高一數(shù)學(xué)必修第二冊同步學(xué)與練（人教版）第01講 有限樣本空間與隨機(jī)事件、事件的關(guān)系和運(yùn)算（解析版）

第01講10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件+10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解隨機(jī)試驗(yàn)的概念及特點(diǎn)。②理解樣本點(diǎn)和樣本空間，會求所給試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間。③理解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質(zhì)。1.數(shù)學(xué)建模：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)及樣本空間的概念2.邏輯推理：分析隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間4.數(shù)據(jù)分析：會求所給試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間；知識點(diǎn)1：有限樣本空間1.1．隨機(jī)試驗(yàn)(1)定義：把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)．(2)特點(diǎn)：①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．1.2．樣本點(diǎn)和樣本空間(1)定義：我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．【即學(xué)即練1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：.【答案】（答案不唯一）【詳解】從袋中任取個(gè)球，共有如下情況.其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.故答案為：.(答案不唯一)知識點(diǎn)2：事件的分類(1)隨機(jī)事件：①我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．②隨機(jī)事件一般用大寫字母，，，…表示．③在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．(2)必然事件：作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．(3)不可能事件：空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件．知識點(diǎn)3：事件的關(guān)系3.1包含關(guān)系一般地，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，稱事件包含事件(或事件包含于事件)，記作：(或)圖示3.2相等關(guān)系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等，記作：；圖示知識點(diǎn)4：事件的運(yùn)算4.1并事件(或和事件)一般地，事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個(gè)事件為事件與事件的并事件(或和事件)，記作：(或).圖示：4.2交事件(或積事件)一般地，事件與事件同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件中，也在事件中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件與事件的交事件(或積事件)，記作：(或).圖示：【即學(xué)即練2】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）擲一枚骰子，下列事件：擲出奇數(shù)點(diǎn)，擲出偶數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)小于.則①；②.【答案】擲出點(diǎn)擲出點(diǎn)【詳解】因?yàn)閿S出奇數(shù)點(diǎn)，擲出偶數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)小于，所以擲出點(diǎn)，擲出點(diǎn).故答案為：擲出點(diǎn)；擲出點(diǎn).知識點(diǎn)5：互斥事件與對立事件5.1互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，也就是說是一個(gè)不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)，符號表示：.圖示：5.2對立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立，事件的對立事件記為，符號表示：，且.圖示：【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則互斥事件和B的關(guān)系是（

