第8章 區(qū)間估計(jì)

1

一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行檢測，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負(fù)責(zé)質(zhì)量檢驗(yàn)，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報(bào)告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進(jìn)行全面的檢驗(yàn)是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗(yàn)結(jié)果。實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)2

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計(jì)出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在101.44~109.28克之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過4克。產(chǎn)品的合格率在73.93%~96.07%之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過16%。表125袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.0108.08101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3本章要點(diǎn):第8章區(qū)間估計(jì)邊際誤差與區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì):總體方差已知情形、總體方差未知情形總體比例的區(qū)間估計(jì)別生氣

你認(rèn)識很容易生氣的人嗎?大自然有辦法讓這些人平靜下來：他們比較容易得心臟病。好幾項(xiàng)觀測研究都發(fā)現(xiàn)生氣和心臟病之間的相關(guān)性，最好的一項(xiàng)研究觀察了12986個(gè)人，隨機(jī)選自四個(gè)地區(qū)，而且都沒有心臟病，我們把焦點(diǎn)集中在這個(gè)樣本當(dāng)中血壓正常的人身上。有個(gè)簡短的心理測驗(yàn)叫做“斯皮爾伯格發(fā)怒量表”，度量了每個(gè)人容易發(fā)怒的程度，結(jié)果有633個(gè)人，被歸類在發(fā)怒量表的高水平，4731人在中水平，3110人在低水平。然后追蹤這些人將近6年并比較了高水平和低水平得心臟病的比率，最愛生氣的和最不愛生氣的組比起來，得心臟病的機(jī)會是2.2倍，而心臟病猝發(fā)的概率是2.7倍。

別生氣

聽起來生氣似乎是很嚴(yán)重的事。對于所有正常血壓的人士來說不會是完全正確的。有關(guān)這項(xiàng)研究的新聞報(bào)道引用這兩個(gè)數(shù)字。但是醫(yī)學(xué)期刊“循環(huán)”中的全文中提出了置信區(qū)間

。在95％置信水平之下，高水平組得心臟病的慨率，是低水平組的1.36—3．55倍之間，心臟病猝發(fā)概率則在1.48—4.90倍之間。區(qū)間提醒我們，因?yàn)槲覀冎挥袠颖镜臄?shù)據(jù)，所以我們對總體的所有敘述都是不確定的。對樣本來說，我們可以說:“機(jī)會恰好是2.2倍”,對整個(gè)總體來說，樣本數(shù)據(jù)只能讓我們說:“機(jī)會在1.36—3.55倍之間”，而只有95％的信心。要探討新聞背后的真相，不論是有關(guān)醫(yī)藥行業(yè)還是其他領(lǐng)域，我們都必須使用置信區(qū)間這種表示方法。置信水平區(qū)間估計(jì)的概念如前所述，點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)（即一個(gè)數(shù)）去估計(jì)未知參數(shù)。顧名思義，區(qū)間估計(jì)就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)，即把未知參數(shù)值估計(jì)在某兩個(gè)界限之間。例如，估計(jì)明年GDP增長在7％～8％之間，比說增長8％更容易讓人們相信，因?yàn)榻o出7％～8％已把可能出現(xiàn)的誤差考慮到了。所謂區(qū)間估計(jì)，就是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，用一個(gè)具有一定可靠程度的區(qū)間范圍來估計(jì)總體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)的形式我們通過把點(diǎn)估計(jì)值減去和加上一個(gè)被稱為邊際誤差的值，可以構(gòu)建總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)。形式如下：

點(diǎn)估計(jì)值±邊際誤差邊際誤差是指以樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)所允許的最大誤差范圍。體現(xiàn)了估計(jì)精度的高低。邊際誤差的確定以及所構(gòu)造區(qū)間的可靠程度的分析就需要借助統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布這方面的重要知識。

9憶：抽樣誤差抽樣誤差：一個(gè)估計(jì)量與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。抽樣誤差:

（實(shí)際未知）根據(jù)中心極限定理可知：樣本容量很大時(shí)，近似有：

抽樣誤差的概率陳述

區(qū)間估計(jì)

10

11下面考慮一個(gè)相反的問題:

抽樣誤差的圖示μ

3.923.92

13

現(xiàn)考慮從3個(gè)容量為100的不同的樣本的樣本均值分別構(gòu)建的區(qū)間情況：區(qū)間估計(jì)的圖示

(未知)x3.9295%3.92x2±x1±x3±3.923.923.92邊際誤差邊際誤差說明：由于所有可能的樣本均值有95%處在陰影區(qū)域內(nèi)，故樣本均值加減3.92所形成的所有區(qū)間中也有95%的區(qū)間會包括總體均值在內(nèi)。區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-

)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含

1-aa/2a/2置信區(qū)間(95%置信水平下的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出

