《現(xiàn)代通信原理、技術(shù)與仿真》課件第10章

第10章正交編碼與偽隨機(jī)序列10.1序列的相關(guān)函數(shù)10.2超正交單純碼及哈達(dá)嗎(Hadarmard)矩陣10.3

m序列信號(hào)10.4巴克(Barker)序列本章仿真實(shí)驗(yàn)舉例習(xí)題

10.1序列的相關(guān)函數(shù)

序列信號(hào)是由符號(hào)按一定的順序排列構(gòu)成的。構(gòu)成序列的符號(hào)稱為序列元素(或稱為碼元)，它可以屬于{0，1}，也可以屬于{+1，-1}。例如，序列{xi}={0101001100}和{xj}={+1+1+1-1+1-1-1}分別是元素屬于{0，1}和{+1，-1}的非周期序列信號(hào)單元。信號(hào)單元中所包含的碼元個(gè)數(shù)稱為序列的長(zhǎng)度，用L表示。例如，序列{xi}的長(zhǎng)度L=10，而{xj}的長(zhǎng)度L=7。若由一段序列按次序重復(fù)循環(huán)出現(xiàn)構(gòu)成一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列，則稱這個(gè)序列為周期序列，其周期為重復(fù)循環(huán)的序列的長(zhǎng)度。設(shè)序列{xi}是元素屬于{+1，－1}、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的非周期序列，則其自相關(guān)函數(shù)定義為

(10.1)

式中：l為相對(duì)移位的碼元個(gè)數(shù)，且l<L；xik為序列{xi}中的第k個(gè)碼元。

如果序列{xi}、{xj}都是元素屬于{+1，－1}、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的非周期序列，則其互自相關(guān)函數(shù)定義為

(10.2)從以上非周期序列信號(hào)的相關(guān)運(yùn)算過(guò)程中，可以總結(jié)出三點(diǎn)：第一，兩個(gè)序列對(duì)應(yīng)位上元素相乘；第二，對(duì)各對(duì)應(yīng)位的積求和；第三，對(duì)非周期序列的運(yùn)算僅涉及L－l項(xiàng)，如果l=0，則涉及L項(xiàng)。

如果序列{xi}是周期序列，其周期為L(zhǎng)，則其自相關(guān)函數(shù)定義為

(10.3)自相關(guān)函數(shù)的歸一化值定義為自相關(guān)系數(shù)，為

(10.4)

ρii(l)是無(wú)量綱的，它只反映相關(guān)函數(shù)的相對(duì)值，在l=0時(shí)取最大值，即

ρii(0)=1如果序列{xi}、{xj}都是周期為L(zhǎng)的周期序列，則它們的相關(guān)運(yùn)算與波形信號(hào)單元相似。在多種發(fā)送狀態(tài)下，系統(tǒng)一般工作在同步狀態(tài)，即l=0，這時(shí)序列{xi}、{xj}的互相關(guān)值βij(0)為

(10.5)

歸一化的互相關(guān)系數(shù)為

(10.6)以上討論了元素取值屬于(+1，－1)二元域上的序列相關(guān)函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題。如果序列中的元素屬于(0，1)二元域，那么又該如何計(jì)算序列的相關(guān)函數(shù)呢?這里介紹兩種方法。第一種方法是把(0，1)元素變換為(+1，－1)元素，然后按元素屬于(+1，－1)的序列信號(hào)的相關(guān)函數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。第二種方法是直接在(0，1)域上計(jì)算相關(guān)函數(shù)。對(duì)應(yīng)于式(10.1)及式(10.2)在(+1，－1)域上相關(guān)函數(shù)的計(jì)算，在(0，1)域可以把式(10.1)和式(10.2)中的乘號(hào)變?yōu)槟?(mod2)加號(hào)，將求和號(hào)變?yōu)閷?duì)應(yīng)元素的同號(hào)個(gè)數(shù)減去異號(hào)個(gè)數(shù)。設(shè)在兩序列中求相關(guān)時(shí)，對(duì)應(yīng)元素相同的個(gè)數(shù)為A，不同的個(gè)數(shù)為D，則序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)分別為

(10.7)

序列相關(guān)函數(shù)的歸一化值為相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)可由下式求得:

(10.8)