）A． B．是對立事件C．不是對立事件 D．【答案】B【詳解】由題意，事件與是互斥事件，則，則是對立事件.故選：B知識點(diǎn)6：事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義及符號表示事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生并事件(和事件)與至少一個(gè)發(fā)生或交事件(積事件)與同時(shí)發(fā)生或互斥(互不相容)與不能同時(shí)發(fā)生互為對立與有且僅有一個(gè)發(fā)生，題型01事件類型的判斷【典例1】（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對擲一粒骰子的試驗(yàn)，在概率論中把“出現(xiàn)零點(diǎn)”稱為（）A．樣本空間 B．必然事件 C．不可能事件 D．隨機(jī)事件【答案】C【詳解】解：對擲一粒骰子的試驗(yàn)，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為：1，2，3，4，5，6，所以在擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)零點(diǎn)是不可能事件，故選：C．【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【詳解】12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件，次品的個(gè)數(shù)可能為，正品的個(gè)數(shù)分別為，因此只有“至少有1件正品”一定會發(fā)生，它是必然事件，ABC三個(gè)選項(xiàng)中的事件都有可能不發(fā)生．故選：D．【典例3】（多選）（2024上·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，其中是隨機(jī)事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品【答案】AB【詳解】在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是隨機(jī)事件，A、B正確，在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，則“有3件次品”不是隨機(jī)事件，是不可能事件，C錯(cuò)誤；在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中取5件，則“至少有3件正品”為必然事件，不是隨機(jī)事件，D錯(cuò)誤.故選：AB【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根【答案】B【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球的大小、質(zhì)地完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出4個(gè)球，則下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球B．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球C．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球D．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球【答案】B【詳解】因?yàn)榇杏写笮?、質(zhì)地完全相同的5個(gè)黑球和3個(gè)白球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況.故事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球”是必然事件，故B正確；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列現(xiàn)象中，隨機(jī)現(xiàn)象有哪些？（1）某射手射擊一次，射中10環(huán)；（2）同時(shí)擲兩顆骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)；（3）某人購買福利彩票未中獎(jiǎng)；（4）若x為實(shí)數(shù)，則.【答案】（1）（2）（3）【詳解】某射手射擊一次，射中10環(huán)是隨機(jī)事件；同時(shí)擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點(diǎn)是隨機(jī)事件；某人購買福利彩票未中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件；若為實(shí)數(shù)，則是必然事件．題型02樣本點(diǎn)與樣本空間【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結(jié)果；(3)連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和；(4)設(shè)袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，從中不放回地逐個(gè)取出，直至白球全取出，記錄取球的次數(shù)．【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面(2)答案見解析；(3)；(4)．【詳解】（1）第一次硬幣向上面與第二次硬幣向上的面構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面（2）四個(gè)同學(xué)的一個(gè)排列構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；（3）第一枚骰子和第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)和構(gòu)成一個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為：；（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，樣本空間為：．【典例2】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）做投擲2枚均勻骰子的試驗(yàn)，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：(1)試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含的樣本點(diǎn)；(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含的樣本點(diǎn)；(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含的樣本點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【詳解】（1）試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)樣本點(diǎn)：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).【典例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）指出下列試驗(yàn)的樣本空間：(1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球；(2)從1，3，6，10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差．【答案】(1){紅球，白球}，{紅球，黑球}，{白球，黑球}(2)【詳解】（1）由題意可得：{紅球，白球}，{紅球，黑球}，{白球，黑球}.（2）由題意可知：；；；；；；即試驗(yàn)的樣本空間．【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”記為事件A，試分別寫出樣本空間及事件A所包含的樣本點(diǎn)．【答案】答案見解析【詳解】記“拋擲一顆骰子，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是k”為，則，．【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）拋擲兩枚硬幣，用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，寫出試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間．【答案】答案見解析【詳解】解將第一枚硬幣視為硬幣1，第二枚硬幣視為硬幣2，則試驗(yàn)有4個(gè)樣本點(diǎn)，它們分別是HH：硬幣1正面朝上，硬幣2正面朝上；HT：硬幣1正面朝上，硬幣2反面朝上；TH：硬幣1反面朝上，硬幣2正面朝上；TT：硬幣1反面朝上，硬幣2反面朝上．