)生獨(dú)立完成。學(xué)生由特殊到??般歸納得到：

2222

S=l[(X1-X)+(X2-X)+...+(Xfl-X)]

n

分析方差公式的構(gòu)成。并請(qǐng)學(xué)生說出方差的作用：描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小(離散程度)。

即：方差的值越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越??；方差的值越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。也用他來描述數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)的情況，即刻畫離散程度。

請(qǐng)學(xué)生將新知識(shí)與已學(xué)平均數(shù)等統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行比較，得到：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描

述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。

注：這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)，比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小時(shí)，一般以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較

接近為前提。

請(qǐng)學(xué)生小試牛刀，感受新知的應(yīng)用。略。

這是一節(jié)極差、方差的概念形成課，教師注重從實(shí)際問題引入，讓學(xué)生站在問題的前

沿，引發(fā)他們的認(rèn)知沖突，激發(fā)他們的探究欲望。整個(gè)設(shè)計(jì)中，學(xué)生積極參與并深入到知識(shí)

的發(fā)生、發(fā)展、形成過程中，由教師設(shè)置的問題鏈引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、合作交流，不僅

從“形”的角度獲得感性認(rèn)識(shí)，而且從“數(shù)”的角度獲得理性認(rèn)識(shí)，在“數(shù)”與“形”

的有機(jī)結(jié)合中形成概念，突出本節(jié)課的重點(diǎn)。學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考，

同時(shí)獲得研究問題的方法，從而提高分析問題、解決問題的能力，從中體會(huì)收獲的喜悅，更

重要的是體會(huì)到統(tǒng)計(jì)在決策中的重要性。

此外，我們可以讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)商店一個(gè)月內(nèi)幾種商品的銷售情況，并對(duì)這個(gè)商店的進(jìn)貨

提出你的建議；全球水資源的匱乏的事實(shí)眾所周知，請(qǐng)學(xué)生對(duì)自家或?qū)W校的用水情況進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，并提出節(jié)水的合理化建議等等，讓學(xué)生對(duì)身邊他們感興趣的事情展開調(diào)查，并能夠結(jié)合

所得數(shù)據(jù)解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行簡單的判斷與預(yù)測，清晰的表達(dá)自己的觀點(diǎn)，能夠和

同伴交流，在解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，逐步樹立從統(tǒng)計(jì)的角度思考問題。

三、學(xué)生常見錯(cuò)誤與問題的分析與解決的策略方法

(-)統(tǒng)計(jì)就是套公式計(jì)算嗎？

學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念。而在學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)有怎樣的印象的調(diào)查

中，不少學(xué)生回答：“統(tǒng)計(jì)不就是套公式計(jì)算嗎！”

說明什么？說明對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)出現(xiàn)了偏差。我們的教學(xué)重視知識(shí)點(diǎn)的傳授，對(duì)統(tǒng)

計(jì)知識(shí)的考核也局限在知識(shí)點(diǎn)的考核。因此，不少教師在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中重結(jié)果輕過程，認(rèn)為

考試只考公式的應(yīng)用，所以只要背熟公式，會(huì)計(jì)算就可以了。重點(diǎn)放在有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算匕

學(xué)生沒有經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過程，難以形成正確的統(tǒng)計(jì)觀念。

事實(shí)上，各個(gè)概念的計(jì)算方法和計(jì)算公式，不是初中統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因?yàn)橛嘘P(guān)的計(jì)

算，基本上涉及到就是四則運(yùn)算，力口、減、乘、除，還有乘方，開方，這些計(jì)算方法在小學(xué)

已經(jīng)學(xué)習(xí)過，學(xué)生都已經(jīng)掌握，重要的是要讓學(xué)生理解，每一個(gè)概念的意義是什么。每一個(gè)

概念在實(shí)際使用過程當(dāng)中，有什么優(yōu)勢，有什么局限性。教學(xué)時(shí)要淡化統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算技巧，

突出統(tǒng)計(jì)量的特征和作用。不應(yīng)過多地關(guān)注計(jì)算，特別是花大量的時(shí)間教學(xué)生一些簡便算

法，比如說同加一個(gè)數(shù)同減一個(gè)數(shù)，最后算出來的方差是不變的，什么同乘一個(gè)數(shù)或同除一

個(gè)數(shù)，算完了以后，比如有小數(shù)點(diǎn)，先同乘100,然后把小數(shù)點(diǎn)沒了最后再除過去什么，在

這個(gè)算的技巧上下功夫下得太多，學(xué)生的注意力容易轉(zhuǎn)移，也偏離了教學(xué)的重點(diǎn)。其實(shí)這些

內(nèi)容不是重點(diǎn)，特別是有了計(jì)算器以后，這些內(nèi)容都不重要，重要的是注意讓學(xué)生弄清每

個(gè)統(tǒng)計(jì)量的含義及作用。作為概念課的教學(xué)，“概念產(chǎn)生背景的合理性和應(yīng)用性”是激發(fā)

