新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11 初等數(shù)論（九大題型）（原卷版）

秘籍11初等數(shù)論目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】整數(shù)與整除【題型二】同余與孫子定理【題型三】素?cái)?shù)和合數(shù)【題型四】算數(shù)基本定理【題型五】費(fèi)馬小定理及歐拉定理【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【題型七】平方數(shù)【題型八】高斯函數(shù)【題型九】不定方程概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)初等數(shù)論在新結(jié)構(gòu)試卷中，壓軸題出現(xiàn)了初等數(shù)論的相關(guān)問(wèn)題，這類問(wèn)題大多屬于閱讀理解題，學(xué)生不需要對(duì)數(shù)論知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行掌握，但是需要對(duì)題干所給的信息進(jìn)行理解分析，利用高中的方法解決相應(yīng)問(wèn)題，一般都出現(xiàn)在壓軸題，雖然屬于閱讀理解題，但基本數(shù)論的思維的拓展和應(yīng)用在短時(shí)間內(nèi)要想完全梳理明白也并非簡(jiǎn)單的事情，所以平時(shí)還是需要多鍛煉這類相關(guān)的試題。【題型一】整數(shù)與整除【例1】（2024·河北·一模）若一個(gè)兩位正整數(shù)SKIPIF1<0的個(gè)位數(shù)為4，則稱SKIPIF1<0為“好數(shù)”，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)SKIPIF1<0為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：SKIPIF1<0，例如SKIPIF1<0，稱數(shù)對(duì)SKIPIF1<0為“友好數(shù)對(duì)”，SKIPIF1<0，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的SKIPIF1<0的最大值為．【例2】一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“可愛(ài)數(shù)”.比如SKIPIF1<0，16就是一個(gè)“可愛(ài)數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開(kāi)始數(shù)起，第2023個(gè)“可愛(ài)數(shù)”是.【變式1】（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，如果非負(fù)整數(shù)n滿足SKIPIF1<0能被p整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”．(1)分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說(shuō)明理由；(2)判斷并證明在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”；(3)計(jì)算前SKIPIF1<0個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．【變式2】（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)SKIPIF1<0都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，SKIPIF1<0為質(zhì)數(shù)，SKIPIF1<0），例如：SKIPIF1<0，對(duì)應(yīng)SKIPIF1<0．現(xiàn)對(duì)任意SKIPIF1<0，定義莫比烏斯函數(shù)SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若正整數(shù)SKIPIF1<0互質(zhì)，證明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的所有真因數(shù)（除了1和SKIPIF1<0以外的因數(shù)）依次為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【題型二】同余與孫子定理【例1】已知正整數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有相同的個(gè)位數(shù)字，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【例2】“SKIPIF1<0”表示實(shí)數(shù)SKIPIF1<0整除實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，否則SKIPIF1<0，那么下列說(shuō)法正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0 D．存在SKIPIF1<0【變式1】已知正整數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有相同的個(gè)位數(shù)字，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【變式2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)SKIPIF1<0是素?cái)?shù)，集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0除以SKIPIF1<0的余數(shù)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0除以SKIPIF1<0的余數(shù)；設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩不同，若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底SKIPIF1<0的離散對(duì)數(shù)，記為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)對(duì)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0除以SKIPIF1<0的余數(shù)（當(dāng)SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除時(shí)，SKIPIF1<0）．證明：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0．對(duì)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【題型三】素?cái)?shù)和合數(shù)【例1】（22-23高三上·北京朝陽(yáng)·期中）已知點(diǎn)集SKIPIF1<0．設(shè)非空點(diǎn)集SKIPIF1<0，若對(duì)SKIPIF1<0中任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中存在一點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合），使得線段SKIPIF1<0上除了點(diǎn)SKIPIF1<0外沒(méi)有SKIPIF1<0中的點(diǎn)，則SKIPIF1<0中的元素個(gè)數(shù)最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】設(shè)整數(shù)a，m，n滿足SKIPIF1<0，則這樣的整數(shù)組SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為（

）A．無(wú)窮多個(gè) B．4個(gè) C．2個(gè) D．前三個(gè)答案都不對(duì)【變式1】（2023高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）求最小的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，可以將其表示成2023個(gè)正整數(shù)之積，即SKIPIF1<0，且滿足對(duì)任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0是素?cái)?shù)或者SKIPIF1<0．【變式2】（2023高二·全國(guó)·競(jìng)賽）正整數(shù)SKIPIF1<0稱為“好數(shù)”，如果對(duì)任意不同于SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，這里，SKIPIF1<0表示實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的小數(shù)部分.證明：存在無(wú)窮多個(gè)兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).【題型四】算數(shù)基本定理【例1】（高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)SKIPIF1<0是正2016邊形，從這2016個(gè)頂點(diǎn)中選出若干個(gè)使之能作為正多邊形的頂點(diǎn)，則不同的選法共有（

