高一數(shù)學必修第二冊同步學與練（人教版）第02講 分層隨機抽樣、獲取數(shù)據(jù)的途徑（解析版）

第02講9.1.2分層隨機抽樣+9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑課程標準學習目標①理解分層隨機抽樣的概念。②掌握用分層隨機抽樣從總體中抽取樣本。③掌握兩種抽樣的區(qū)別與聯(lián)系。④知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等．.知道獲取數(shù)據(jù)的途徑包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等．了解數(shù)據(jù)的隨機性．。通過閱讀課本抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性．簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性，有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本．例如，在對某中學高一年級學生身高的調(diào)查中，可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或矮個子的情形．這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度地偏離總體平均數(shù)，從而使得估計出現(xiàn)較大的誤差．能否利用總體中的一些額外信息對抽樣方法進行改進呢？知識點01：分層隨機抽樣的概念及特點（1）分層隨機抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分為若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個字總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.（2）分層隨機抽樣的特點①從分層隨機抽樣的定義可看出，分層隨機抽樣適用于總體由差異明顯的幾個部分組成的情況.②分層隨機抽樣是等可能抽樣.用分層隨機抽樣從個體數(shù)為的總體中抽取一個容量為的樣本時，在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性相等，都等于.③分層隨機抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表注，更能充分反映總體的情況，在實踐中的應(yīng)用也更廣泛.（3）對分層抽樣的“層”的理解在分層抽樣中，將具有某種共同特征的對象歸為同一層，不同層之間的對象要有明顯的差異，并且這些特征的差異應(yīng)該是對所研究的問題有影響的例如，要從某中學抽取一些學生構(gòu)成一個樣本，如果研究他們的視力情況，那么應(yīng)該按照年齡分層，或按照年級分層，都是合理的分層方式；但如果按照性別分層，就不合適了，因為性別對視力的影響可能是很小的，如果研究他們對籃球運動的興趣，那么按照性別分層就比按年齡或年級分層會更合理在實際中，對于一些復(fù)雜的問題，可能還需要對層內(nèi)再進一步細分層.知識點02：分層隨機抽樣的步驟①根據(jù)己經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；②根據(jù)總體中的個體數(shù)和樣本量計算抽樣比；③確定第層應(yīng)該抽取的個體數(shù)目（為第層所包含的個體數(shù)），使得各之和為；④在各個層中，按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機抽取個體，合在一起得到容量為的樣本.【即學即練1】（2024上·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）某學校高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級中抽取18人參加全市主題研學活動，則應(yīng)從高三抽取（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【詳解】采用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級中抽取18人，已知高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，則應(yīng)從高三抽取的人數(shù)為.故選：C.知識點03：簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)總體由差異明顯的幾部分組成知識點04：分層隨機抽樣的平均數(shù)在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別為和.我們用QUOTE表示第1層各個個體的變量值，用QUOTE表示第1層樣本的各個個體的變量值；用QUOTE表示第2層各個個體的變量值，用QUOTE表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為.由于用第1層的樣本平均數(shù)QUOTE??可以估計第1層的總體平均數(shù)QUOTE??，用第2層的樣本平均數(shù)QUOTE??可以估計第2層的總體平均數(shù)QUOTE??，因此可以用.