因此，樣本空間．【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從兩名男生（記為和）和兩名女生（記為和）這四人中依次選取兩名學(xué)生．(1)請寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間；(2)請寫出不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）有放回簡單隨機(jī)抽樣時(shí)，樣本空間為：,共16個(gè)樣本點(diǎn).（2）不放回簡單隨機(jī)抽樣時(shí)，樣本空間為：,共12個(gè)樣本點(diǎn).題型03事件的關(guān)系【典例1】（2023上·河南信陽·高二潢川一中?？茧A段練習(xí)）同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關(guān)系【答案】C【詳解】由同時(shí)拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.【典例2】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中；=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.（1）與互斥；（2），為對立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F(xiàn)為對立事件；（9）；（10）【答案】（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正確；（9）正確；（10）正確.【詳解】解：該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,由題意知,,,,,.（1）,,滿足,所以與互斥,故正確；（2）,,滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯(cuò)誤；根據(jù)對應(yīng)的集合易得,（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）,所以,故正確；（7）,故正確；（8）因?yàn)?,所以E,F為對立事件,故正確；（9）正確；（10）正確.【變式1】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）同時(shí)拋擲兩枚硬幣，“向上面都是正面”為事件M，“至少有一枚的向上面是正面”為事件N，則有（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】事件N包含兩種結(jié)果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以當(dāng)M發(fā)生時(shí),事件N一定發(fā)生,則有.故選：A.【變式2】（2022下·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D題型04事件的運(yùn)算【典例1】（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】表示“點(diǎn)數(shù)為2”，表示“點(diǎn)數(shù)5”，表示“點(diǎn)數(shù)為3或2或1或4或6”，表示“點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5或6”，故選：B【典例2】（2022上·海南省直轄縣級單位·高二?？计谀┰O(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來．(1)三個(gè)事件都發(fā)生；(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生．【答案】(1)ABC(2)(3)(4)【詳解】解：（1）三個(gè)事件都發(fā)生表示為ABC；（2）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生表示為；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；（4）恰好有兩個(gè)發(fā)生表示為．【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）盒中有標(biāo)號1~3的同樣白球各1個(gè)，標(biāo)號1~2的同樣黑球各1個(gè)，從中倒出3個(gè)，觀察結(jié)果，寫出樣本空間.(1)用集合A表示事件“3個(gè)都是白球”；(2)用集合B表示事件“至少2個(gè)白球”；(3)用集合C表示事件“至少1個(gè)白球”；(4)計(jì)算，，，（其中表示屬于集合，且不屬于集合），并解釋它們的含義.【答案】(1)；(2)，，，，，，；(3)，，，，，，，，，；(4)答案見解析.【詳解】（1）記標(biāo)號的白球?yàn)?，，，?biāo)號的黑球?yàn)?，，則樣本空間，，，，，，，，，，所以.（2）由（1）得，，，，，，.（3）由（1）得，，，，，，，，，.（4）“至少2個(gè)白球”，“3個(gè)都是白球”，“不可能事件”，“1個(gè)白球”．【變式1】（2023上·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期中）某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩次都投中”，事件B表示隨機(jī)事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得：事件A表示表示“兩次都投中”；事件B表示“兩次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項(xiàng)A正確；事件B和事件D是對立事件，故，所以選項(xiàng)B正確；事件表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件表示“兩次都未投中”、“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；事件表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項(xiàng)D正確；故選：C.【變式2】（2023上·新疆·高二八一中學(xué)?？计谥校┻B續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意得，事件，事件，事件，事件.則，；（2）由（1）知，事件，，因?yàn)?，所?【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）拋擲兩枚骰子，一枚是紅色的，一枚是藍(lán)色的．設(shè)“紅骰子的點(diǎn)數(shù)是2”，“藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)是3”．(1)寫出樣本空間，并用樣本點(diǎn)表示事件A，B；(2)計(jì)算；(3)計(jì)算．【答案】(1)答案見解析；(2)“紅骰子是2點(diǎn)，藍(lán)骰子是3點(diǎn)”；(3)“紅骰子是2點(diǎn)或藍(lán)骰子是3點(diǎn)”.【詳解】（1）用表示紅骰子的點(diǎn)數(shù)是i，藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)是j，則試驗(yàn)的樣本空間是．依題意，.（2）“紅骰子是2點(diǎn)，藍(lán)骰子是3點(diǎn)”．（3）“紅骰子是2點(diǎn)或藍(lán)骰子是3點(diǎn)”．題型05互斥事件與對立事件的判定【典例1】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀S一枚骰子，設(shè)事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2；：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)，則下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．和有可能同時(shí)發(fā)生 B．和是對立事件C．和是對立事件 D．和是互斥事件【答案】C【詳解】依題意，事件，對于A，事件和有相同的基本事件：點(diǎn)數(shù)3，A正確；對于B，事件和不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，則和是對立事件，B正確；對于C，事件和不能同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，則和不是對立事件，C錯(cuò)誤；對于D，事件和不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，D正確.故選：C【典例2】（多選）（2024上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（