）A．2520種 B．3528種 C．4536種 D．6552種【例2】（高三上·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)SKIPIF1<0，集合T是S的n元子集，且其中任意兩個(gè)元素互質(zhì)，對(duì)任意符合要求的集合T，均至少包含一個(gè)質(zhì)數(shù)，則n的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【變式1】（高三·上?！じ?jìng)賽）若a、b、c、d為整數(shù)，且SKIPIF1<0，則有序數(shù)組（a，b，c，d）=.【變式2】四位數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互為反序的正整數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別有16個(gè)、12個(gè)正因數(shù)（包括1和本身），SKIPIF1<0的質(zhì)因數(shù)也是SKIPIF1<0的質(zhì)因數(shù)，但SKIPIF1<0的質(zhì)因數(shù)比SKIPIF1<0的質(zhì)因數(shù)少1個(gè)，求SKIPIF1<0的所有可能值.【題型五】費(fèi)馬小定理及歐拉定理【例1】（2024·河北滄州·一模）設(shè)SKIPIF1<0為非負(fù)整數(shù)，SKIPIF1<0為正整數(shù)，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0被SKIPIF1<0除得的余數(shù)相同，則稱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0對(duì)模SKIPIF1<0同余，記為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0為質(zhì)數(shù)，SKIPIF1<0為不能被SKIPIF1<0整除的正整數(shù)，則SKIPIF1<0，這個(gè)定理是費(fèi)馬在1636年提出的費(fèi)馬小定理，它是數(shù)論中的一個(gè)重要定理．現(xiàn)有以下4個(gè)命題：①SKIPIF1<0；②對(duì)于任意正整數(shù)SKIPIF1<0；③對(duì)于任意正整數(shù)SKIPIF1<0；④對(duì)于任意正整數(shù)SKIPIF1<0．則所有的真命題為（

）A．①④ B．② C．①②③ D．①②④【例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知素?cái)?shù)SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0為整數(shù)，其中SKIPIF1<0．【變式1】（23-24高三下·河北·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則SKIPIF1<0，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問(wèn)題：①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有SKIPIF1<0；②求方程SKIPIF1<0的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．【變式2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是正整數(shù)數(shù)列；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？并說(shuō)明理由.【題型六】拉格朗日定理及威爾遜定理【例1】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，試求SKIPIF1<0的值和SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)SKIPIF1<0圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于SKIPIF1<0．【變式1】對(duì)于正整數(shù)n，記SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的最大公因子為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則稱n是奇異的．證明：若n是奇異的，則SKIPIF1<0也是奇異的．【題型七】平方數(shù)【例1】（23-24高二上·遼寧·期末）已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為完全平方數(shù)，且SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0共有（）個(gè)A．1 B．12C．13 D．以上都不對(duì)【例2】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)SKIPIF1<0，若兩位數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為完全平方數(shù)，則稱SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，則具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)雙曲線Γ:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B，C在Γ上且直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)A.設(shè)SKIPIF1<0分別為Γ在B，C處的切線，點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0，則D的軌跡方程是;若D的橫縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，且二者之和大于2024，則D可以是.(寫(xiě)出1個(gè)即可).【變式2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求所有的正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為完全平方數(shù)．【題型八】高斯函數(shù)【例1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）積性函數(shù)SKIPIF1<0指對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有SKIPIF1<0的數(shù)論函數(shù)．則以下數(shù)論函數(shù)是積性函數(shù)的有（

）A．高斯函數(shù)SKIPIF1<0表示不大于實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大整數(shù)B．最大公約數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0表示正整數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的最大公約數(shù)（SKIPIF1<0是常數(shù)）C．冪次函數(shù)SKIPIF1<0表示正整數(shù)SKIPIF1<0質(zhì)因數(shù)分解后含SKIPIF1<0的冪次數(shù)（SKIPIF1<0是常數(shù)）D．歐拉函數(shù)SKIPIF1<0表示小于正整數(shù)SKIPIF1<0的正整數(shù)中滿足與SKIPIF1<0互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目【例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為．【變式1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，我們常用SKIPIF1<0來(lái)表示不超過(guò)SKIPIF1<0