【即學即練2】（2024·全國·高三專題練習）某學校高一年級在校人數(shù)為600人，其中男生320人，女生280人，為了解學生身高發(fā)展情況，按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為，抽取50名女生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為，則該校高一學生的平均身高的估計值為．【答案】【詳解】由題意可知，，且所以樣本平均數(shù)，故該校高一學生的平均身高的估計值為．故答案為：.知識點05：獲取數(shù)據(jù)的途徑在實際統(tǒng)計調(diào)查中，一般先要確定調(diào)查的目的、對象，即統(tǒng)計調(diào)查要解決的問題和需要調(diào)查的總體；還要確定好調(diào)查的項目，也就是要統(tǒng)計的變量.接下來就開始收集數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)的基本途徑如下：（1）通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)設(shè)計調(diào)查問卷：調(diào)查問卷一般由一組有目的、有系統(tǒng)、有順序的題目組成.問題由調(diào)查人員根據(jù)調(diào)查的目的、項目進行設(shè)計設(shè)計調(diào)查問卷的注意事項：①問題要具體，有針對性，使受調(diào)查者能夠容易作答.②語言簡單、準確，含義清楚，避免出現(xiàn)有歧義或意思含混的句子③題目不能出現(xiàn)引導受調(diào)查者答題傾向的語句④設(shè)計問題時要注意“如何得到敏感性問題的誠實回答”.（2）通過試驗獲取數(shù)據(jù)根據(jù)調(diào)查項目的要求設(shè)計一些合適的試驗，能夠直接地獲得樣本數(shù)據(jù).試驗時要注意準備好試驗用具（或組織好觀測的對象)、指定專門的記錄人員等.做試驗通常能得到可靠的數(shù)據(jù)資料，但需花費的人力、物力、時間較多，有時帶有破壞性.（3）通過觀察獲取數(shù)據(jù)對于有些現(xiàn)象，不能用試驗或者抽樣等方法來獲取數(shù)據(jù)，只能通過長久持續(xù)的觀察獲取，主要是一些自然現(xiàn)象，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等.一般地，通過觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，其中蘊含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，需要通過統(tǒng)計學理論和方法來挖掘.（4）通過查詢獲得數(shù)據(jù)有些數(shù)據(jù)資料不容易直接調(diào)查得到，這時可以通過查閱統(tǒng)計年鑒、圖書館文獻等方法獲得所需或相關(guān)的數(shù)據(jù)，比如全國歷次人口普查的數(shù)據(jù)都可以在統(tǒng)計年鑒中查閱到；還可以通過互聯(lián)網(wǎng)上的資源得到數(shù)據(jù)資料.題型01分層隨機抽樣概念的理解及應(yīng)用【典例1】（2024上·安徽阜陽·高一期末）年某高校有名畢業(yè)生參加國家公務(wù)員考試，其中?？粕腥?，本科生有人，研究生有人，現(xiàn)用分層抽樣的方法調(diào)查這些學生利用因特網(wǎng)查找學習資料的情況，從中抽取一個容量為的樣本，已知從專科生中抽取的人數(shù)為人，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】每個個體被抽到的概率為，則.故選：C.【典例2】（2024·廣東·高三學業(yè)考試）某校高中生共有人，其中高一年級人，高二年級人，高三年級人，現(xiàn)采取分層抽樣法抽取容量為的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為（）A．6，12，9 B．9，9，9C．3，9，15 D．9，12，6【答案】D【詳解】依題意高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.故選：D【典例3】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ行兄袑W?？计谀┠承聦W校高一、高二、高三共有學生950名，為了了解同學們的興趣愛好，計劃采用分層抽樣的方法，從這950名學生中抽取一個樣本容量為190的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個以為公比的等比數(shù)列，則此學校高一年級的學生人數(shù)為人.【答案】【詳解】因為高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好組成一個以為公比的等比數(shù)列，設(shè)從高二年級抽取的學生人數(shù)為人，則從高二、高三年級抽取的人數(shù)分別為，由題意可得，解得，，設(shè)我校高一年級的學生人數(shù)為N，再根據(jù)，求得.故答案為：.【變式1】（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）樹人中學高一年級有712名學生，男生有326名，女生有386名，想抽取樣本了解高一年級的平均身高，為減少“極端”樣本的出現(xiàn)，你認為比較合適的抽樣方法為（