）A． B．與是互斥事件C． D．與是互斥事件，且是對立事件【答案】AD【詳解】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”；事件為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“兩次都沒中靶”；故，與不是互斥事件，與是互斥事件，且是對立事件，.故選:：AD.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”.試判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，判斷它們是不是對立事件.（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C.【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也對立；（3）不互斥；（4）不互斥；【詳解】（1）由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中，有可能“只訂甲報(bào)”，即事件A與C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件.（2）事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件，又因市民要么“至少訂一種報(bào)紙”，要么“一種也不訂”，故B與E是對立事件.（3）事件B“至少訂一種報(bào)紙”中，有可能“只訂乙報(bào)紙”，即有可能“不訂甲報(bào)紙”，即事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.（4）事件B“至少訂一種報(bào)紙”中，有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”“訂甲、乙兩種報(bào)紙”；事件C“至多訂一種報(bào)紙”中，有這些可能：“什么報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”，由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件.【變式1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，則和（

）A．是對立事件 B．不是互斥事件C．互斥但不是對立事件 D．是不可能事件【答案】C【詳解】事件表示“3粒種子全部發(fā)芽”，事件表示“3粒種子都不發(fā)芽”，所以事件和事件不會同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，因?yàn)?粒種子可能只發(fā)芽1粒，所以事件和事件可以都不發(fā)生，則和不是對立事件.故選：C【變式2】（2024上·遼寧鐵嶺·高一?？计谀仈S一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)為1”.則下列結(jié)論不正確的是（

）A．E，F(xiàn)為對立事件 B．G，H為互斥不對立事件C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件【答案】B【詳解】E，F(xiàn)是對立事件，選項(xiàng)A正確；G，H為互斥且對立事件，選項(xiàng)B不正確；E，G不互斥，選項(xiàng)C正確；G，R為互斥事件，選項(xiàng)D正確.故選：B.【變式3】（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全是男生”（

）A．是互斥事件 B．不是互斥事件 C．是對立事件 D．不是對立事件【答案】AC【詳解】從3男2女中人選2名同學(xué)，一共會出現(xiàn)的抽取情況為：2男，或者2女，或者1男1女，至少一名女生包括一名或兩名女生，全是男生相當(dāng)于女生數(shù)為零，兩者間是互斥事件也是對立事件.故選：ACA夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·山東濰坊·高二臨朐縣第一中學(xué)期末）一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球和個(gè)黑球，下列事件中，是獨(dú)立事件的是（

）A．第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸兩個(gè)球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球【答案】B【詳解】解：對于選項(xiàng)A，第一次摸出的是白球與第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是獨(dú)立事件；對于選項(xiàng)B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，兩者不受影響，是獨(dú)立事件；對于選項(xiàng)C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影響，不是獨(dú)立事件；對于選項(xiàng)D，一次摸兩個(gè)球，共摸兩次，第一次摸出顏色相同的球與第一次摸出顏色不同的球，有影響，不是獨(dú)立事件，故選：B.2．（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）一副撲克牌（含大王、小王）共54張，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4張，從該副撲克牌中隨機(jī)取出兩張，事件“取出的牌有兩張6”，事件“取出的牌至少有一張黑桃”，事件“取出的牌有一張大王”，事件“取出的牌有一張紅桃6”，則（

）A．事件A與事件互斥 B．事件與事件互斥C．事件與事件互斥 D．事件A與事件互斥【答案】D【詳解】ABC選項(xiàng)，因?yàn)槭录嗀與事件，事件與事件，事件與事件都可以同時(shí)發(fā)生，所以A，B，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，因?yàn)槿〕龅呐朴袃蓮?的同時(shí)不可能再有一張大王，所以事件A與事件C互斥.故選：D3．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，下列事件中與事件“至少一次正面向上”互為對立事件的是（

）A．至多一次正面向上 B．兩次正面都向上C．只有一次正面向上 D．兩次都沒有正面向上【答案】D【詳解】將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲兩次，有：正正，正反，反正，反反，共4種可能，事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，對A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；對B：事件“兩次正面都向上”即：正正，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；對C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，與事件“至少一次正面向上”不是對立事件；對D：事件“兩次都沒有正面向上”即：反反，與事件“至少一次正面向上”是對立事件.故選：D.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球【答案】C【詳解】對于A，至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對于B，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對于C，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個(gè)事件，C是；對于D，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不是.故選：C5．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】表示“點(diǎn)數(shù)為2”，表示“點(diǎn)數(shù)5”，表示“點(diǎn)數(shù)為3或2或1或4或6”，表示“點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5或6”，故選：B6．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高二?？计谀恼暹呅蔚奈鍌€(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選擇三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，記“這個(gè)三角形是等腰三角形”為事件，則下列推斷正確的是（

）A．事件發(fā)生的概率等于 B．事件發(fā)生的概率等于C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件【答案】D【詳解】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可知任取三個(gè)頂點(diǎn)連成的三角形一定是等腰三角形，所以事件是必然事件．故選：D．

7．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）對滿足的非空集合、，有下列四個(gè)命題：①“若任取，則”是必然事件；

