材料力學(xué)劉德華版課后習(xí)題答案版

2.1試求圖示桿件各段的軸力，并畫軸力圖。

生圖

10kNUEULEK

IOkN'：

30kN50kNFN圖

⑵華卜T-(4)3OkN

*rw].....34()kN

.周IOkNL

15kN15kN20kN

IOkN----------------------------1------------

177

2.「也空d=20nP=

q=10kN/m，.l=Jm求各桿的蟋大正應(yīng)

18＞不并表不

正應(yīng)化

售85Mpe

■MPa,肥2,.“MPa,(3九43.l6(>MPa，

(4^?95.^Pa95.i^U￡ffiMPa'

63.69MPa

F

題2.4圖

2.4一正方形截面的階梯柱受力如題2.4圖所示。已知:

a=200mm,b=100mm,F=100kN,不計柱的自重，試

計算該柱橫截面上的最大正應(yīng)力。

解：1-1截面和2-2截面的內(nèi)力為:

FN1=-F；

FN2=-3F

相應(yīng)截面的應(yīng)力為：

^=-IOox.o^_[oMpa

1A,100-

屋=心也更7.5MPa

2A,2002

最大應(yīng)力為：向=10MPa

IImax

2.8圖示鋼桿的橫截面積A=1000mm2,材料的彈性模量E=200GPa,試求:

(1)各段的軸向變形；（2）各段的軸向線應(yīng)變；（3）桿的總伸長。

乂告20x2

200X109X1000X10-6

-4

￡\=AL,=10w

AL2=0m

￡=0

i△k--2x104

=-2xl0>=(0,

2m

A/=A/,+A，+A/In=0.1mm+0—0.2mm=-0.1mm

2.10圖示結(jié)構(gòu)中，五根桿的抗拉剛度均為EA,桿AB長為1,ABCD是正方

形。在小變形條件下，試求兩種加載情況下，AB桿的伸長。

解（a）受力分析如圖，由C點平衡可知：

F,AC=F,CB=O；

由D聲平衡可知：F'

再由區(qū)焦曲率衡一

△」工里

.EAEA

因此

Z工=。：及大

^AC=F；cA'B

(b)浮力分析如圖，由C點平衡司鄒

F|

(b)￥

2心cos45f,正終尸|

0；FAB=-F

FJ_Fl

"AB

EAEA

再由A點的平衡:

因此

2.12圖示結(jié)構(gòu)中，水平剛桿AB不變形，桿①為鋼桿，直徑dl=20mm,彈性

模量El=200GPa；桿②為銅桿，直徑d2=25mm,彈性模量E2=100GPao設(shè)在

外力F=30kN作用下，

AB桿保持水平。(1)試求F力作用點到A端的距離a；(2)如果使剛桿保持水

平且豎向位移不超過2mm,則最大的F應(yīng)等于多少？

翳序花城圖圖

Z”“=0:F(2-a)-220,

△￡,=△￡,=^-=-5^

EA

萬(2/)4Fai?

2gA-2芻4

4(2-a)xl.5

,2692

200xl0x7Cx20xl0100xl0x7tx25xl0*

(2-4)：1.5二三,a=].0791=1.08m

202252

AL,=AL,=2mdl=20mm,El=

A￡,=2m=-^=.5^

d2=25mm,E2=iuuuFa。

E2A,2￡2\

4萬人4X100X109X-X252X106

F=空”=---------------=181.95kN

Mal,1.08x1

2.15圖示結(jié)構(gòu)中，AB桿和AC桿均為圓截面鋼桿，材料相同。已知結(jié)點A無

水平位移，試求兩桿直徑之比。

Xa=o：

幾cos45"+用ccos30"=0

小拒

成一正

cos45"=30"

LAnLACCOS

_cos300_百

*BAC后方=&AC

心=巫=皿45。=也

m

△4AA2

2=竺=.3?！薄?/p>

A4”2

由翦桿蠅的/幾何養(yǎng)系可魁星*2優(yōu)ch

'f-叵AL.=2A"CAte

近FAJAR_2FACLAC

風(fēng)=2%

d\B_6F4B_灰石K=_3及

——"-7=^--Y——1.VU

2%Ac2V2V24

d\c

%=1.03

"AC

2.20圖示結(jié)構(gòu)中，桿①和桿②均為圓截面鋼桿，直徑分別為dl=16mm,

d2=20mm,已知F=40kN,剛材的許用應(yīng)力［。］=160Mpa,試分別校核二桿的

強度。

解：1力分析如圖

ZC=o：

-"sin45"+￡；sin3(r=0(1)