【例10.1】設(shè)兩個(gè)非周期序列分別為{xi}={111100010011010}，{xj}={111000100110101}，試計(jì)算同步狀態(tài)時(shí)它們的互相關(guān)值。

解：由式(10.7)可得，{xi}與{xj}的互相關(guān)函數(shù)為

βij(l)=A－D

同步狀態(tài)時(shí)，l=0，這時(shí){xi}與{xj}的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

將它們對(duì)應(yīng)的元素作模2加，則對(duì)應(yīng)元素相同的個(gè)數(shù)A為模2加結(jié)果中0的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)元素不同的個(gè)數(shù)D為模2加結(jié)果中1的個(gè)數(shù)。由模2加結(jié)果可以看出，0的個(gè)數(shù)為7，1的個(gè)數(shù)為8，即

A=7，D=8，βij(0)=A－D=7－8=－1,互相關(guān)系數(shù)為

如果一個(gè)系統(tǒng)有M個(gè)發(fā)送狀態(tài)，則它需要用M個(gè)信號(hào)單元來(lái)代表。當(dāng)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算時(shí)，共有M2個(gè)相關(guān)值。這M2個(gè)相關(guān)值構(gòu)成的矩陣叫相關(guān)矩陣。相關(guān)矩陣在正交編碼的信號(hào)設(shè)計(jì)中十分有用。

10.2超正交單純碼及

哈達(dá)嗎(Hadarmard)矩陣

10.2.1超正交單純碼

設(shè)有一個(gè)碼組，由M個(gè)碼字組成。在同步相關(guān)檢測(cè)中，它們所有的相關(guān)系數(shù)ρij(0)(包括自相關(guān)系數(shù)和互相關(guān)系數(shù))可以構(gòu)成一個(gè)矩陣，即矩陣中的每個(gè)元素都是相關(guān)系數(shù)。這個(gè)矩陣稱為相關(guān)矩陣ρ，它是一個(gè)M行M列的方陣。

(10.9)在相關(guān)矩陣中，對(duì)角線上共有M個(gè)自相關(guān)系數(shù)ρ11~ρMM。因而在M2個(gè)相關(guān)系數(shù)中有M2－M=M(M－1)個(gè)互相關(guān)系數(shù)。如果這些互相關(guān)系數(shù)的最大值maxρij能夠達(dá)到最小，則稱這種

碼組為最佳碼組。

例如，設(shè)M=4、碼長(zhǎng)L=3的一組碼為：

x1=(000)，x2=(101)，x3=(011)，x4=(110)

其相關(guān)系數(shù)為

由上式可求出M2=42=16個(gè)相關(guān)系數(shù)構(gòu)成的相關(guān)矩陣為

由相關(guān)矩陣可以看出，ρij(0)的最大值為maxρij(0)=

ρij(0)=。ρij(0)表示平均值。

可以驗(yàn)證，在M=4、碼長(zhǎng)L=3的所有碼組中，上例是一個(gè)最佳碼組。這種互相關(guān)系數(shù)為同一負(fù)值的碼組稱為超正交單純碼。能否通過(guò)改變碼字?jǐn)?shù)M及碼長(zhǎng)L來(lái)找到互相關(guān)系數(shù)比－1/3更小的碼組呢？互相關(guān)系數(shù)的最小值與碼字?jǐn)?shù)M有何關(guān)系呢？下面的定理將回答這些問(wèn)題。

定理10.2.1若一個(gè)碼組由M個(gè)碼字構(gòu)成，令xi為碼字，i=1，2，…，M，則碼字之間互相關(guān)量的最大值的最低界限

滿足:

(10.10)

證明：設(shè)xi的碼元取值為+1或－1，碼長(zhǎng)為L(zhǎng)。下面首先考查相關(guān)矩陣ρ中互相關(guān)系數(shù)的平均值ρij(0)。

互相關(guān)系數(shù)都是兩個(gè)碼字對(duì)應(yīng)碼元的乘積之和除以碼長(zhǎng)L，所以上式可化為

為了使ρij

最小化，要求上式括號(hào)中的第一項(xiàng)最小。當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，第一項(xiàng)最小值為0，即，這時(shí)有：

當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，的最小值為1，即,

這時(shí)有:

由于互相關(guān)系數(shù)中的最大值的下界等于平均值，所以:

由此可得

定理證畢。定理10.2.1說(shuō)明，當(dāng)最大互相關(guān)系數(shù)達(dá)到最小的極限值(下界，取等號(hào))時(shí)，最大互相關(guān)系數(shù)等于互相關(guān)系數(shù)的平均值。這種情況下所有的互相關(guān)系數(shù)都相等(即最大值、平均值、最小值是同一個(gè)值)，即

(10.11)滿足式(10.11)所示的互相關(guān)系數(shù)都等于某一個(gè)最小負(fù)值的最佳碼稱為超正交單純碼。這種最優(yōu)化的碼組是在多元信號(hào)單元設(shè)計(jì)中所希望的。下面進(jìn)一步討論超正交單純碼的存在和構(gòu)造方法。

從碼字的個(gè)數(shù)M來(lái)說(shuō)，對(duì)于無(wú)窮多個(gè)M值都存在相應(yīng)的單純碼(但不是所有的M值都存在單純碼)。目前，當(dāng)M≤100時(shí)，除了M=57，58，77，78，94以外，均已構(gòu)造出了相應(yīng)的單純碼。單純碼的存在問(wèn)題可用哈達(dá)嗎矩陣來(lái)討論?，F(xiàn)在討論單純碼的碼長(zhǎng)L與碼字個(gè)數(shù)M的關(guān)系。

定理10.2.2如果在碼組中，碼字的個(gè)數(shù)大于2，則當(dāng)M=4t或M=4t－1時(shí)，單純碼的長(zhǎng)度L為4t－1的倍數(shù)；當(dāng)M=4t+1或M=4t+2時(shí)，單純碼的長(zhǎng)度L為4t+1的偶數(shù)倍。其中,t為正

整數(shù)。

證明：如果單純碼中M為4t(偶數(shù))或4t－1(奇數(shù))，則據(jù)單純碼互相關(guān)系數(shù)的公式，必有:

若不同碼字中對(duì)應(yīng)碼元相同的個(gè)數(shù)為A，不同元素的個(gè)數(shù)為D，則

上面兩式聯(lián)立得：

式中，k=D－A，為某一整數(shù)。所以：

L=k(4t－1)

(10.12)

即碼長(zhǎng)L為4t-1的倍數(shù)。

同理，當(dāng)M=4t+1或M=4t+2時(shí)，碼長(zhǎng)L=q(4t+1)，即碼長(zhǎng)L是4t+1的倍數(shù)。在這種情況下，

q為偶數(shù)。關(guān)于單純碼的構(gòu)成,可以通過(guò)m序列來(lái)分析。m序列的周期L=2n－1，它的L次不同移位可以構(gòu)成2n－1個(gè)不同的碼字，即M=2n－1(奇數(shù))。這些碼字之間的互相關(guān)系數(shù)ρij=－1/M，正好符合單純碼的定義。例如，周期L=7的m序列可構(gòu)成M=7、L=7的單純碼。單純碼的一般構(gòu)成可用正交編碼中的數(shù)學(xué)工具——哈達(dá)嗎矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。

超正交碼或超正交單純碼與正交編碼相比更有利于碼間的辨認(rèn)。然而當(dāng)單純碼中M增大時(shí)(顯然，碼長(zhǎng)L要增加)，這兩類碼間的可辨性十分接近。10.2.2哈達(dá)嗎矩陣H

哈達(dá)嗎矩陣是元素取+1或－1的m階方陣。它的各行之間的互相關(guān)量為0，各列之間的互相關(guān)量也為0，即各行之間、各列之間是互相正交的。

按照哈達(dá)嗎矩陣的定義，在哈達(dá)嗎矩陣中，如果將任意兩行互換，或?qū)⑷我鈨闪谢Q，或?qū)⒁恍兄械拿總€(gè)元素都改變符號(hào)，或?qū)⒁涣兄械拿總€(gè)元素都改變符號(hào)，則都不會(huì)改變哈達(dá)嗎矩陣的性質(zhì)，即改變后的矩陣仍為哈達(dá)嗎矩陣。變化后的哈達(dá)嗎矩陣仍然保持了各行之間、各列之間的正交性。通常稱這種變化后的矩陣為等效矩陣，即