）A．抽簽法 B．隨機數(shù)法 C．分層抽樣 D．其他方法【答案】C【詳解】為減少“極端”樣本的出現(xiàn)，可按照男生與女生的比例抽取，因此用分層抽樣.故選：C.【變式2】（2024上·全國·高三期末）某學校采用分層隨機抽樣方法，抽取一定數(shù)量的高中學生參加安全知識競賽，若得到的樣本中高二的學生數(shù)量比高一多人、比高三少人，且全校高一、高三學生數(shù)之比為，則樣本容量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)樣本中高二的學生數(shù)量為，則樣本中高一的學生數(shù)量為，樣本中高三的學生數(shù)量為，因為全校高一、高三學生數(shù)之比為，所以，解得，則樣本容量為，故選：D.【變式3】（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）某校高二年級選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學生中選出72人參加一項活動，則“史政生”組合中選出的學生人數(shù)為.【答案】8【詳解】由題意，，設(shè)在“史政生”組合中應(yīng)選出的學生人數(shù)為，則根據(jù)按比例分配分層抽樣可得，解得.故“史政生”組合中選出的學生人數(shù)為.故答案為：.題型02分層隨機抽樣中的相關(guān)運算【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）某學校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學生參加體育運動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學生中共抽取50名學生，則男、女學生的樣本容量分別為（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18【答案】D【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽?。ㄈ耍渤槿。ㄈ耍蔬x：D．【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預(yù)測）以“塑造軟件新生態(tài)，賦能發(fā)展新變革”為主題的第二十五屆中國國際軟件博覽會于2023年8月31日在天津開幕.本次參會人員分不同區(qū)域落座，其中某個區(qū)域的男性參會人員有25人，女性參會人員有15人，現(xiàn)按性別比例進行分層抽樣，若從該區(qū)域隨機抽取16位參會人員，則女性參會人員應(yīng)抽取的人數(shù)為.【答案】6【詳解】由題意得分層比為，則女性參會人員應(yīng)抽取的人數(shù)為.故答案為：6【典例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某高中學校共有學生3600人，為了解某次數(shù)學文化知識競賽的得分情況，采用分層抽樣的方法從這3600名學生中抽取一個容量為48的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)組成一個以4為公差的等差數(shù)列，則該學校高三年級的學生人數(shù)為人．【答案】1500【詳解】設(shè)從高二抽取的人數(shù)為，則高一抽取的人數(shù)為，高三抽取的人數(shù)為.所以，解得，所以高三年級抽取了20人，由分層抽樣的概念可知高三年級的學生人數(shù)為：.故答案為：1500.【變式1】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）某校讀書節(jié)期間，共120名同學獲獎（分金、銀、銅三個等級），從中隨機抽取24名同學參加交流會，若按高一、高二、高三分層隨機抽樣，則高一年級需抽取6人；若按獲獎等級分層隨機抽樣，則金獎獲得者需抽取4人．下列說法正確的是（

）A．高二和高三年級獲獎同學共80人 B．獲獎同學中金獎所占比例一定最低C．獲獎同學中金獎所占比例可能最高 D．獲金獎的同學可能都在高一年級【答案】D【詳解】對選項A：高二和高三年級獲獎同學共，錯誤；對選項B：不能確定銀獎和銅獎的人數(shù)，錯誤；對選項C：金獎人數(shù)為，銀獎和銅獎的人數(shù)和為人，故獲獎同學中金獎所占比例不可能最高，錯誤；對選項D：高一年級人數(shù)為，金獎人數(shù)為，故獲金獎的同學可能都在高一年級，正確；故選：D【變式2】（2023·海南?？凇ずＤ现袑W校考二模）某校高三年級有女生520名，男生480名，若用分層隨機抽樣的方法從高三年級學生中抽取一個容量為200的樣本，則男生應(yīng)抽取名.【答案】96【詳解】由已知得女生與男生的比例為：，根據(jù)分層抽樣的定義，男生應(yīng)該抽取的人數(shù)為：（人）故答案為：96.【變式3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學校為了解教師身體健康情況，從高考學科和非高考學科教師中采用分層抽樣的方法抽取部分教師體檢.已知該學校高考學科和非高考學科教師的比例是5：1，且被抽到參加體檢的教師中，高考學科教師比非高考學科教師多64人，則參加體檢的人數(shù)是.【答案】96【詳解】設(shè)參加體檢的人數(shù)為，則，解得，所以參加體檢的人數(shù)是96人.故答案為：96.