漆安慎力學第二版課后習題解答

第二章基本知識小結(jié)V=v*+v0（速度變換）

1.基本概念r=F（r）v=—1=四=，a=2'+4（加速度變換）

dtdtdr

若兩個參考系相對做勻速直線運動，則為伽利

（向右箭頭表示求導運算，向左箭頭表示積分運算,

略變換，在圖示情況下，則有:

積分運算需初始條件：，=%,>=&>=環(huán)）

2.1.1質(zhì)點運動學方

2.直角坐標系r=xi+yj+zk,r=y]x2+y2+z2,r

程為：⑴r=（3+2t）i+5j

與x,y,z軸夾角的余弦分別為x/r,y/r,z/r.

⑵r=（2-30f+（4z-l）j,

V=vxi+vyj+v:k,v=W+vy'+vz,D與x,y,z

求質(zhì)點軌跡并用圖表示.

軸夾角的余弦分別為vr/v,vv/v,vjv.

解：（l）x=3+2/,y=5,

222

a^aj+aj+a.k,a=yJax+ay+a_,G與x,y,z

軌跡方程為y=5的直

軸夾角的余弦分別為aja,ay/a,aja.

線.

3.自然坐標系

出》=2-3/,），=4一1,消去參數(shù)t得軌跡方程

ds

r=r（5）;v=vf,v=一v=|v|

rrdtr

4.極坐標系r=rr,v=Vrr+vs0,v=《v；+vU

5.相對運動對于兩個相對平動的參考系

4x+3y-5=0

r=r+r0,t=t'（時空變換）

2.1.2質(zhì)點運動學方程為用少"+e”j+2K⑴行方向(a角)

求質(zhì)點軌跡；⑵求自t=-1至1Jt=l質(zhì)點的位移。解：V?V—&=絕，在圖示的

AzZ

解：⑴由運動學方程可知：

矢量三角形中，應(yīng)用余弦定理，可求

x=e"2',y=e2',z=2,xy=l,所以，質(zhì)點是在z=2平面a

得：

內(nèi)的第一像限的一條雙曲線上運動。

據(jù)正弦定理：A/?/sin(4-%)=&/sin(180。-4-。)

(2)Ar=r(l)-r(-l)=(e-2-e2)i+(e2-e-2)j

2.2.2一圓柱體沿拋物線軌道運『/

=-7.2537/+7.2537jo所以，位移大?。簞樱瑨佄锞€軌道為仞(長度：毫/

2.1.3質(zhì)點運動學方程為尸=4產(chǎn)2⑵+3)j.⑴求

米)。第一次觀察到圓柱體在x=249mm八、’

質(zhì)點軌跡；⑵求質(zhì)點自t=0至t=l的位移.

處，經(jīng)過時間2〃心后，圓柱體移到x=234曲》處。求

解：(l)x=4/2,),=2f+3,消去參數(shù)t得：x=(y-3)2

圓柱體瞬時速度的近似值。

(2)AF=F(l)-F(0)=4；+5j—3j=4；+2j

解：由于At很小，所以，v?P=—,

2.2.1雷達站于某瞬時測得飛機位置為

其中，

凡=4100〃?,4=33.7。

△t=2ms,^,r=AAZ+Ajy,Ar=/一的=234-249=-15

0.75s后測得&=4240〃?,％=29.3。，好工一

v?(Ax/Af)z+(Ay/AOj=-7.5z-18.1Jo其大小

L,R2均在鉛直面內(nèi)，求飛機瞬時速率的近似值和飛

|v|=7(-7.5)2+(18.1)2=19.6mm/ms;與x軸夾角

2.2.3一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者對矢量三角形應(yīng)用余弦定理：

萬=生=超絲加/由正弦定理：

17m；另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京=0.07S2,

△t3x60

2320km,收聽者離收音機2m,問誰先聽到聲音？聲v2_Av

sinasin30°

速為340m/s,電磁波傳播的速率為3.OXIO'm/s.