學(xué)生自主學(xué)習(xí)新概念的突破口。所以要設(shè)置合理的問題情境，使每一個(gè)概念來源于生活，

反之應(yīng)用于生活，學(xué)生才能有比較深刻的體會(huì)。比如極差，是一組數(shù)據(jù)里最大的減最小的

形成的，它與方差相比，用的數(shù)據(jù)比較少，只用到兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)，所以它所提供的信息，

一般來說就沒有方差提供得好，因?yàn)樗阎虚g那些數(shù)據(jù)都給舍掉了。但它的好處就是簡單、

快，比如我們要了解一天之內(nèi)的溫差，用極差一下就把一組數(shù)據(jù)的范圍就確定下來了。所以，

我們要關(guān)注的這些數(shù)學(xué)概念的意義差別，它們的適用范圍，缺點(diǎn)，局限性，而不是在計(jì)算上,

下太大功夫。這樣也就不會(huì)出現(xiàn)“統(tǒng)計(jì)就是套公式計(jì)算”這種對(duì)統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)啦！

弄清統(tǒng)計(jì)量的意義的好處還體現(xiàn)在考試中，舉個(gè)例子：

2011年北京市中考題第7題：10名同學(xué)分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，它們的身高

(單位：cm)如下表所示：

隊(duì)員1隊(duì)員2隊(duì)員3隊(duì)員4隊(duì)員5

甲隊(duì)177176175172175

乙隊(duì)170175173174183

設(shè)兩隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)依次為石，石，身高的方差依次為w,W

下列關(guān)系中完全正確的是()。

(A)百=豆，S〉殳(B)豆，S/g

(C)鏟豆,S>W(D)S含殳

題目要求比較二人的平均數(shù)及方差。對(duì)于平均數(shù)，由于學(xué)生小學(xué)就非常熟悉，而且這

是一個(gè)生活中常用的概念，所以學(xué)生采用估值法或是直接計(jì)算等方法都很容易得到相等的結(jié)

論，而對(duì)于方差的比較，有的學(xué)生想用方差公式計(jì)算，但忘了公式或代入公式后計(jì)算有誤。

實(shí)質(zhì)上，只要明確方差的作用是刻畫數(shù)據(jù)的波動(dòng)狀態(tài)，認(rèn)真分析兩組數(shù)據(jù)，就很容易得到乙

隊(duì)的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，所以選B選項(xiàng)，根本不需要計(jì)算，省時(shí)、省力、還不容易出錯(cuò)。由此

可見教學(xué)中要讓學(xué)生弄清統(tǒng)計(jì)量的意義很重要。

(二)這樣抽樣合理嗎？

前面提到過，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的?個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，就是要做抽樣，要用樣本來反映整

體的情況。但是如何抽樣才能達(dá)到調(diào)查的目的，這是不少學(xué)生感覺困難的問題。比如某校

要了解初中學(xué)生課余體育鍛煉的時(shí)間，以便改進(jìn)集中體育活動(dòng)的時(shí)間，請(qǐng)學(xué)生做調(diào)查。有的

學(xué)生只在本班同學(xué)中逐調(diào)查；有的同學(xué)到操場上對(duì)部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；有的只調(diào)查了各年

級(jí)自己認(rèn)識(shí)的40多個(gè)同學(xué)…他們抽樣的結(jié)果能作為學(xué)校改進(jìn)活動(dòng)時(shí)間的依據(jù)嗎？顯然有

失偏頗，有的老師要求學(xué)生調(diào)查居住小區(qū)內(nèi)人們鍛煉情況，學(xué)生只考慮調(diào)查同齡人，或者只

調(diào)查晨練的老年人等等,肯定也不合理，那么抽樣的注意事項(xiàng)是什么呢？還以這個(gè)問題為例：

首先要根據(jù)學(xué)校的學(xué)生總數(shù)，確定樣本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，

費(fèi)時(shí)費(fèi)力；其次，要選擇調(diào)查的地點(diǎn)，應(yīng)盡可能涉及到各類學(xué)生，比如圖書館、運(yùn)動(dòng)場等，

僅在一個(gè)地方調(diào)查，很容易缺乏代表性，比如只選擇運(yùn)動(dòng)場，一定會(huì)得出結(jié)論，學(xué)生的每天

運(yùn)動(dòng)時(shí)間過長，反之，只在圖書館做調(diào)查，一定會(huì)得到鍛煉時(shí)間嚴(yán)重不足的結(jié)論。此外，還

要考慮到各年級(jí)的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)不同而導(dǎo)致業(yè)余時(shí)間不同，因此應(yīng)分年級(jí)調(diào)查等，可見，在抽樣