題型03分層隨機抽樣的方案設(shè)計【典例1】（2023下·全國·高一專題練習）某家電視臺在因特網(wǎng)上征集某電視節(jié)目現(xiàn)場參與的觀眾，報名的總?cè)藬?shù)為12000人，分別來自4個城區(qū)，其中A區(qū)2400人，B區(qū)4600人，C區(qū)3800人，D區(qū)1200人，從中抽取60人參加現(xiàn)場的節(jié)目，應(yīng)當如何抽??？寫出抽取過程．【答案】采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，過程見解析【詳解】解：采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，步驟如下：第一步：分層．按城區(qū)分為四層：A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)、D區(qū)．第二步：確定每個個體被抽到的概率．樣本容量，總體容量，故每個個體被抽到的概率為．第三步：按比例確定每層抽取的個體數(shù)．在A區(qū)抽?。ㄈ耍?，在B區(qū)抽取（人），在C區(qū)抽?。ㄈ耍贒區(qū)抽?。ㄈ耍谒牟剑涸诟鲗臃謩e用簡單隨機抽樣法抽取樣本，將各區(qū)抽取的觀眾合在一起組成樣本．【典例2】（2023下·全國·高一專題練習）某中學舉行了體育運動會，同時進行了全校精神文明擂臺賽，為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別對全校500名教職工、3000名初中生、4000名高中生進行問卷調(diào)查．(1)如果要在所有問卷中抽出120份用于評估，請說明如何抽取才能得到比較客觀的評估結(jié)論，并寫出抽樣過程．(2)要從3000份初中生的問卷中抽取一個容量為48的樣本，如果采用簡單隨機抽樣，應(yīng)選什么方法？請說明理由．【答案】(1)采取分層抽樣的方法，過程見解析(2)采用隨機數(shù)法，理由見解析【詳解】（1）由于總體容量較大，這次活動對教職工、初中生、高中生產(chǎn)生的影響差異較大，故采取分層抽樣的方法進行抽樣才能得到比較客觀的評估結(jié)論．因為樣本容量為120，總體容量為，則抽樣比為，，，，所以在教職工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64．分層抽樣的步驟如下：①分層：分為教職工、初中生、高中生，共三層；②確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職工、初中生、高中生中抽取的個體數(shù)分別是8，48，64；③各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本；④綜合每層抽取的個體，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評估結(jié)論；（2）簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)法．若用抽簽法，則要做3000個號簽，費時費力，因此應(yīng)采用隨機數(shù)法抽取樣本．【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）學校要在高一年級450名同學中隨機選取45人參加暑假的夏令營，試完成以下工作：(1)設(shè)計一個隨機抽樣方案；(2)設(shè)計一個分層抽樣方案，使得選取出男生23名，女生22名；(3)如果全年級有9個班，設(shè)計一個分層抽樣方案，使得各班隨機選取5人．【答案】(1)以全體學生的學籍號為編號，用計算機在450名學生的學籍號中隨機抽取45個學籍號，這45個學籍號對應(yīng)的學生就是要抽取的對象；(2)將總體450名同學分為男、女兩部分，把所有男生進行編號，再進行簡單隨機抽樣進行抽取23人，再把所有女生進行編號，進行簡單隨機抽樣抽取22人；(3)將每班男女進行分層抽樣，如果第個班的人數(shù)為，則為抽取的比例數(shù)，按照此比例對男生和女生進行抽取.【詳解】（1）以全體學生的學籍號為編號，用計算機在450名學生的學籍號中隨機抽取45個學籍號，這45個學籍號對應(yīng)的學生就是要抽取的對象；（2）將總體450名同學分為男、女兩部分，把所有男生進行編號，再進行簡單隨機抽樣進行抽取23人，再把所有女生進行編號，進行簡單隨機抽樣抽取22人；（3）將每班男女進行分層抽樣，如果第個班的人數(shù)為，則為抽取的比例數(shù)，按照此比例對男生和女生進行抽取.【變式2】（2023下·全國·高一專題練習）中學高一年級的500名同學中有218名女生，在調(diào)查全年級同學的平均身高時，預(yù)備抽樣調(diào)查50名同學.(1)設(shè)計一個合理的分層抽樣方案.(2)你的設(shè)計中，第一層和第二層分別是什么？(3)分層抽樣是否在得到全年級同學平均身高的估計時，還分別得到了男生和女生的平均身高的估計？【答案】(1)答案見解析.(2)答案見解析.(3)答案見解析.【詳解】（1）因為男生、女生身高有差異性，故按男生、女生在總?cè)藬?shù)中所占比例采取分層抽樣.因為500名同學中有218名女生，故女生抽取人數(shù)為人；500名同學中有282名男生故男生抽取人數(shù)為人.然后測量這50人的身高數(shù)據(jù)，從而得到50人的身高數(shù)據(jù)樣本.（2）第一層為總體500名學生中的所有女生的身高數(shù)據(jù)，第二層為總體500名學生中的所有男生的身高數(shù)據(jù).