2.2.6(Dr=Rcosti+Rsintj+2tk97?為正常數(shù)，

解:聲音傳播情況如圖所示,

求t=O,〃々時的速度和加速度。⑵

北京人聽到演奏聲音所需

"3"-4.5產(chǎn)1+6"，求方二03時的速度和加速度(寫

時間：

出正交分解式)。

廣州人聽到演奏聲音所需

解：(l)v=f/r/Jz=-Rsinti+7?cos(/+2k

時間:

a-dv/dt=—Rcosti—Rsintj.v|f=0=Rj+2k,a\l=0=-Ri,

2.2.5火車進入彎道時

v\t=?l2=-Ri+2k,a\l=?,2=-Rj

減速，最初列車向正北以(2)

90km/h速率行駛，3min后以v=dr/dt=3i-9tj+\8t~k,a=dv/dt=-9j+36tk；

70km/h速率向北偏西30°方向行駛,求列車的平均2.3.1圖中a、b和

加速度。c表示質(zhì)點沿直線運動

解：9=五』=包

三種不同情況下的x-t

△t\t

圖像，試說明每種運動的特點（即速度，計時起點顯然，質(zhì)點隨時間按余弦規(guī)律作周期性運動,

時質(zhì)點的位置坐標，質(zhì)點位于坐標原點的時刻）運動范圍：

解：質(zhì)點直線運動的速度2.3.3跳傘運動員的速度為v=上J,v鉛直

1+e-q,

V=dx/dt,在X-t圖像中為曲線斜率。由于三種圖

向下，為正常量，求其加速度，討論時間足夠

像都是直線，因此三種運動都是勻速直線運動，設(shè)

長時（即t~8）速度、加速度的變化趨勢。

直線與x軸正向夾角為a,則速度u=rga=Ax/Af

解：

對于a種運動：

因為v>0,a>0,所以，跳傘員做加速直線運動,

對于b種運動：

但當t~8時，V-B,a->0,說明經(jīng)過較長時間后，

對于c種運動：

跳傘員將做勻速直線運動。

2.3.2質(zhì)點直線運動的運動學方程為

一（/

產(chǎn)acos2,a為正常數(shù)，求質(zhì)點速度和加速度，并討

2.3.4直線運行的高速'T

論運動特點（有無周期性，運動范圍，速度變化情

151mn

列車在電子計算機控制下

況等）

減速進站。列車原運行速率為v0=180km/h,其速率

解：

變化規(guī)律如圖所示。求列車行至.為切時的加速

x-acost,vx=dx!dt--asint,aK=dvx!dt=-acost

度。

解：v=v0COS(^X/5),6/V/dx--fv0sinfx.學方程如何？初始坐標和初速度發(fā)生怎樣的變化?

a===—由乃%2sin］玄，將加速度變不變？

Vo=18Okm/h,x=l.5km代入解：x=10t+3t2,v=dx/dt=10+6t,牛dv/dt=6,

2.3.5在水平桌面上放飛)|7t=0時，x=0,v=10

B二(今Af

置A、B兩物體，用一根不可——⑴將坐標原點向x軸正向移動2m,即令x'=x-2,

八

伸長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來，c點與x=x'+2,則運動學方程為:x'=10t+3t2-2,?/