?,=0:

f；cos45"+Ecos30',-F=0(2)

(1<團El的Kk7kN

%=合湘P&2坳(hW軍[0]=160MPa

桿①和桿②都滿足強度要求。

2.24圖示結(jié)構(gòu)，BC桿為5號槽鋼，其許用應(yīng)力［。］l=160MPa；AB桿為100

X50mm2的矩形截面木桿，許用應(yīng)力［。］2=8MPa。試求：(1)當F=50kN時，

校核該結(jié)構(gòu)的強度；(2)許用荷載［F］。

解：察物;析如圖

%sin60"+/sin30"=0(1)

立=0：

F?ACOS30"-F?ccos60*'-F=0(2)

聯(lián)立,1X30褊成誨得歲呼為舒友!25的岬PaFBA=43.3kN。

查型顰趟朝曳氏君輜弊畀入屁C=25kN;FBA=43.3kN；ABC=6.928cm2,

[o]l=i60MPiF^AB=100X5bmm2；[o]2=8MPao

!-^=[<T],;[fM]=[o-]2A/(4=8x100X50=40*N

桿BC滿足強度要求，但桿BA不滿足強度要求。

將［FBA］帶入(1)、(2)式中求得許用荷載［F］=46.2kN

2.25圖示結(jié)構(gòu)中，橫桿AB為剛性桿，斜桿CD為直徑d=20mm的圓桿，材料

的許用應(yīng)力[。]=160Mpa,試求許用荷載[F]。

解：眄2s電息或175H.25=0.5

0c0.63

4x10尸4OFxlO31G八

a=-F0^c=-----=------；----rb=160

26G

A0c3乃/3^X20X10'

…I60X3^X202X10^,,

F=---------------=15.IkNXR

40xl03

4x10F40PxiO'

b=—=-----=------；----r<0-1=160

M3冗W3^X202X10-6

J60x3"20：xW

=15.MN

40xl03

d=20mm10

[0]=160MPa

2.27圖示桿系中，木桿的長度a不變，其強度也足夠高，但鋼桿與木桿的夾角

a可以改變（懸掛點C點的位置可上、下調(diào)整）。若欲使鋼桿AC的用料最少，

夾角a應(yīng)多大？

解：yF=0.AAC=ZJ=——-——

乙y?[<T]AC匕]ACsin。

^ACsin<2-F=0l肉。=aIcosa

桿AC的體積：

[cr]AC[cr]ACsinezcoscr[cr]ACsinla

鋼桿AC的用料最少，則體積最小，有：Ay—0

[(T]ACsina

/=tz/cosa

sin2a=1;a=45°AC

2.37圖示銷釘連接中，F(xiàn)=100kN,銷釘材料許用剪切應(yīng)力[Tj]=60MPa,試確

定銷釘?shù)闹睆絛o

2.39圖示的釧I接接頭受軸向力F作用，已知：F=80kN,b=80mm,6=10mm,

d=16mm,釧釘和板的材料相同，其許用正應(yīng)力［。］=160Mpa,,許用剪切應(yīng)力［工

j］=120MPa,許用擠壓應(yīng)力［obs］=320MPa。試校核其強度。d

解:

a-,-———=125MPa<[a\

3(b-d”3F/4

F/4

b=80mm,6=10mm,d=16mm；?Fo

F=——=20KN

[Tj]=120MPa,[obs]=320MPaJ423

(

T.==4x2Qxl^=99.5MPa<[r.]

