5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求導(dǎo)函數(shù),并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的平均變化率對(duì)于函數(shù)y=f(x),設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx,相應(yīng)地,函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0+Δx).這時(shí),x的變化量為Δx,y的變化量為Δy=

.(x0+Δx)-x0f(x0+Δx)-f(x0)

平均變化率

名師點(diǎn)睛1.Δx是自變量的變化量,它可以為正,也可以為負(fù),但不能等于零,而Δy是相應(yīng)函數(shù)值的變化量,它可以為正,可以為負(fù),也可以等于零.2.函數(shù)平均變化率的物理意義:如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t),那么函數(shù)s(t)在t到t+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率就是物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均思考辨析函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率的幾何意義是什么?提示

已知P1(x1,f(x1)),P2(x1+Δx,f(x1+Δx))是函數(shù)y=f(x)的圖象上兩點(diǎn),則平均變化率

表示割線P1P2的斜率.自主診斷1.

如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率是(

)A.1B.-1C.2D.-2B2.[人教B版教材例題]求函數(shù)f(x)=x2在下列區(qū)間上的平均變化率.(1)[1,3];(2)以1和1+Δx為端點(diǎn)的閉區(qū)間.f(x)在以1和1+Δx為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的平均變化率為2+Δx.知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的概念1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)極限值

導(dǎo)數(shù)

2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=x0時(shí),f'(x0)是一個(gè)確定的數(shù),當(dāng)x變化時(shí),y=f'(x)就是x的函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的

(簡稱

),y=f(x)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)

名師點(diǎn)睛對(duì)于導(dǎo)數(shù)f'(x0)的概念,注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在;(2)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念,它只與函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近的函數(shù)值有關(guān),與Δx無關(guān).思考辨析導(dǎo)數(shù)f'(x0)與導(dǎo)函數(shù)f'(x)有什么區(qū)別與聯(lián)系?提示

f'(x0)是指函數(shù)y=f(x)在x=x0時(shí)的瞬時(shí)變化率,是一個(gè)確定的數(shù);導(dǎo)函數(shù)f'(x)是針對(duì)函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間上而言,它是一個(gè)確定的函數(shù),依賴于函數(shù)本身.f'(x0)是導(dǎo)函數(shù)f'(x)當(dāng)x=x0時(shí)的函數(shù)值.自主診斷1.[北師大版教材習(xí)題]已知函數(shù)y=,求自變量x在以下的變化過程中,該函數(shù)的平均變化率:(1)自變量x從1變到1.1;(2)自變量x從1變到1.01;(3)自變量x從1變到1.001.估算當(dāng)x=1時(shí),該函數(shù)的瞬時(shí)變化率.2.已知函數(shù)f(x)=x2的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=2x,則f'(1)=

.2解析

f'(1)=2×1=2.知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖,在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x)),如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí),割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置,這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)P0處的

.則割線P0P的斜率切線

記Δx=x-x0,當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)P0時(shí),即當(dāng)Δx→0時(shí),k無限趨近于函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).因此,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f

'(x0)就是切線P0T的斜率k0,即k0==f

'(x0).這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.函數(shù)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率

思考辨析1.如何求曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程?提示

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線在該點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率,再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程.2.曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)?提示

不一定.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線l與曲線y=f(x)的交點(diǎn)不一定只有一個(gè),如圖所示.自主診斷1.[蘇教版教材習(xí)題]已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程是

,求f(1)+f'(1)的值.2.[人教B版教材例題]已知函數(shù),求曲線y=f(x)在(2,f(2))處切線的方程.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的平均變化率(1)[1,3];(2)[-4,-2];(3)[x0,x0+Δx].分析根據(jù)平均變化率的定義求解.規(guī)律方法

求函數(shù)平均變化率的步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的變化量Δy=f(x1)-f(x0);(2)再計(jì)算自變量的變化量Δx=x1-x0;變式訓(xùn)練1(1)[2024廣東梅州高二期末]函數(shù)f(x)=x3+1在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為(

)A.1 B.2

C.7 D.9C(2)[2024廣東廣州高二階段檢測]已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.設(shè)函數(shù)y=f(x)從-1到1的平均變化率為v1,從1到2的平均變化率為v2,則v1與v2的大小關(guān)系為(

)A.v1>v2

B.v1=v2C.v1<v2

D.不能確定C探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】

[蘇教版教材例題]已知f(x)=x2+2.求:(1)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1);(2)f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)f'(a).所以f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于2,即f'(1)=2.所以f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)等于2a,即f'(a)=2a.變式探究求函數(shù)f(x)=x2+2的導(dǎo)函數(shù).規(guī)律方法

1.利用定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的步驟給定函數(shù)y=f(x)↓2.求函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),通?？梢杂袃煞N方法:一是直接利用函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的定義求解;二是先利用導(dǎo)數(shù)的定義求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在x0處的函數(shù)值.變式訓(xùn)練2已知f(x)=x2-3x,則f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0C探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)定義式的理解與應(yīng)用等于(

)A.-4 B.-2 C.2

D.4D規(guī)律方法

由導(dǎo)數(shù)的定義可知,若函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),則C探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用角度1.求切線方程【例4-1】

已知曲線C:y=x3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x=1的點(diǎn)處的切線方程;(2)求曲線C過點(diǎn)P(1,1)的切線方程.解

(1)將x=1代入曲線C的方程得y=1,∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).∴k=y'|x=1=3.∴曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)幾何意義研究切線方程的方法(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程的步驟①求函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),即切線的斜率;②根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題時(shí),一定要注意所給的點(diǎn)是否恰好在曲線上.若點(diǎn)在曲線上,則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是該點(diǎn)處的切線的斜率.變式訓(xùn)練4[2024四川瀘州高二期末]若經(jīng)過點(diǎn)P(2,8)作曲線y=x3的切線,則切線方程為(

)A.12x-y-16=0B.3x-y+2=0C.12x-y+16=0或3x-y-2=0D.12x-y-16=0或3x-y+2=0D角度2.根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)【例4-2】

在曲線y=x2上某點(diǎn)P處的切線滿足下列條件,分別求出點(diǎn)P.(1)平行于直線y=4x-5;(2)垂直于直線2x-6y+5=0;(3)與x軸成135°的傾斜角.設(shè)P(x0,y0)是滿足條件的點(diǎn).(1)∵切線與直線y=4x-5平行,∴2x0=4,得x0=2,y0=4,此時(shí)切線方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,與直線y=4x-5平行,∴P(2,4)是滿足條件的點(diǎn).規(guī)律方法

根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0);(2)求導(dǎo)函數(shù)f'(x);(3)求切線的斜率f'(x0);(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程,解方程求x0;(5)將x0代入f(x)求y0,得切點(diǎn)坐標(biāo).變式訓(xùn)練5已知曲線y=2x2-7在點(diǎn)P處的切線方程為8x-y-15=0,求切點(diǎn)P的坐標(biāo).由題意可知4m=8,則m=2,代入y=2x2-7,得n=1.故所求切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)函數(shù)的平均變化率.(2)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.(3)導(dǎo)函數(shù)的概念.(4)曲線在某點(diǎn)(或過某點(diǎn))的切線問題.2.方法歸納:定義法,極限思想、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):(1)利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)易忽視分子、分母的對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)求切線時(shí)容易忽視先檢驗(yàn)點(diǎn)是否在曲線上.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234C12342.曲線f(x)=在點(diǎn)(3,3)處的切線的傾斜角α等于(

)A.45°

B.60° C.135°

D.120°C又切線的傾斜角α的范圍為0°≤α<180°,所以所求傾斜角α=135°.1