，J

桌面固定，已知物體A的加速度a=o.5g,求物體BN=dx/dt=10+6t,v=v

的加速度。⑵將計時起點前移Is,即令t'=t+Lt=tJ-1,

解：設(shè)整個繩長為L,取圖示坐標o-x,則則運動學方程變?yōu)椋簒=+3(f-l)2

3XA+(-4XB)=L=10t'-10+3t，2-6tJ+3=4t'+3t，2

對時間求兩次導數(shù)，3aA=4aB,所以aB=3aM4=3-7

XO.5g/4=3g/8v'=dx/dt'=4+6t',t'=0時，x=-7,v,=4,加

2.3.6質(zhì)點沿直線的運動學方程為x=10t+3t2.速度a不變。

⑴將坐標原點沿o-x正方向移動2m,運動學方程如2.4.1質(zhì)點從坐標原點出發(fā)時開始計時，沿x

何？初速度有無變化？⑵將計時起點前移1s,運動軸運動，其加速度&=2t(cms2),求在下列兩種

情況下質(zhì)點的運動學方程，出發(fā)后6s時質(zhì)點的位化規(guī)律為

置、在此期間所走過的位移及路程。⑴初速度vo=O；在方=0時，vx=0,x=A,其中3均

⑵初速度v。的大小為9cm/s,方向與加速度方向相為正常數(shù)。求此質(zhì)點的運動學方程。

反。解：

v.t/22

ax=dvx/dt=-Aa)coscot,dvx=-Acocoscot,

解：dvx=axdt=ltdt,jdvx=2jtdt,vx=v0+r

VQ0

2

￡'dvx=-Aa)coscotdt=-Aco^cosa)td(cot)

22

(1)%=()時，vx=/,x=x(6)=1x6=72cm

vt--Acosincot-dx/dt,dx--Acosmcotdt

3

(2)%=-9時，匕=/一9,x=jt-9tJ；dx=sina)tdt=sma)td(a)t)

令外=0,由速度表達式可求出對應(yīng)時刻t=3,由x-A=Acos。/1：=A(cos<z>Z-l),x-Acoscot

于3秒前質(zhì)點沿x軸反向運動，3秒后質(zhì)點沿x軸2.4.4飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動，

正向運動，所以路程：剛著陸時，t=0時速度為v。，且坐標x=0,假設(shè)其加

2

2.4.2質(zhì)點直線運動瞬時速度的變化規(guī)律為：Vx速度為a*=-bvs,b=常量，求飛機速度和坐標隨

=-3sint,求右=3至t2=5時間內(nèi)的位移。時間的變化規(guī)律。

5

傳解：

解：dx-vKdt=-3sintdt,\dx--^svntdt

2

dvx=axdt=-bv；dt^v；dvx=-b\dt,-v；'|；：^=-bt

2.4.3一質(zhì)點作直線運動，其瞬時加速度的變%0

2.4.5在195m長的坡道上，一人騎自行車以⑵對于上坡者，在相遇期間做的不一定是單方

18km/h的速度和-20cm/s?的加速度上坡，另一自行向直線運動，據(jù)上坡者的速度表達式：V1=5-0.2t,

車同時以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下令v尸0,求得對應(yīng)時刻t=25s,所以，上坡者在25s