2

JA3.14xl6」

3

Fs_20xlQ

bbs==125MPa<a」

d316x10

3.1試畫下列各桿的扭矩圖。

..4kN?mm

3kN,mp

(C)|1

3kN?m

3.4薄壁圓筒受力如圖所示，其平均半徑r0=30mm，壁厚t=2mm,長度

l=300mm,當外力偶矩Me=L2kN時，測得圓筒兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角6=0.76o,

試計算橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和圓筒材料的切變模量Go

解：r0=30mm,t=2mm,l=300mm,@=0.76"

T

r=~-z-

2"松

1.2xl06

-2X3.14X302X2

=106MPa；

yl=r0(p

106.1x10-3

法=亞丑雙x2=L326xl(r3ratzG=￡==8QGpa

/300180y1.326x1O-3

3.8直徑d=60mm的圓軸受扭如圖所示，試求I-I截面上A點的切應(yīng)力和軸中

的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。

解：扭矩圖如圖

/rd4?

~12

4kN?in

32x2xl06d16xl06

一=23.59MP。

兀d'4兀d，

16x4xl06

/ax=94.36MPa

叫7rd3

3.11圖示階梯形圓軸，輪2為主動輪。軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min,材料的許用

切應(yīng)力［T］=80MPao當軸強度能力被充分發(fā)揮時，試求主動輪輸入的功率p2。

Me2

E3（尸2）

M%3

輪2

解：當軸的強度被充分發(fā)揮時有：

%=［叫；％3=［叫3

Ijin

%2+%3=K][Wp

|+Wp3P=Mx

e60

%2=%i+%3[唯i+噎

7id1

=80x'IT

n2兀n100

萬；

P=Mex=Mx——=5+d）x1x-----

9.55驍609.55

336100r/c八〃

=5萬（50+70）XWx-----=76.9ZW

9.55

3.14圖示一實心圓軸，直徑d=100mm,外力偶矩Me=6kN.m,材料的切變模

量G=80GPa,試求截面B相對于截面A以及截面C相對于截面A的相對扭轉(zhuǎn)

角。

M

解：由于整桿各個c

截面內(nèi)力相等，有:

MT=-Me=6kN-m

6XX6X

MTlAIi6X10X1500326101500

==0.011rad

GIp80x103萬I%80xl03x^4

Ml6X106X100032X6X106X1000

TACIAL_____________________________________________________________________________

(PAC==0.008rad

GIp80x103萬80X103X^J4

3.18某階梯形圓軸受扭如圖所示，材料的切變模量為G=80GPa，許用切應(yīng)

力,[T]=100MPa,單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[9]=1.5o/m,試校核軸的強度和剛度。

解:扭矩圖如圖所示；

MT_16MT

—萬％乃

1610001000

16xl.2xl03.ri

=-------------------=48o.9MPa<[T]l.2kN?m

3-9

3.14X50X10?

X6

E_MT_1.21Q180O

XGI9

MAP80X10X^兀1.2kN-m

32

32xl.2xl06180

=--------------------------------=14/m

80X109X^504XW127i

試用截面法求下列梁中1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。

q

⑵口c

A

SUB)M

“Illi叫）M；

(1)FS]=FS2=F=2&NFS2

M=尸x1=-2kN-m

⑵Fsi=F=—ql

M?=FxQ5=—\kNS2

19

Me=12kNm|F=10kN

(3)&=7左N;吊2=-3ZN

M}=Fcx3=9kN?m

M2=Me=-12kN-m

(4)FLF;FS『；F

陷=0

M,=--Fl

2

(5)死尸]WV;&=—UN

M1=-3kN-m

M1=UkN-m

(6)FSi=Me/l-,FS2=0

M,=M2=Me

F=qa

4嚴g

3

Me-q(TF=qa

q

■,num

B

Me=qa1

BC

、F『

4.4試列出下列梁的剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。

為1二一一—(0<x(<Z);M=一--x}(0<x(</)(1)

aFU+a]F,,f

FS2=-----+---------=F\M2=-F(l+a-x2)(/<x2<l+a)

F.=aF/l

FB=F(l+ayi

X1

Fsi=_q&(0<x,<-1);=—等尸(0<x,</)