的過程中，要考慮的因素非常多，也比較復(fù)雜。初中階段讓學(xué)生明確取樣時(shí)要結(jié)合調(diào)查的目

的，確定調(diào)查對(duì)象以及調(diào)查方法，使之盡可能的具有代表性即可。

(三)頻率就是概率嗎？

教學(xué)中，經(jīng)常聽到學(xué)生這樣敘述：“頻率就是概率?！被蛘摺皩?shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻

率估計(jì)概率越準(zhǔn)確”。這樣的敘述準(zhǔn)確嗎？嚴(yán)密嗎？概率與頻率之間到底是什么樣的關(guān)系？

學(xué)生理解起來很困難。

首先，頻率不是概率，頻率和概率是兩個(gè)不同概念，頻率與實(shí)驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)，而頻率

的穩(wěn)定性又說明了概率是一個(gè)客觀存在的數(shù)，是隨機(jī)事件自身的一個(gè)屬性，它與實(shí)驗(yàn)次數(shù)

無關(guān)。雖然在概率計(jì)算中，我們一般用事件發(fā)生的頻率去代替概率，但這并不代表頻率就

是概率。它們二者之間的關(guān)系可以借助下面的例子來體會(huì):我們每個(gè)人都有一個(gè)確定的高度,

我們把它叫做“真實(shí)高度”，但在同一時(shí)刻用不同的量具去測量，總會(huì)有誤差，測得的數(shù)值

總是穩(wěn)定在你的“真實(shí)高度”的附近，而很難得到你的“真實(shí)高度”值。事實(shí)上，我們一般

就用測量所得的近似值去代替你的“真實(shí)高度”。只不過根據(jù)實(shí)際要求選擇精度不同的量具

罷了。這里你的“真實(shí)高度”與測得數(shù)值之間的關(guān)系完全等同概率與頻率之間的關(guān)系。

因此，頻率既有隨機(jī)性（每人每次實(shí)驗(yàn)都是變化的），又有規(guī)律性（也就是穩(wěn)定性），

即隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率，人們也就把頻率穩(wěn)定的中心值作為事件發(fā)生的概

率?于是我們可以說“頻率是概率的估計(jì)”、“頻率的穩(wěn)定值就是概率”，但不能說“頻率

的穩(wěn)定值是概率估計(jì)值”。頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)。

對(duì)概率與頻率的關(guān)系的認(rèn)識(shí)可以分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。

直觀認(rèn)識(shí)：概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是事件本身唯一確定的一個(gè)常數(shù)；頻

率反映在n次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個(gè)事件的概率較大，頻率也

較大，概率較小，頻率也較小。反之也對(duì)。

具體實(shí)驗(yàn)：通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增

多，頻率的波動(dòng)越來越小，逐漸穩(wěn)定在?個(gè)常數(shù)附近。但應(yīng)該認(rèn)識(shí)到頻率的不確定性，即當(dāng)

實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的波動(dòng)可能比較大。

精確刻畫：以擲硬幣為例，已知“正面向上”的概率為0.5,擲兩次硬幣，可能

頻率是0.5,用頻率估計(jì)概率的誤差為0；而擲100次硬幣，也可能頻率為0.2,

誤差為0.3。顯然上面的敘述不嚴(yán)密，太絕對(duì)了。比較嚴(yán)格的敘述為：“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較

少時(shí)，用頻率估計(jì)概率誤差較小的可能性較小，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率誤差較小的

可能性越大”。建議參看教材閱讀材料：

歷史上科學(xué)家擲幣實(shí)驗(yàn)的記錄

實(shí)驗(yàn)者擲幣次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)頻率

?.摩根204810610.5181

蒲豐404020480.5069

德.摩根409220480.5005

費(fèi)勒1000049790.4979

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

羅曼諾夫斯基80640396990.4923

（四）抽簽跟先后順序有關(guān)嗎？

在生活中，經(jīng)常有這樣一個(gè)現(xiàn)象：利用抽簽決定某件好事時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)大家爭搶著

抓簽的現(xiàn)象，因?yàn)橐徊糠秩擞羞@樣的心理，認(rèn)為先拿到簽，獲勝的機(jī)會(huì)就會(huì)多些，事實(shí)是這

樣嗎？有的教輔材料中也給出抽簽與先后順序有關(guān)的解釋。那么到底有沒有關(guān)系呢？我們建

議在教學(xué)中可以分兩步澄清學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的認(rèn)識(shí)。

第一步，摸球?qū)嶒?yàn)：每組準(zhǔn)備一個(gè)紙盒和三個(gè)球，其中一個(gè)紅球，兩個(gè)白球。摸到紅

球表示勝。要求甲、乙、丙三個(gè)學(xué)生依次去摸，記下每人摸到的球的顏色。然后，每組做大

量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，再將全班的實(shí)驗(yàn)結(jié)果累加統(tǒng)計(jì)?？纯疵咳嗣郊t球的可能性是不是三分之一。

通過這樣的實(shí)