三角恒等變換中角度范圍的確定方法總結(jié)講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

三角恒等變換中角度范圍的確定方法總結(jié)人教A版必修第一冊第五章第5.5節(jié)介紹了三角恒等變換.三角恒等變換解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,尋找代求式子與已知式子的關(guān)系,進(jìn)而運(yùn)用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.在轉(zhuǎn)換的過程中,有一點(diǎn)是十分重要的,就是確定角度的取值范圍.只有把某個(gè)角的取值范圍盡量縮小,才能得到準(zhǔn)確結(jié)果.如何縮小角的取值范圍?可以從以下幾方面入手.方法1:與特殊值進(jìn)行比較例1:在中,,,求.解析:由,得.由,得.則或.分析:在上述解法中,由于不清楚是銳角還是鈍角,所以有兩種取值,從而導(dǎo)致有兩個(gè)結(jié)果.事實(shí)上,由可得為銳角.進(jìn)一步,故.假設(shè)為鈍角,由,可知.此時(shí),矛盾.故為銳角.所以.故.顯然,為了確定是銳角還是鈍角,將的值與特殊值進(jìn)行比較,將的值與特殊值進(jìn)行比較,最終確定為銳角.例2:,,,.求.解析:易求得.由,得.又,故.由,,得,又,故,因此.從而.結(jié)合,得.由,得.結(jié)合,得.分析:將與特殊值進(jìn)行比較,確定;將與特殊值進(jìn)行比較,確定;將與特殊值進(jìn)行比較,確定.最終確定,從而得到.例3:在中,,,求.解析:將,分別兩邊同時(shí)平方,再相加得,即.結(jié)合可得或.若,則為銳角.由得.又,在單調(diào)遞減,所以,此時(shí),矛盾.綜上.分析:由可得或.如何取舍?觀察到,與特殊值進(jìn)行比較,確定.方法2:由倍角的范圍確定單角的范圍例4:若,,,,則解析:由得,結(jié)合得,故,且.由得,結(jié)合得.則.則又,所以.分析:首先由單角得到倍角,結(jié)合得,進(jìn)一步確定單角,最終確定,.例5:已知,,,,求.解析:由,結(jié)合得,故,且.結(jié)合,可得.又,所以.故.所以.由于,,所以,故.分析:首先由單角得到倍角,結(jié)合得,進(jìn)一步確定單角,最終確定,.方法3:借助三角形的性質(zhì)例6:在中,,求.解析:由得.所以或.又,故,所以.分析:對于三角形而言,不管是銳角,直角還是鈍角,均有.例7:在中,若,求.解析:由已知有,即,即,所以或若,則,,,結(jié)合,得.若,則,,,故.綜上.分析:對分銳角和鈍角兩種情況討論.若為銳角,可得,但是求出得到兩個(gè)均不在該范圍內(nèi);若為鈍角,可得,所以.練習(xí)1:已知,為銳角,,,求.參考答案:由,,在單調(diào)遞減,得.得.又,所以,則.故.練習(xí)2:在銳角中,,,求.解析:由已知有,,將兩個(gè)式子分別兩邊同時(shí)平方再相加得.由,得.由于,所以,因此.練習(xí)3:銳角滿足,則解析:因?yàn)?,,又,所以,所以,故.由得,即,.所以.上述三種方法是常見的縮小角度的方法.在實(shí)際解題中,要根據(jù)題目條件靈活處理,將角度的范圍確定在合理的區(qū)間內(nèi).當(dāng)然