坡，問：⑴經(jīng)多長時間兩人相遇？⑵兩人相遇時各前是在上坡，但25s后卻再下坡。因此，上坡者在

走過多長的路程？30s內(nèi)走過的路程：

解：以上坡者出發(fā)點為原點沿其前進方向建立對于下坡者，因為做單方向直線運動，所以30s

坐標。-x,用腳標1表示上坡者，用腳標2表示下內(nèi)走過的路程：

坡者。2.4.6站臺上送行的人，在火車開動時站在第一

兩人的加速度實際上是相同的：節(jié)車廂的最前面，火車__________?_____

。］=。2=-。.2"2/屋開動后經(jīng)過△t=24s,L

?“

火車第一節(jié)車廂的末

根據(jù)勻變速直線運動公三一'k

尾從此人的前面通過，問第七節(jié)車廂駛過他面前需

式：要多長時間？火車做勻加速運動。

⑴令xi=x2＞可求得相遇時間：5t=195-l.5t,解：設(shè)每節(jié)車廂長為L,以地為參考系，以人所

t=195/6.5=30s在點為原點建立圖示坐標o-x,以第一節(jié)車廂的前

端點為研究對象，t=o時-，前端點的坐標x=0,速度下面石子坐標於=。，v2=v0

v=0,據(jù)勻加速運動公式：解法1：根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律，可知

x=\at~?令x=L,求得：a=2；=，??解法2：可根據(jù)速度、加速度的導數(shù)定義和初始

（加了242

條件，通過積分得到⑴、⑵，然后求解。

x=Lt2/242

2.4.8電梯以1.0m/s的勻速率下降，小孩在電

令x=6L,可求得第6節(jié)車廂尾端通過人時所需

梯中跳離地板0.50m高，問當小孩再次落到地板上

時間t6：

時，電梯下降了多長距離？

令x=7L,可求得第7節(jié)車廂尾端通過人時所需

解：以電梯為參考系，小孩相對電梯做豎直上

時間t7：

拋運動，他從起跳到再次落到地板所需時間，是他

因此，第7節(jié)車廂通過人所需時間：

從最高處自由下落到地板所需時間的2倍。由自由

2.4.7在同一鉛直線上相隔h的兩點二

2

-K-落體運動公式：h=}gt,可求得從最高出落到地板

以同樣速率分上拋二石子，但在高處的石

子早打秒被拋出，求此二石子何時何處相C'所需時間：f=J2g/〃=J2x9.8/O.5=0.325,所以小孩

做豎直上拋所需時間為0.64s,在此時間內(nèi)電梯對

遇？

地下落距離：

解：以地為參考系，建立圖示坐標O-yo據(jù)題意,

L=1.0X0.64=0.64m

設(shè)方=0時，上面石子坐標力=力,速度匕=%；下乜時，

2.5.1質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，其加速度為據(jù)斜拋規(guī)律有：

VA0

G=-cosz"sintj,位置和速度的初始條件為：t=0滿足題中條件，在

VBO

時，v=j,r=i,求質(zhì)點的運動學方程并畫出軌跡。最高點相遇，必有30o60o

__ASB

解：VAy—VBy-0,XA~XB

八人D3J

dv=adt=(-cos/z-sin\dv=-zJcosrJr-j\sintdt2.5.3迫擊炮的又

J00

ZXAZVAd

v=/-sin”+(cosz-l)j=-sinrz+cos"發(fā)射角為60°發(fā)射速率150m/s,炮彈擊中傾角為

八八尸」.

dr=vdt=(-sinrz+cos//)Jz,\df=-fJsinrJr4-j\costdt

30°的山坡上的目標，發(fā)射點正在山腳，求彈著點

I00

Azx7Vzy

r=/+(cosr-l)z+sin(/=cos/z+sin(/

到發(fā)射點的距離0A.

2.5.2在同一豎直面內(nèi)的同廠

解：以發(fā)射點為原點，建立圖示坐標o-x,斜拋

一水平線上4、夕兩點分別以30。、

物體的軌跡方程為（見教材）：

60o為發(fā)射角同時拋出兩球，欲使兩小球相遇時都

本題，a=60°,vo=150m/s,A點

在自己的軌道的最高點，求4、3兩點間的距離。已

坐標XA,y,1應(yīng)滿足軌跡方程,所以：”

知小球在4點的發(fā)射速度VA=9.8米/秒。

解：以A點為原點建立圖示坐標系，取發(fā)射時

刻為計時起點，兩點間距離為S,初始條件如圖所

o

不0xA=OAcos30=^-OA

=O4sin30°=jO4,代入①中，有：的水平分量:

2.5.4轟炸機沿與鉛直方向成53°俯沖時，在令t=5,由②可求得炸彈擊中目標時速度的豎

763m的高度投放炸彈，炸彈在離開飛機5.0s時擊直分量：

中目標，不計空氣阻力：⑴轟炸機的速率是多少？2.5.5雷達監(jiān)測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射