的20個(gè)置信區(qū)間

點(diǎn)估計(jì)值

置信水平統(tǒng)計(jì)圖表18落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本

x_XX=

Z

x95%的樣本

-1.96

x

+1.96

x99%的樣本

-2.58

x

+2.58x90%的樣本

-1.65

x

+1.65

x置信區(qū)間是由樣本估計(jì)量構(gòu)造出的總體參數(shù)在一定置信水平下的估計(jì)區(qū)間。區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信下限。如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95%的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值，那么，用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水平為95%的置信區(qū)間。置信區(qū)間總體參數(shù)的真值是固定的，而置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它會因樣本的不同而變化，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù)。實(shí)際估計(jì)時(shí)往往只抽取一個(gè)樣本，此時(shí)所構(gòu)造的是一定置信水平(比如95%)下的一個(gè)置信區(qū)間，這是一個(gè)特定區(qū)間，而不是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，所以無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值。我們只能希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。注意：總體均值的置信區(qū)間(

２已知)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（

２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ：

3.區(qū)間估計(jì)的形式：

【例2】：

一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)

總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知

x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ

/2=1.96,總體均值90%的置信區(qū)間為：我們可以90％的把握保證平均每天參加鍛煉的時(shí)間在25.013～26.987分鐘之間【例3】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以90％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36小時(shí)）。

總體均值的置信區(qū)間(

２未知大樣本情形)假定條件大樣本(n

30)2.區(qū)間估計(jì)的形式：

28【例4】斯泰特懷特保險(xiǎn)公司每年都需對人壽保險(xiǎn)單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個(gè)壽保人作為一個(gè)簡單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費(fèi)數(shù)量、保險(xiǎn)單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償選擇等項(xiàng)目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險(xiǎn)投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計(jì)。投保人年齡投保人年齡投保人年齡投保人年齡123456789325040243344454844101112131415161718473136394645393845192021222324252627274354363448233642282930313233343536343934354253284939

29上表是一個(gè)由36個(gè)投保人組成的簡單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計(jì)。分析：區(qū)間估計(jì)包括兩個(gè)部分——點(diǎn)估計(jì)和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計(jì)。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）邊際誤差

30

t分布

0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖8-4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布的比較總體均值的置信區(qū)間(

２未知小樣本情形)t分布上側(cè)分位數(shù)

總體均值的置信區(qū)間(

２未知小樣本情形)假定條件

２未知2.有關(guān)結(jié)論：

3.區(qū)間估計(jì)的形式：

34【例5】謝爾工業(yè)公司擬采用一項(xiàng)計(jì)算機(jī)輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時(shí)間。為了評價(jià)這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對這種程序所需要的平均時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。以下是利用新方對１５名職員進(jìn)行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。根據(jù)上述資料建立置信度為９５％的總體均值的區(qū)間估計(jì)。（假定培訓(xùn)時(shí)間總體服從正態(tài)分布）。職員時(shí)間職員時(shí)間職員時(shí)間１５２６５９１１５４２４４７５０１２５８３５５８５４１３６０４４４９６２１４６２５４５１０４６１５６３總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)

35解：依題意，總體服從正態(tài)分布，ｎ＝１５（小樣本），此時(shí)總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計(jì)。樣本平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差邊際誤差95%的置信區(qū)間為53.87±3.78即（50.09，57.65）天。

區(qū)間估計(jì)的形式：使用范圍：

正態(tài)總體or大樣本小樣本練習(xí)

1.已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470

計(jì)算可得：

39【例4】斯泰特懷特保險(xiǎn)公司每年都需對人壽保險(xiǎn)單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個(gè)壽保人作為一個(gè)簡單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費(fèi)數(shù)量、保險(xiǎn)單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償選擇等項(xiàng)目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險(xiǎn)投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計(jì)。投保人年齡投保人年齡投保人年齡投保人年齡123456789325040243344454844101112131415161718473136394645393845192021222324252627274354363448233642282930313233343536343934354253284939

40上表是一個(gè)由36個(gè)投保人組成的簡單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計(jì)。分析：區(qū)間估計(jì)包括兩個(gè)部分——點(diǎn)估計(jì)和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計(jì)。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）邊際誤差

41

練習(xí)

2.為估計(jì)美國家庭信用卡債務(wù)的總體均值，隨機(jī)抽取了70個(gè)家庭，記錄他們的信用卡債務(wù)數(shù)據(jù)(單位：美元)如下。建立美國全部家庭中信用卡債務(wù)的均值95%的置信區(qū)間。943014661715990719691110327535121958137360611448652540781054494671680482795239560413659125951347956496195517970617917140441129812584441662451134668174353154151067613021128066845346715917162797194972104936191125911011222001135661512851974365671074671171362753371032413627127449465125578372

1871957421926362327445

計(jì)算可得：

統(tǒng)計(jì)圖表43課堂練習(xí)：P189:11、12（a)44

樣本容量的確定(抽樣之前確定的)

期中E=所希望的邊際誤差.45

樣本容量的確定(抽樣之前確定的)

期中E=所希望的邊際誤差.

估計(jì)時(shí)樣本量的確定(例題分析)