（3）是的，可以用男、女生身高數(shù)據(jù)之和除以各自樣本中的人數(shù)，得到男、女生平均身高的估計值.題型04分層隨機抽樣的平均數(shù)【典例1】（2022上·浙江杭州·高二學軍中學?？计谥校┠硨W校有高中學生500人，其中男生300人，女生200人．有人為了獲得該校全體高中學生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標值（單位：cm），計算得男生樣本的均值為175，方差為20，女生樣本均值為165，方差為30(1)如果已知男、女的樣本量按比例分配，請計算總樣本的均值為多少?(2)如果已知男、女的樣本量都是25，請計算總樣本均值為多少?【答案】(1)總樣本的均值為cm，總樣本的方差為(2)總樣本的均值為cm，總樣本的方差為；【詳解】（1）男、女的樣本量按比例分配，總樣本的均值為cm，（2）男、女的樣本量都是25，總樣本的均值為cm，【典例2】（2020下·高一課時練習）高二年級有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進行分層，通過分層隨機抽樣的方法，得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男生、女生中分別抽取了多少名？在這種情況下，請估計高二年級全體學生的平均身高.（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計高二年級全體學生的平均身高更合理？【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm（2）見解析【詳解】（1）抽取男生人數(shù)為，抽取女生人數(shù)為.高二年級全體學生的平均身高估計為（cm）.（2）仍按（1）方式進行估計，即（cm）.【變式1】（2023下·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習）已知總體劃分為3層，通過分層抽樣，得到各層的平均數(shù)分別為45，48，50，各層的樣本容量分別為30，50，20,則估計總體平均數(shù)為.【答案】/47.5【詳解】總體平均數(shù)為,故答案為：47.5【變式2】（2023上·全國·高三專題練習）某學校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.為了獲得全體高中生身高的信息，按照分層隨機抽樣原則抽取樣本，男生樣本量為32，女生樣本量為18，通過計算得男生身高樣本均值為173.5cm，方差為17，女生身高樣本均值為163.83cm，方差為30.03，求所有數(shù)據(jù)的樣本均值.【答案】（cm），【詳解】依題意，以樣本估計總體，所有數(shù)據(jù)的樣本均值為（cm），題型05兩種抽樣方法的選取及綜合應(yīng)用【典例1】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學?？计谀僦参锔鶕?jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進行質(zhì)量檢測；上述兩項調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（

）A．①用簡單隨機抽樣，②用分層隨機抽樣 B．①用簡單隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣C．①用分層隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣 D．①用分層隨機抽樣，②用分層隨機抽樣【答案】C【詳解】①喬木、灌木、草木，分類明顯，可以采用分層隨機抽樣；②并未有明顯分層特點，且樣本容量較小，可以采用簡單隨機抽樣；故選：C.【典例2】（2023上·高一課時練習）現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查．②某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調(diào)查．③某中學共有320名教職工，其中教師240名，行政人員32名，后勤人員48名，為了了解教職工對學校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為40的樣本．較為合理的抽樣方法的選擇是（

）A．①簡單隨機抽樣，②分層隨機抽樣，③分層隨機抽樣B．①簡單隨機抽樣，②分層隨機抽樣，③簡單隨機抽樣C．①分層隨機抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層隨機抽樣D．①分層隨機抽樣，②抽簽法，③簡單隨機抽樣【答案】A【詳解】①總體和樣本量都很小，用簡單隨機抽樣；②③總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，用分層隨機抽樣．故答案為：A.【典例3】（多選）（2022·高一課時練習）（多選）對下面三個事件最適宜采用的抽樣方法判斷正確的有（