②“若，則”是不可能事件；③“若任取，則”是隨機(jī)事件；

④“若，則”是必然事件.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】①：因?yàn)椋?，所以，因此“若任取，則”是必然事件，故本命題是真命題；②：當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，顯然存在一個(gè)元素在集合中，不在集合中，因此“若，則”是隨機(jī)事件，故本命題是假命題；③：任取，當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，有可能成立，也可能不成立，因此“若任取，則”是隨機(jī)事件,故本命題是真命題；④：因?yàn)?，所以一定有，顯然“若，則”是必然事件，故本命題是真命題．因此①③④為真命題.故選：B8．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件（

）A．既互斥又對立 B．互斥但不對立 C．對立但不互斥 D．既不互斥也不對立【答案】B【詳解】由題意知事件：向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件：向上的點(diǎn)數(shù)是6，則事件與事件不會同時(shí)發(fā)生，故二者互斥，當(dāng)M不發(fā)生時(shí)，N也不一定發(fā)生，因?yàn)榭赡苁峭稊S出向上的點(diǎn)數(shù)為2或4，故二者不對立，故選：B二、多選題9．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？计谥校⒁幻顿|(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“記下的點(diǎn)數(shù)為3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)大于2”，則（

）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．事件與對立 D．事件與對立【答案】ABD【詳解】依題意骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)可能為、、、、、共個(gè)基本事件，則事件“記下的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含、、共個(gè)基本事件，事件“記下的點(diǎn)數(shù)小于3”包含、共個(gè)基本事件，事件“記下的點(diǎn)數(shù)大于2”包含、、、共個(gè)基本事件，所以事件與互斥，故A正確；事件與互斥，故B正確；事件與不互斥也不對立，故C錯(cuò)誤；事件與互斥且對立，故D正確；故選：ABD10．（2023上·廣東湛江·高二?？奸_學(xué)考試）下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）A．若事件是互斥事件，則是對立事件B．若事件是對立事件，則是互斥事件C．若事件是必然事件，則D．若事件是互斥事件，則【答案】BC【詳解】對于A，互斥事件不一定是對立事件，故A選項(xiàng)不符合題意，對于B，對立事件一定是互斥事件，故B選項(xiàng)符合題意，對于C，因?yàn)槭录潜厝皇录?，故C選項(xiàng)符合題意，對于D，若事件是互斥事件，則只有當(dāng)事件是對立事件時(shí)才有，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：BC.三、填空題11．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色．事件A表示隨機(jī)事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示隨機(jī)事件“抽出的牌是紅心”，事件C表示隨機(jī)事件“抽出的牌是方片”，事件D表示隨機(jī)事件“抽出的牌是草花”，下列說法中正確的序號是．（1）A，B，C，D彼此互斥；（2）A與D，B與C是對立事件；（3）A的對立事件是；（4）的對立事件為；（5）與為互斥事件，但不是對立事件．【答案】（1）（3）（4）．【詳解】（1）A，B，C，D四個(gè)事件只能發(fā)生一個(gè)，不可能有兩個(gè)同時(shí)發(fā)生，它們彼此互斥，（1）正確；（2）當(dāng)發(fā)生時(shí)，和都不發(fā)生，因此不是對立事件，（2）錯(cuò)；（3）事件A和事件不可能同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，它們是對立事件，（3）正確；（4）事件和事件不可能同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，它們是對立事件，（4）正確；（5）事件和事件不可能同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，它們是對立事件，（5）錯(cuò)誤．故答案為：（1）（3）（4）．12．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝.(用B，C，D間的運(yùn)算關(guān)系式表示)

【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)【詳解】燈亮必須形狀開關(guān)I閉合，開關(guān)II和III中至少有一個(gè)閉合，因此．故答案為：．也可寫成：．四、解答題13．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來．(1)三個(gè)事件都發(fā)生；(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生．【答案】(1)ABC(2)(3)(4)【詳解】解：（1）三個(gè)事件都發(fā)生表示為ABC；（2）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生表示為；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；（4）恰好有兩個(gè)發(fā)生表示為．14．（2023下·山東菏澤·高一?？茧A段練習(xí)）已知某校高一、高二、高三三個(gè)年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為180，120，120．現(xiàn)采用樣本按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取7名同學(xué)去敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從高一、高二、高