⑵炸彈在飛行中通過的水平距離是多少？⑶炸彈擊體，在某一時刻，他給出這樣的信息：⑴拋射體達

中目標前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是到最大高度且正以速率v沿水平方向運動；⑵觀測

多少？員到拋射體的直線距離是7；⑶觀測員觀測拋體的

解：以投放點為原點，建立圖示叩q------二視線與水平方向成。角。問：⑴拋射體命中點到觀

坐標o-xy,設(shè)炸彈初速度（即轟炸J、\

測者的距離D等于多少？⑵何種情況下拋體飛越觀

機速度）為Vo.由于炸彈在飛行過”察員的頭頂以后才命中目標？何種情況下拋體在未

程中的加速度4=而，所以炸彈在X方向做勻速直線達到觀察員以前就命中目

運動，在y方向做豎直下拋運動，有標？

⑴令t=5.Os,y=763m,由④可求得轟炸機的速解：以拋體所達最大

觀

命

中

測

點

率：高度處為計時起點和坐標者

⑵將V。代入①中，可求得炸彈擊中目標時速度原點，建立圖示坐標o-xy,拋體以速度v做平拋運

動.解：S=80t-t2①

設(shè)命中時間為3,由自由落體公式：v=dS/dt=80-2t②

命中點X坐標為：%,=vZj=yj2/sine/g,由圖中令S=1200,由①可求得對

幾何關(guān)系，觀測者的x坐標：x2=/cos0o所以，觀應(yīng)時間:

測者與命中點間的距離：將t=60代入②中，v=-40,不合題意，舍去；

將t=20代入②中，v=40m/s,此即列車前進到1200m

當X《X2，即vJ2lsm3/g<Icosd,v<Icos0.——-——

V2/sin

處的速率。

時，則拋體在未達到觀察員前即命中目標。

2.6.2火車以200米/小時的速度駛?cè)雸A形軌

當Xi>X2,即v〉/cos。/2/g0時'則拋體在t越

道，其半徑為300米。司機一進入圓弧形軌道立即

觀察員后才命中目標。減速，減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？

2.6.1列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在最大加速度是多少？

我們所討論的時間范圍內(nèi)，其運動學方程為解：沿火車運動的圓形軌道建立弧坐標。-s,t=0

2

S=80t-t(m,s),t=0時，列車在圖中。點，此圓弧時，s=0,v=vo=2OOkm/h=55.56m/s0據(jù)題意a『=-2g,

形軌道的半徑r=1500m,求列車駛過0點以后前進v=v0+art=v0-2gt,an=v/R=(v0-2gt)°/R。.：a=(a

2,/2

至1200m處的速率及加速度。r+a^)=W+(v0-Sgty/R^r,顯然，t=0時，a

最大，/,=J4g2+%4/R2=22.1〃?/S2

業(yè)T120mC

2.6.3斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道

上運動，當斗車達到圖中所示位置時，軌道曲率半

徑為150m,斗車速率為50km/h,切向加速度a、

uL

v

必u

a?2

角:

A

A

第一次渡河矢量圖第二

次渡河矢量圖

2.8.1飛機在某高度的水平面上飛行，機身的

方向是自東北向西南，與正西夾15o角，風以

100km/h的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾

45o角，結(jié)果飛機向正西方向運動，求飛機相對于

風的速度及相對于地面的速度。落到車上時的速度。，把數(shù)值代入⑴中，

可求得Vo=9.8m/s.

2.8.4河的兩岸互相平行，一船由A點朝與岸

垂直的方向勻速駛?cè)ィ?jīng)lOmin到達對岸C點。若

sin30°sinl35°sin15°

船從A點出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到

/風地=100km/h=27.78m/s,.?.可求得：

達彼岸的B點，需要12.5min。已知BC=120m.求:

2.8.3一卡車在平直路面上以恒速度30米/秒

⑴河寬L；⑵第二次渡河時船的速度〃；⑶水流速度

行駛，在此車上射出一個拋體，要求在車前進60

V.