）①從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗；②一次數(shù)學競賽中，某班有10人的成績在110分以上，40人的成績在90～110分，10人的成績低于90分，現(xiàn)在從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況；③運動會服務(wù)人員為參加400m決賽的6名同學安排跑道．A．①②適宜采用分層抽樣 B．②③適宜采用分層抽樣C．②適宜采用分層抽樣 D．③適宜采用簡單隨機抽樣【答案】CD【詳解】對于①，從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗，不滿足分層抽樣的條件，且樣本容量比較大，適合采用等距抽樣；對于②，總體由差異明顯且互不重疊的幾部分組成，若要從中抽取12人的成績了解有關(guān)情況，適合采用分層抽樣的方法；對于③，運動會服務(wù)人員為參加決賽的6名同學安排跑道，具有隨機性，且樣本容量小，適合用簡單隨機抽樣．故A，B錯誤.故選：CD.【變式1】（2023上·陜西榆林·高三陜西省子洲中學?？计谥校┠彻炯?、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為60的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法【答案】B【詳解】根據(jù)題意，第①項調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四個地區(qū)情況不同，即總體中的個體差異較大，符合分層抽樣的概念與方法，應(yīng)采用分層抽樣的抽法進行抽?。坏冖陧椪{(diào)查中，從丙地區(qū)20個特大型銷售點中抽7個，數(shù)量較小，且無差異，可采用簡單的隨機抽樣進行抽取.故選：B.【變式2】（2021上·高一課時練習）使用簡單隨機抽樣從1000件產(chǎn)品中抽出50件進行某項檢查，合適的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數(shù)表法C．分層抽樣法 D．以上都不對【答案】B【詳解】由于總體容量相對較大，且沒有明顯差異，樣本容量較小，故采用隨機數(shù)表法較為合適.故選：B.【變式3】（2022上·新疆·高三校考階段練習）現(xiàn)要完成下列項抽樣調(diào)查：①從盒酸奶中抽取盒進行食品衛(wèi)生檢查．②科技報告廳有排，每排有個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請名聽眾進行座談．③高新中學共有名教職工，其中一般教師名，行政人員名，后勤人員名，為了了解教職工對學校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為的樣本．較為合理的抽樣方法是（）A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣B．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層抽樣D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣【答案】A【詳解】解；觀察所給的四組數(shù)據(jù)，①個體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機抽樣法，簡單隨機抽樣，②將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號，系統(tǒng)抽樣，③個體有了明顯了差異，所以選用分層抽樣法，分層抽樣，觀察所給的四組數(shù)據(jù)，根據(jù)四組數(shù)據(jù)的特點，把所用的抽樣選出來①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣．故選：A．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知某校高三有900名學生，為了解該年級學生的健康情況，從中隨機抽取100人進行調(diào)查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，則樣本容量是（

）A．45 B．55 C．100 D．900【答案】C【分析】根據(jù)樣本容量的定義得到答案.【詳解】因為抽取100人進行調(diào)查，所以樣本容量是100.故選：C2．（2024上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）渭南市教育局想了解全市所有學生對電影《長津湖之水門橋》的評價，決定從全市所有學校中選取3所學校按學生人數(shù)用分層抽樣的方法抽取一個樣本，若3所學校學生人數(shù)之比為，且學生人數(shù)最少的一個學校抽出120人，則這個樣本的容量為（

）A．560 B．540 C．450 D．400【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出分層抽樣的抽樣比，再列式計算即得.【詳解】設(shè)樣本的容量為，依題意，，解得，所以這個樣本的容量為540.故選：B3．（2023下·陜西西安·高一期中）某班有50人，其中30名男生，20名女生，現(xiàn)調(diào)查平均身高，已知男、女生身高明顯不同，抽取一個容量樣本為10的樣本，則抽出的男、女生人數(shù)之差為（）A．5 B．4C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的概念求出抽出的男、女生人數(shù)，進而求出答案.【詳解】抽出的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，故抽出的男、女生人數(shù)之差為.故選：D4．（2024上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）某學校有高中學生1500人，初中學生1000人．學生社團創(chuàng)辦文創(chuàng)店，想了解初高中學生對學校吉祥物設(shè)計的需求，用分層抽樣的方式隨機抽取若干人進行問卷調(diào)查．已知在初中學生中隨機抽取了100人，則在高中學生中抽取了（