口1j//3/1,3zI

Fs2=《ql；(5<%<萬)；/(2

q

M圖

UFI/36/°F//36

4.5用微分、積分關(guān)系畫下列各梁的剪力圖和彎矩圖。

可圖Gql2

4.7檢查下列各梁的剪力圖和彎矩圖是否正確，若不正確，請改正。

qq

LJ]IIII11

凡圖

M圖

q足/2

4.8已知簡支梁的剪力圖，試根據(jù)剪力圖畫出梁的荷載圖和彎矩圖（已知梁上

無集中力偶作用）。

4kN

（】）Fs圖

⑵「溷

4.9靜定梁承受平面荷載，且無集中力偶作用，若已知A端彎矩為零，試根

據(jù)已知的剪力圖確定梁上的荷載及梁的彎矩圖，并指出梁在何處有約束，且為

何種約束。

>OkN

15kN

圖

B

4/3m

25kN

3mIm

入圖IIIkN

13.3kN.m

（4.9圖）

4.10已知簡支梁的彎矩圖，試根據(jù)彎矩圖畫出梁的剪力圖和荷載圖（已知梁上

無分布力偶作用）。

4.11試用疊加法畫圖示各梁的彎矩圖。

qqiqqi

⑵Bf&B

-X--A-

5.1試確定圖示平面圖形的形心位置。

b

Sz=fydA=fydy-(h-y)

JaJahz

bM19

-bh2,

S,6J

一

-bh'

2c-hb~

2h

S-[zdA——hb,zc

>JA6cA-1,,

—bh3

2

360

(2)分成3塊計算：由于截面有

一個對稱軸，可知形心在對稱軸上，

因此：

zc=180

y_++40c3

°A+4+A3

300

360x30x15+300x30x(30+)+30x90x(30+300+15)

60x30+300x30+30x90

=120.6

5.2試確定圖示平面圖形的形心位置。

查表可得：

角鋼A=22,261cm2,形心：(-45.8,-21.2)mm

槽鋼A=68.11cm2,形心：(23.7,-180)mm

組合截面的形心坐標為：

(b)

_A]ZG+Az,222.261x(—45.8)+68.11x23.7

=6.5Smm

l4+422.261+68.11

、，_A^Cl+&先222.261x(-21.2)+68.11x(-180)

=140.88/72/篦

先一A+422.261+68.11

5.3試計算圖示平面圖形的陰影部分對z軸的靜矩。

S=S.+sc

z7zizZ

=4%+4%

,3t

=btx—t+txtx—

22

1

=-t72(3b+t)

5.6試計算圖示矩形截面對y、z軸的慣性矩和慣性積以及對O點的極慣性矩。

/,=-hb3+/zZ?xf—=—hb3

>12\2)3

I,=~bh3+/1Z>xf—=~bit'

z12⑴3

I=0+--x(^-\xbh=~—b~h2

1=1+J=Lhb3+-bh3=-hbib1+h2)

「y333

5.7試計算圖示組合圖形對z軸的慣性矩。

250X1()

解：查表得L100X100X10角鋼的截面面積：

A=19.261cin2,Iz=179.51cin4,z0=2.84cm

Z.=2|—x250xl03+250xl0x3052I

(12)

+4(179.5IxlO4+1926.1x(300-28.4『)

250X10

+—xl0x6002=1.22xl09mm4

12

5.9試計算圖示平面圖形的形心主慣性矩。

33

rb(b+2r)(b-t)b

zC1212

_bt^tb3

yC~~l2+~6

5.11圖示矩形截面，已知b=150mm,h=200mm,試求：（1）過角點A與底邊

夾角為45o的一對正交坐標軸y、z

A的主軸方位。

解：建立如圖所示

兩個坐標系，貝！J：

b

y

yc=-100mm

zc=15mm

——=-100mm/),,=2.25x1OH機加4

2

b__=4.0X108/717774

zc—=75mm

2

Iv...=-2.25x10%加

32

,，h“h/.b=2.25x1()8〃“加4

/“，=——+A—

1212

/尸心Ay'

4.0x108mm4

12

=—2.25x103加

Iy,z,—A

cos2a-1..sin2a=5.375xlO8mm4

y22vz

/廠L

-cos2a+1..sin2a=8.75x107mm

2Fvz

84

——2-sin2a+1"..cos2a=8.75x10mrm"

