高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例

高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：課堂教學(xué)要"體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的基本理念”,

“重視學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)課程設(shè)計(jì)必須從學(xué)生的角度出發(fā)，要與學(xué)生

的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位”，“關(guān)注學(xué)生體驗(yàn)、感悟

和實(shí)踐的過程將課程與學(xué)習(xí)融為一體，要展示知識(shí)的生成，發(fā)展和形成

的過程，提供學(xué)生親身感受，體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。上述說法表達(dá)了數(shù)學(xué)教學(xué)的新理念，

即堅(jiān)持“以人為本”，通過學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)去掌握知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的

興趣與熱愛，使學(xué)生從接受者轉(zhuǎn)變?yōu)榉治稣摺⑻骄空?，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己去發(fā)現(xiàn)

問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

一、案例1:拋物線的幾何性質(zhì)

在教學(xué)時(shí)，我選擇了這樣一道例題:斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦

點(diǎn)F,且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。

1.嘗試解決：

方法1:將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距

離公式求解。

方法2:將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，再運(yùn)用拋物

線定義，推出本題的解法。

學(xué)習(xí)程度中上的學(xué)生大都選用方法二，學(xué)習(xí)程度中下的學(xué)生大都選用方法

一。然而僅僅就題論題，顯然不能充分體現(xiàn)該題的教學(xué)價(jià)值，所以在教學(xué)中我

進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

2.問題探究：

問題1:同學(xué)們能不能不求坐標(biāo)就可以求出線段AB的長(zhǎng)？

方法3：在方法2的基礎(chǔ)上由韋達(dá)定理可實(shí)現(xiàn)不解方程就能解決問題。

問題2:將上題變?yōu)椤靶甭蕿镵的直線經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F,且與拋物

線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。”

探究結(jié)果：

①過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式

②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，IAB|=2p,此時(shí)|AB|叫拋物線的通徑?？梢宰寣W(xué)

生進(jìn)一步理解通徑的幾何意義。

③學(xué)生自主提出問題：

問題3;在方法一中能不能不求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)？（此問題由學(xué)生提出.相對(duì)問

題一要難一點(diǎn)。所以要求同學(xué)們分小組討論來完成）通過同學(xué)們的探索和教師的

點(diǎn)撥得出此成果：圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式。

3.理性歸納：

①體現(xiàn)了方程的思想；

②得到了求直線與圓維曲線相交所得弦長(zhǎng)的一般公式（與焦點(diǎn)無關(guān)）；

③為下一節(jié)課“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”的順利進(jìn)行奠定了基礎(chǔ)。

4.開放式變換問題：

問題1:在本題的基礎(chǔ)上:提出：以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線有何關(guān)系？

問題2:過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂

點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D,試判斷直線DB與x軸的位置美系。

案例2：函數(shù)的性質(zhì)

例如，在講解習(xí)題：”已知a>0,函數(shù)y=f（x）=x3—ax在x￡[1,+°0）

是一個(gè)單調(diào)函數(shù)。（1）在a>0的條件下，函數(shù)y=f（x）在x￡[1,+8）上能否

是單調(diào)遞減函數(shù)？請(qǐng)說明理由；(2)若f(x)在區(qū)間［1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)Xo21,f(Xo)^1JLf［f(Xo)］=x0,求證:f(Xo)=Xo”,其中第⑶小題我講

了如下常規(guī)解法：

解：由(1)、(2)可知f(x)在［1,+8)上只能為單調(diào)增函數(shù)，若1Wx。

<f(Xo),則f(xo)Vf(f(xo))=Xo矛盾;若1Wf(Xo)〈Xo,則千(f(Xo))Vf(xo),

即X0<f(xo)矛盾。

故只有千(Xo)=Xo成立。證畢！

這時(shí)，有一個(gè)同學(xué)迫不及待地站了起來：“我還有一種解法！”我馬上示

意他到黑板上板書：

解：設(shè)千(Xo)=u,由千(f(Xo))=Xo,得f(u)=xo,這說明在y=f(X)的圖象

上有P(xo,u)和Q(u,Xo)兩點(diǎn)，若千(Xo)Hxo,即XoHu,則P與Q不重合，則直

線PQ的斜率為kpQ=EN=-i,注意到Xo21,u=f(xo)21,這與函數(shù)y=f(x)

u-XQ

在［1,+8)是增函數(shù)矛盾，故u=Xo,即千(Xo)=Xo。證畢！

果然不錯(cuò)！兩種方法雖然實(shí)質(zhì)是相似的，但形式很新穎，連我這個(gè)做老師

的都“沒有想到”，于是全體同學(xué)為他熱烈鼓掌。這件事讓他興奮了好久好久。

二、反思與建議：

1.注意問題情景的設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生的興趣

好的開頭是成功的一半，一節(jié)優(yōu)秀的課。必須重視導(dǎo)引的設(shè)計(jì)。探究性教

學(xué)的導(dǎo)弓I設(shè)計(jì).必須引起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的探究興趣，同時(shí)符合學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)

及教材自身的性質(zhì)。對(duì)設(shè)計(jì)的導(dǎo)引的幾個(gè)問題的分析與思考，對(duì)本節(jié)課的課量

教學(xué)思維活動(dòng)起到了積極的導(dǎo)引作用。這也是我們處理導(dǎo)引部分的一個(gè)重要目

標(biāo)。當(dāng)然，激發(fā)學(xué)生探究興趣的方法很多，有影視導(dǎo)引、教學(xué)導(dǎo)引、問題導(dǎo)引

等等

2.給學(xué)生搭建“自主學(xué)習(xí)”的平臺(tái)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)地接受過程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程，也就是

說數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作，交流通過反省來主動(dòng)建構(gòu)，從而有效

地讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，啟發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生自己探索發(fā)

現(xiàn)新知識(shí)點(diǎn)。

3.鼓助學(xué)生把數(shù)學(xué)說出來

語言是人類交往的工具，口語交際能力的培養(yǎng)是人際交往永恒的主題。口

語交際是指人們通過口語來交流思想，傳達(dá)信息的過程。良好的口語表達(dá)能有

效地傳達(dá)信息。隨著新課程教育教學(xué)改革的不斷推進(jìn)。對(duì)課堂教學(xué)的要求。對(duì)

學(xué)生全面發(fā)展的要求，我們必須改變?cè)械挠^念，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也必須培養(yǎng)學(xué)

生的口頭語言表達(dá)能力。在數(shù)學(xué)的交流。合作中，口語的表達(dá)能夠有效地傳達(dá)

學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師的想法，提高課堂的活躍氣氛，提高致師的教學(xué)質(zhì)量。

4.注重學(xué)生探靠過程的情感體驗(yàn)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生探索新知的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)。對(duì)于教師而言，課

堂教學(xué)就應(yīng)該充分地考慮和體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，把開展探充性學(xué)習(xí)和研

究作為貫穿于課堂教學(xué)始終的條線。新的課堂教學(xué)，是教與學(xué)的交流、互動(dòng)的

過程，在這個(gè)過程中，教師和學(xué)生分享彼此的思考經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，交流彼此的情

感體驗(yàn)與觀念，豐富教學(xué)內(nèi)容，求得新的發(fā)現(xiàn)。從而達(dá)成共識(shí)、共享，實(shí)現(xiàn)教學(xué)

相長(zhǎng)