米時，拋體仍落回到車上原拋出點，問拋體射出時

解：以船為運動質(zhì)點，水為動系，岸為靜系，

相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。

由相對運動公式

解：以卡車為參考系，設(shè)拋體初速為v0,由于

由第一次渡河矢量圖可知：

要落回原拋出點，故方向只能豎直向上，即拋體相

v=BC/tI=120/600=0.2111/s,(1)

對車只能作豎直上拋運動。

u=L/tt(2),L=ut.(3).由第二次渡河

取向上方向為正，拋體相對車任意時刻速度

矢量圖可知：

Vo-gt(1)

s2=L/t2(4),cosa=32/u(5),v=u

由題意，拋體落回原地所需時間t=60/30=2(s),

sina(6).把(2)、⑷代入⑸，求得cosa三角形,所以，v12=20km/h,方向向東偏南60°

21/2

=ti/12=600/750=4/5,sina=(l-cosa)=3/5第三章基本知識小結(jié)

(7)1.牛頓運動定律適用于慣性系、質(zhì)點，牛頓第

把⑴、⑺代入⑹，求得u=0.2X5/3=1/3(m/s).二定律是核心。

再把〃的數(shù)值代入⑶，求得/=600/3=200(m).矢量式：F-ma=m—=

dtdr

答：河寬200米，水流速度0.2米/秒；第二次

分量式：

渡河時，船對水的速度是1/3米，與河岸垂直方向

工=加氏，F(xiàn),=may,F==ma二(

所成角度&=21'(：。05(4/5)=36052'.

Fr=maT=m^~,Fn=man=m-(.

dtp

2.8.5圓形公路與沿半徑方向的東西向公

2.動量定理適用于慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系。

路相交如圖,某瞬時汽車甲向東以20km/h的速率行

導數(shù)形式：戶=業(yè)

dt

駛，汽車乙在。=30°的位置向東北方向以速率

微分形式：Fdt=dp

20km/h行駛，求此瞬時甲車相對乙車的速度。

積分形式："=］碗=醞

解：由相對運動公式：\

(注意分量式的運用)

V,=片2+%，

3.動量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系。

%=G-%,顯然矢量三角形為等邊

若作用于質(zhì)點或質(zhì)點系的外力的矢量和始終為

零，則質(zhì)點或質(zhì)點系的動量保持不變。即F=(242+122)1/2=1275N,力與x軸之間夾角為：

(注意分量式的運用)3.4.2質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，

4.在非慣性系中，考慮相應(yīng)的慣性力，也可應(yīng)質(zhì)點的運動學方程為：F=acoscoti-^-bsincotj,a,b,

用以上規(guī)律解題。3為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點的合力總指向原點。

在直線加速參考系中：7*=呵證明：???

2222

在轉(zhuǎn)動參考系中：f*=marr,fk*-2mv'xa)a=dr/dt=-co{aCOSCDti+bsrna)tj)=-cor

5.質(zhì)心和質(zhì)心運動定理戶=〃疝=_〃屹2＞，.?.作用于質(zhì)點的合力總指向原點。

3.4.3在脫粒機中往往裝有振動魚鱗篩，一方

(2)Zk=rnac面由篩孔漏出谷粒，一方面逐出秸桿，篩面微微傾

(注意分量式的運用)斜，是為了從較低的一邊將秸桿逐出，因角度很小,

3.4.1質(zhì)量為2kg的質(zhì)點的運動學方程為可近似看作水平，篩面與谷粒發(fā)生相對運動才可能

r=(6r-l)f+(3r2+3f+l)J(單位:米，秒)，求證質(zhì)將谷粒篩出，若谷粒與篩面靜摩擦系數(shù)為0.4,問

點受恒力而運動，并求力的方向大小。篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面

''a=d~rIdt~=12z+6j,F=ma=24z+12j為發(fā)生相對運動？

一與時間無關(guān)的恒矢量，...質(zhì)點受恒力而運動。解：以地為參考系，設(shè)谷物的質(zhì)量為m,所受到

的最大靜摩擦力為/=Aomg,谷物能獲得的最大情況如圖所示,

加速度為

---------?<(I------------->?I-------------------?

a=f/m=g=0.4x9.8=3.92mis2工篩面水平方向其中，N；'=M,f；=f;N,fz=uJ?

mreerv

的加速度至少等于3.92米/秒2,才能使谷物與篩面2N2,選圖示坐標系o-xy,對mbm2

發(fā)生相對運動。分別應(yīng)用牛頓二定律，有

小乂=〃2⑼乂一班g=°