=2.25x1()8加篦4

令/、z=0,則y

84

Iz.=4.0xl0mm

/.=2.25x108mm4

y84

//2.=-2.25x10mm

l_.=4.0xl08mm4

y'2,sin2a+I,cos2a

84yz

/v，z，=-2.25x10mm

-2I,,2x(-2.25)xl08

tan2a-yz=257

8

Iy,-L,(2.25-4.0)xio

。=-34.37°

6.1矩形截面梁受力如圖所示，試求1-1截面（固定端截面）

上a、b、c>d四點處的正應(yīng)力。

解：1-1截面彎矩為：

M=20-15*3=-25KN*M

對中性軸z的慣性矩為:

Iz=bh3/12=180*3003/12

=4.05*108mm4

_M__-25x10"180

?x(-150)=9.26MPa；

X,-405X108

M八

4=7%=0；

M-25x10-6

cr=——y=-----------x75=-4.63MPa；

c8

cIz4.05X10

_M_-25xlQ-6

xl50=-9.26MPa

^-―^-405X1Q8

6.2工字形截面懸臂梁受力如圖所示，試求固定端截面上腹板

與翼緣交界處k點的正應(yīng)力。k

解：固定端截面處彎矩：

M=-20X103X2000

=4xlO7N-mm

對中性軸的慣性矩：

3

,J100x20”20x10034

I=2-----------+20x1i0n0nx60-+------------=1.62x10mm

2I12J12

由正應(yīng)力公式得：

M-4xl07s

a.=—y=-------------x50=-123.5MPa

kL1.62X107

6.6圖（a）所示兩根矩形截面梁，其荷載、跨度、材料都相同。其中一根梁是

截面寬度為b,高度為h的整體梁（圖b）,另一根梁是由兩根截面寬度為b,高

度為h/2的梁相疊而成（兩根梁相疊面間可以自由錯動，圖c）o試分析二梁橫

截面上的彎曲正應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律有何不同？并分別計算出各梁中的

最大正應(yīng)力。

解：梁的彎矩圖如圖

對于整體梁：1"

M/12/

cr=-y=-~~ry=-----ry

L-hh3-Sbh3

~\2

12q『h3ql2

Wax-------x-=

8bM24bh2

疊梁：由于小變形

1M2

pEI-EI.

2M2EI=2

12

Mhh\

叢』二=h=i

%max必%叱后姐%

W6

可知上下梁各承疽一半彎矩，因此：

11,2

I'、3”

42M2

6.8矩形截面簡支梁如圖所示,已知F=18kN,試求D截面上a、b點處的彎曲

切應(yīng)力。

11°

"s*-Fx20x70x60-xl8xlO3x20x70x60

=-%=2=2

b"70x—x70xl40370x—x70xl403

1212

=0.67MPa

%二°

6.9試求圖示梁固定端截面上腹板與翼緣交界處k點的切應(yīng)力Tk,以及全梁橫

截面上的最大彎曲切應(yīng)力

解：梁各個截面剪力相

等，都等于20kN

_居5；_X3XXX

--------=--------2-0--1-0--1-0-0--2-0--60----------=>

"z20x2|—xl00x203+100x20x602|+—x20xl003

LU2)12」

=7.41MPa

20X103X(100X20X60+20X50X25)

%ax

d【z(i\i

20x2—X100X203+100X20X602+—X20X1003

(12)12

=8.95MPa

6.11T形截面鑄鐵梁受力如圖所示，已知F=20kN,q=10kN/m。試計算梁中

橫截面上的最大彎曲切應(yīng)力,以及腹板和翼緣交界處的最大切應(yīng)力。

解：梁中最大切應(yīng)力

發(fā)生在B支座左邊的

截面的中性軸處。

中性軸距頂邊位置：

Zc=0

Ay+4%

治=4+A2

200x30x15+30x200x130“

-------------------------------------=72.5cmm

200x30+30x200

*1572〈5°3

Sz',"m,ax、=30xl57.2x—2--3.72xl0mm

i

39-

/二=eX30X200+30x200x(157.5-100)

+\x200x3()3+30x200x(72.5—15『

=6x10’mm

35

與nwXmax20XIQX3.72X1Q)”

T='=---------------------------=4.13MPa

maxbl30x6.0x107

z

腹板和翼緣交界處

S；k=30x200x57.5=3.45x105mm3

「Js"j20x103x3.45x105

=3.83MPa

限max—bI~30x6.0x107

6

M.max

%,max<[<T]乙__乙

Wv

Mbmax益上二2

°"。,max%%

6.13圖示簡支梁AB,當荷載F直接作用于中點時，梁內(nèi)的最大正應(yīng)力超過許

用值30%。為了消除這種過載現(xiàn)象，現(xiàn)配置輔助梁(圖中的CD),試求輔助梁

的最小跨度a?