）A．150人 B．200人 C．250人 D．300人【答案】A【分析】根據(jù)各層的抽樣比相同求解出結(jié)果.【詳解】因為初中學生人抽取了人，所以抽樣比為，所以高中生抽取人，故選：A.5．（2023上·全國·高三專題練習）某高中為了解本校學生考入大學一年后的學習情況，對本校上一年考入大學的學生進行了調(diào)查，根據(jù)學生所屬的專業(yè)類型，制成如圖所示的餅圖．現(xiàn)從這些學生中抽出100人進行進一步調(diào)查，已知張三為理學專業(yè)，李四為工學專業(yè)，則下列說法不正確的是（

）A．若按專業(yè)類型進行分層抽樣，則張三被抽到的可能性比李四大B．若按專業(yè)類型進行分層抽樣，則理學專業(yè)和工學專業(yè)應(yīng)分別抽取30人和20人C．采用分層抽樣比簡單隨機抽樣更合理D．該問題中的樣本容量為100【答案】A【分析】由分層抽樣的特點以及它的定義判斷選項A、B、C,利用樣本容量的定義判斷選項D.【詳解】對于選項A，理學比工學抽取的人數(shù)多，但張三和李四作為一個個體被柚到的概率相等，故張三與李四被抽到的可能性一樣大，故A錯誤；對于選項B，理學專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為，工學專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為，故B正確；對于選項C，因為各專業(yè)差異比較大，所以采用分層抽樣比簡單隨機抽樣更合理，故C正確；對于選項D，該問題中的樣本容量為100，故D正確．故選：A．6．（2023上·山西·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）某大學共有教師1000人，其中教授、副教授、講師、助教的人數(shù)比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校所有教師中抽取一個容量為40的樣本，如果樣本按比例分配，那么講師應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系計算得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，樣本按比例分配，講師應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選：B．7．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學生都在家進行網(wǎng)上上課，某校高一，高二，高三共有學生6000名，為了了解同學們對某授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這6000名學生中抽取一個容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則該校高二年級的人數(shù)為（

）A．1000 B．1500 C．2000 D．1000【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合樣本容量進行求解即可.【詳解】因為從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，所以設(shè)高三抽取的人數(shù)為，則高二抽取的人數(shù)為，高一抽取的人數(shù)為，因為樣本容量為60，所以，設(shè)我校高二年級的人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣得：，故選：C8．（2021·高一課時練習）某學校在校學生有2000人，為了增強學生的體質(zhì)，學校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數(shù)分別為a，b，c，且，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．為了了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為200的樣本進行調(diào)查，則應(yīng)從高三年級參加跑步的學生中抽取（

）A．15人 B．30人 C．40人 D．45人【答案】D【分析】由題知全校參加跑步的人數(shù)為，再根據(jù)分層抽樣的方法求解即可得答案.【詳解】解：由題意，可知全校參加跑步的人數(shù)為，所以．因為，所以．因為按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為200的樣本，所以應(yīng)從高三年級參加跑步的學生中抽取的人數(shù)為．故選：D二、多選題9．（2020下·山東泰安·高一期末）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1500輛，6000輛和2000輛為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取57輛進行檢驗，則下列說法正確的是（

