6.2.4向量的數(shù)量積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

6.2.4向量的數(shù)量積課前回顧2.已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a與b是共線向量,則實(shí)數(shù)k=

.

2、解析:∵e1,e2不共線,∴向量a,b不為0.又a,b共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,即2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義；2、會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積；3、通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義；4.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.圖6.2-18前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念．自學(xué)指導(dǎo)OAB圖6.2-19因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念．平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．對(duì)比向量的線性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān)．與以往運(yùn)算法則的區(qū)別及注意點(diǎn)ABCDA1B1OMNM1OMNM1OMNM1NM1NM1OMOM圖6.2-21從上面的討論可知，由向量數(shù)量積的定義，可以得到向量數(shù)量積的如下重要性質(zhì)．探究類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律？你能證明嗎？OABCDD1B1A1下面我們利用向量投影證明分配律（3）OABCDD1B1A1不滿足結(jié)合律不滿足消去律思考：下面兩個(gè)式子成立嗎？OACB因此，上述結(jié)論是成立的．變式1、

已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夾角是120°,a,c的夾角是45°.求:(1)a·b;(2)(a-2b)·(3a+b);求向量數(shù)量積的一般步驟:(1)運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律展開、化簡(jiǎn);(2)確定向量的模與夾角;(3)套用數(shù)量積的定義式代入計(jì)算即得.

小結(jié)例5.

已知|a|=4,e為單位向量,它們的夾角為,則向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

變式2.

已知|a|=12,|b|=8,a·b=24,則向量a在b上的投影向量是

.

解析:設(shè)向量a與b的夾角為θ.∵a·b=|a||b|cos

θ,投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cos

θe(其中e為與b同向的單位向量),它是一個(gè)向量,且與b共線,其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定.(2)向量a在向量b上的投影向量為小結(jié)變式3.若非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=4|a|,當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.解:因?yàn)?a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0,化簡(jiǎn)得k+2(2k-1)-32=0,解得1.求平面向量夾角的方法:(1)利用公式

,求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關(guān)系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2.非零向量a·b=0?a⊥b是非常重要的性質(zhì),它對(duì)于解決平面幾何圖形中的有關(guān)垂直問題十分有效,應(yīng)熟練掌握.小結(jié)補(bǔ)充練習(xí)2

用向量方法證明：直徑所對(duì)的圓周角為直角。ABCO變式5.

已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因?yàn)閨a+b|=4,所以|a+b|2=16,所以a2+2a·b+b2=16.①因?yàn)閨a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因?yàn)?a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

,這是求向量的模的一種方法,即要求一個(gè)向量的模,先求這個(gè)向量與自身的數(shù)量積