M.max_3F/2

Q=1.3[s]

l,max叱

%_尸(6-a)/4

2,max也二[s]

Wz

U/Sj

a=1.39m

6.14圖示簡支梁，dl=100mm時，在ql的作用下，。max=0.8［。］。材料的

［O］=12MPa,試計算：(1)ql=?(2)當直徑改用d=2dl時，該梁的許用荷

載［q］為ql的多少倍？

解：(1)<7i

%

4m

M,max7rd3

bI,max=21/黃=0.8[b]=0.8xl2

%

0.8xl2x^(7?

q=-----------L=0.47W

x64

(2)

6.16圖示T形梁受力如圖所示，材料的許用拉應(yīng)力[ot]=80MPa,許用壓

應(yīng)力[。c]=160MPa,截面對形心軸z的慣性矩Iz=735X104mm4,試校核梁的正

應(yīng)力強度。

解：B截面上部受拉，

C截面下部受拉

二%nax

t,maxj/max

xz

%,max<McVc,max

5kN.m

X10

5,max=學(xué)Vmax=9.4=74.42MP4<[b,]

/,7U35x;140

B截面下部受壓，C截面上部受壓

q,maxmax=黑Mxl09.4=148.84MPa<[q]

I735x10

6.17圖示工字形截面外伸梁，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等。當只有

Fl=12kN作用時，其最大正應(yīng)力等于許用正應(yīng)力的1.2倍。為了消除此過載現(xiàn)象,

現(xiàn)于右端再施加一豎直向下的集中力F2,試求力F2的變化范圍。

解:

M,max

0,max

Z

6xl03

Xnax“2㈤

L2[CTJ=2x]0T[cr]

3

I.6xl0

__M

Cb￡max-jymax

bc,max-jymax

z

_（6-f；/2）xl03f；xl03

>max?Vmax

zz

243-4

=（6-^/2）X10X2X10-[CT]=[CT,]=7^xlOxZxlO^]=[CTC]

F2=2kNF2=5kN

6.18圖示正方形截面懸臂木梁，木材的許用應(yīng)力［o］=10MPa,現(xiàn)需要在梁中

距固定端為250mm截面的中性軸處鉆一直徑為d的圓孔。試計算在保證梁的強

度條件下，圓孔的最大直徑可達多少？(不考慮應(yīng)力集中的影響)

解：開孔截面處

的彎矩值為：

M=5*0.75+l/2*5*0.752=4.31KNM

開孔截面的慣性矩：口

160

BH3bh30.16*0.1630.16d3_0-16(D-163-d3)

心=

1212121212

=9=12*431*1030.16

-------------------―-----=10*1()6,d=115mm

43

Izc20.16-0.16J2

6.19圖示懸臂梁受均布荷載q,已知梁材料的彈性模量為E,橫截面尺寸為b

Xh,梁的強度被充分發(fā)揮時上層纖維的總伸長為6,材料的許用應(yīng)力為［。］-

試求作用在梁上的均布荷載q和跨度1。

解：梁的各個截面的

彎矩不相等，X截面:

M(x)=—qx1

1,2

qX

_2上—二團

%,max強度充分發(fā)揮時CT/.max

暝

w.z

qx1

由胡克定律,X截面頂部線應(yīng)變：max=￡E,￡=

2EW:

“qF小一/[司

梁的總伸長:3=2dx=

0〃

02EWZ6EW:6Ex~3E

,3功2團

/二----

[er]

2W[a]2W[cr]3

9E2J2

6.22圖示矩形截面梁，已知材料的許用正應(yīng)力［。］=170MPa,許用切應(yīng)力

［T］=100MPa?試校核梁的強度。

解：

必穌

。max

W二

12xl03

bh2

6

12X106X6

=144MPa<[(j]

50xl002

FS

_s,max2二34max3必二3.6MPa

%ax

I上2