）A．應(yīng)采用分層隨機抽樣抽取B．應(yīng)采用抽簽法抽取C．三種型號的轎車依次應(yīng)抽取9輛，36輛，12輛D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的【答案】ACD【分析】根據(jù)分層抽樣逐項分析判斷.【詳解】因為三種型號轎車的產(chǎn)量具有明顯的差異性，所以應(yīng)采用分層隨機抽樣抽取，故A正確；B錯誤；又因為三種型號轎車的產(chǎn)量之比為，所以三種型號的轎車依次應(yīng)抽取輛，輛，輛，故C正確；根據(jù)隨機抽樣可知：每個個體被抽到的可能性均等，即每一輛被抽到的概率都是相等的，故D正確；故選：ACD.10．（2021·高一課時練習）（多選）分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其譯文為今有甲持錢560，乙持錢350，丙持錢180，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共計100錢，要按照各人帶錢多少的比率進行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則（

）A．甲應(yīng)付錢 B．乙應(yīng)付錢C．丙應(yīng)付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少【答案】AD【分析】由分層抽樣的性質(zhì)確定三人各應(yīng)付多少稅.【詳解】由題設(shè)條件知，，則甲應(yīng)付（錢），乙應(yīng)付（錢），丙應(yīng)付（錢），故選：AD．三、填空題11．（2023上·全國·高三專題練習）甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本量為80的樣本進行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為件.【答案】1800【分析】首先求出抽樣比，然后求出甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量.【詳解】由題設(shè)，抽樣比為.設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品為x件，則，所以.故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為.故答案為：1800.12．（2023上·全國·高三專題練習）在120個零件中有一級品24個、二級品36個、三級品60個，從中抽取一個容量為20的樣本，若用簡單隨機抽樣法抽取樣本，則總體中每個個體被抽到的可能性為；若按比例分配的分層隨機抽樣法抽取樣本，則總體中每個個體被抽到的可能性為．【答案】【分析】由簡單隨機抽樣的概念計算可能性即可，由分層抽樣的概念確定每層被抽到的個體，從而計算每個個體被抽到的可能性即可.【詳解】因為總體中的個體數(shù)，樣本容量，若用簡單隨機抽樣法抽取樣本，則每個個體被抽到的可能性均為；因為一、二、三級品的數(shù)量之比為，，，，故從一、二、三級品中分別抽取4個、6個、10個產(chǎn)品，若按比例分配的分層隨機抽樣法抽取樣本，則每個個體被抽到的可能性分別為，，，都為．故答案為：；四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）某網(wǎng)絡(luò)音樂平臺就網(wǎng)絡(luò)用戶對某一特色欄目的喜愛程度進行調(diào)查，參與網(wǎng)絡(luò)投票的總?cè)藬?shù)為50000．網(wǎng)絡(luò)用戶對欄目的評價如下表所示：星級評價☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆票數(shù)9986156071488560343488該音樂平臺為進一步了解用戶的具體想法和意見，打算從上述50000人中抽取100人進行電子郵件形式的調(diào)查，應(yīng)怎樣進行抽樣？【答案】按照“五星評價”至“一星評價”分別抽取20人，31人，30人，12人，7人．【分析】因為總體人數(shù)較多，不宜采用簡單隨機抽樣．又由于觀眾對欄目喜愛程度差異較大，故應(yīng)采用分層抽樣．【詳解】采用分層抽樣，其總體容量為50000．“五星評價”占，應(yīng)抽?。ㄈ耍?；“四星評價”占，應(yīng)抽?。ㄈ耍弧叭窃u價”占，應(yīng)抽?。ㄈ耍?；“二星評價”占，應(yīng)抽?。ㄈ耍?；“一星評價”占，應(yīng)抽?。ㄈ耍窗凑铡拔逍窃u價”至“一星評價”分別抽取20人，31人，30人，12人，7人．14．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）某校高中年級舉辦科技節(jié)活動，開設(shè)A，B兩個會場，其中每個同學只能去一個會場，且將的同學去A會場，剩下的同學去B會場．已知A，B會場學生年級及比例情況如下表所示：高一高二高三A會場B會場記該校高一、高二、高三年級學生所占總?cè)藬?shù)的比例分別為x，y，z，利用分層隨機抽樣的方法從參加活動的全體學生中抽取一個容量為n的樣本．(1)求的值；(2)若抽到的B會場的高二學生有75人，求n的值以及抽到的A會場高一、高二、高三年級的學生人數(shù)．【答案】(1)；(2)；高一年級人數(shù)為，高二年級人