2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)42總體離散程度的估計(jì)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE7總體離散程度的估計(jì)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)甲、乙兩班實(shí)行電腦漢字錄入競(jìng)賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：班級(jí)參與人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135下列結(jié)論中，正確的是()A．甲、乙兩班學(xué)生成果的平均水平相同B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)C．甲班的成果波動(dòng)狀況比乙班的成果波動(dòng)大D．甲班成果的眾數(shù)小于乙班成果的眾數(shù)解析：選ABC甲、乙兩班成果的平均數(shù)都是135，故兩班成果的平均水平相同，∴A正確；seq\o\al(2,甲)＝191>110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成果不如乙班穩(wěn)定，即甲班成果波動(dòng)較大，∴C正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班成果的中位數(shù)為149，乙班成果的中位數(shù)為151，從而易知乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)的人數(shù)要多于甲班，∴B正確；由題表看不出兩班學(xué)生成果的眾數(shù)，D錯(cuò)誤．2．若某組數(shù)據(jù)的方差s2＝eq\f(1,6)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋…＋(x6－3)2]，則x1＋x2＋x3＋…＋x6＝()A．3 B．6C．18 D．36解析：選C由方差公式可知，6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，∴x1＋x2＋x3＋…＋x6＝6×3＝18.3．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2解析：選D由題可知樣本的平均數(shù)為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故選D.4．已知樣本數(shù)為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的是()解析：選D選項(xiàng)A中，樣本數(shù)據(jù)都為5，數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度；選項(xiàng)B中，樣本數(shù)據(jù)為4，4，4，5，5，5，6，6，6；選項(xiàng)C中，樣本數(shù)據(jù)為3，3，4，4，5，6，6，7，7；選項(xiàng)D中，樣本數(shù)據(jù)為2，2，2，2，5，8，8，8，8，故標(biāo)準(zhǔn)差最大的是D.也可由樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小反映標(biāo)準(zhǔn)差，從題圖中可以看出D中的數(shù)據(jù)波動(dòng)最大．5．在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成果統(tǒng)計(jì)如下表：班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲20eq\x\to(x)甲2乙30eq\x\to(x)乙3其中eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成果的方差為()A．3 B．2C．2.6 D．2.5解析：選C由題意可知兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成果平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成果的方差為s2＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\x\to(x)甲－eq\x\to(x))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.6．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.17．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，方差為________．解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，∴x＝6.∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，這組數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq\f(74,3).答案：5eq\f(74,3)8．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2024年8月份調(diào)查得知該省二、三、四線全部城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.7萬元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10，8，則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為________．解析：設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(2.4－1.2)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.8－1.2)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為117.98.答案：117.989．對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075(1)甲、乙的平均成果誰最好？(2)誰的各門功課發(fā)展較平衡？解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，故甲的平均成果較好．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，由seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，知乙的各門功課發(fā)展較平衡．10．某教化集團(tuán)為了辦好讓人民滿足的教化，每年年底都隨機(jī)邀請(qǐng)8名學(xué)生家長(zhǎng)代表對(duì)集團(tuán)內(nèi)甲、乙兩所學(xué)校進(jìn)行人民滿足度的民主測(cè)評(píng)(滿足度最高分120分，最低分0分，分?jǐn)?shù)越高說明人民滿足度越高，分?jǐn)?shù)越低說明人民滿足度越低)．去年測(cè)評(píng)的數(shù)據(jù)如下：甲校：96,112,97,108,100,103,86,98；乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.(1)分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)分別計(jì)算甲、乙兩所學(xué)校去年人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差；(3)依據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為甲、乙哪所學(xué)校人民滿足度比較好？解：(1)甲學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位數(shù)為eq\f(100＋98,2)＝99，乙學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位數(shù)為eq\f(101＋97,2)＝99.(2)甲學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差：seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(96－100)2＋(112－100)2＋…＋(98－100)2]＝55.25，乙學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差：seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(108－100)2＋(101－100)2＋…＋(106－100)2]＝29.5.(3)由(1)(2)可知甲、乙兩學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，中位數(shù)相同，而乙學(xué)校人民滿足度測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)的方差小于甲學(xué)校的方差，故乙學(xué)校人民滿足度比較好．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)實(shí)力(每項(xiàng)實(shí)力的指標(biāo)值滿分均為5分，分值高者為優(yōu))，繪制如圖所示的六維實(shí)力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)A表示甲的創(chuàng)建實(shí)力指標(biāo)值為4，點(diǎn)B表示乙的空間實(shí)力指標(biāo)值為3，則下列敘述正確的是()A．乙的記憶實(shí)力優(yōu)于甲B．乙的視察實(shí)力優(yōu)于創(chuàng)建實(shí)力C．甲的六大實(shí)力整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大實(shí)力比乙較均衡解析：選BCD由六維實(shí)力雷達(dá)圖，知乙的記憶實(shí)力指標(biāo)值是4，甲的記憶實(shí)力指標(biāo)值是5，故甲的記憶實(shí)力優(yōu)于乙的記憶實(shí)力，故A錯(cuò)誤；乙的創(chuàng)建實(shí)力指標(biāo)值是3，視察實(shí)力指標(biāo)值是4，故乙的視察實(shí)力優(yōu)于創(chuàng)建實(shí)力，故B正確；甲的六大實(shí)力之和為25，乙的六大實(shí)力之和為24，所以甲的六大實(shí)力整體水平優(yōu)于乙，故C正確；甲的六大實(shí)力指標(biāo)值的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(17,36)，乙的六大實(shí)力指標(biāo)值的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(2,3)，所以seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，即甲的六大實(shí)力比乙較均衡，D正確．12．若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次(3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的狀況)不低于第3名，則稱該同學(xué)為班級(jí)的尖子生．依據(jù)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷肯定是尖子生的是()A．甲同學(xué)：平均數(shù)為2，眾數(shù)為1B．乙同學(xué)：平均數(shù)為2，方差小于1C．丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2D．丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1解析：選B甲同學(xué)：若平均數(shù)為2，眾數(shù)為1，則有一次名次應(yīng)為4，故解除A；乙同學(xué)：平均數(shù)為2，設(shè)乙同學(xué)3次考試的名次分別為x1，x2，x3，則方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]＜1，則(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＜3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合題意；丙同學(xué)：中位數(shù)為2，眾數(shù)為2，有可能是2，2，4，不符合題意；丁同學(xué)：眾數(shù)為2，方差大于1，有可能是2，2，6，不符合題意．故選B.13．某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)覺有2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)登記錯(cuò)了，甲實(shí)得80分，卻記了50分，乙實(shí)得70分，卻記了100分，更正后平均分和方差分別是________，________．解析：因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變．設(shè)更正后的方差為s2，則由題意可得s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡(jiǎn)整理得s2＝50.答案：705014．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)老師職稱及年齡，中級(jí)職稱老師的人數(shù)為50，其平均年齡為38歲，方差是2，高級(jí)職稱的老師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱老師年齡的平均數(shù)和方差．解：由已知條件可知高級(jí)職稱老師的平均年齡為eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(歲)，年齡的方差為seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,10)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱老師的平均年齡為eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(歲)，該校中級(jí)職稱和高級(jí)職稱老師的年齡的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.[C級(jí)拓展探究]15．從某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)62638228(1)依據(jù)上表補(bǔ)全所示的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解：(1)補(bǔ)全后的頻率分布直方圖如圖所示