(10.13)由上述性質(zhì)可知，一個(gè)哈達(dá)嗎矩陣通過(guò)等效變換總可以變化為第一行和第一列為全“1”元素的哈達(dá)嗎矩陣。這種矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)哈達(dá)嗎矩陣(又稱正規(guī)矩陣)，如式(10.14(a)、(b))所示。其中，式(10.14(a))為2階標(biāo)準(zhǔn)哈達(dá)嗎矩陣，式(10.14(b))為4階標(biāo)準(zhǔn)哈達(dá)嗎矩陣。

(10.14(a))

(10.14(b))顯然，一個(gè)m階的哈達(dá)嗎矩陣，其各行或各列矢量可以構(gòu)成一個(gè)具有m個(gè)碼字、碼長(zhǎng)L=m的正交碼組。

另外，m階哈達(dá)嗎矩陣具有下述特征：

HHT=mI

(10.15)

式中：T表示轉(zhuǎn)置；I為m階單位方陣。

哈達(dá)嗎矩陣是討論正交編碼的有力工具。那么，是否任意階的哈達(dá)嗎矩陣都存在呢？這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上仍未得到徹底證明。但當(dāng)m為某些整數(shù)值時(shí)，哈達(dá)嗎矩陣是可以構(gòu)造出來(lái)的。

定理10.2.3若m≥1是哈達(dá)嗎矩陣的維數(shù)，則滿足m=1,2,4t(t為整數(shù))。

證明：m=1時(shí)，矩陣I顯然是哈達(dá)嗎矩陣；m=2時(shí),2維哈

達(dá)嗎矩陣是。

現(xiàn)在來(lái)證明，若m≥2時(shí)存在m階哈達(dá)嗎矩陣，則m必為4的倍數(shù)。設(shè)m至少有三個(gè)矢量X1、X2、X3且x1i、x2i、x3i分別為各矢量的第i個(gè)元素。兩個(gè)矢量之和的內(nèi)積：

由于哈達(dá)嗎矩陣中各行正交，所以上式中第1、2、4項(xiàng)為0，故有：

(10.16)

由于x1i、x2i、x3i是各行中的元素，取值為+1或－1，因此上式中(x1i+x2i)(x2i+x3i)的取值要么為0，要么為4，所以m必為4的倍數(shù)，即m=4t。

上述定理說(shuō)明，如果存在哈達(dá)嗎矩陣，則它的維數(shù)必為4的倍數(shù)(除m=1,2之外)。那么，是否所有m=4t維數(shù)的哈達(dá)嗎矩陣都存在呢？這個(gè)問(wèn)題仍未解決。但在m≤200時(shí)，除了m=116、156、188外的m=4t的哈達(dá)嗎矩陣早已找到。

定理10.2.4已知H1為m1維哈達(dá)嗎矩陣，H2為m2維哈達(dá)嗎矩陣，若H3矩陣為

H3=H1

H2

則H3仍為哈達(dá)嗎矩陣，且H3的維數(shù)為m3=m1×m2。

例如，若有(n=2),且H2=H1,則

m3=m1×m2=4

應(yīng)用定理10.2.4可以構(gòu)造出2n(n為正整數(shù))的高維哈達(dá)嗎矩陣。2n的高維哈達(dá)嗎矩陣可以用低維的哈達(dá)嗎矩陣的卡氏(Kroneker)乘積求得。這里所謂的卡氏乘積，是指H1中的“1”元素用H2代替，而H1中的“－1”元素用－H2代替。此定理可以用直觀辦法驗(yàn)證。

這樣就可以以為起點(diǎn)，構(gòu)成2n維的高維哈

達(dá)嗎矩陣。

在哈達(dá)嗎矩陣的基礎(chǔ)上，要構(gòu)造出前面所講的超正交碼是很容易的。

如果m=4t的哈達(dá)嗎矩陣存在，則可以構(gòu)成m=4t、4t－1、2t及2t－1的單純碼。下面對(duì)此結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單證明。在m=4t的哈達(dá)嗎矩陣的標(biāo)準(zhǔn)矩陣中，去掉全“1”的第一列之后，將每一行當(dāng)作一個(gè)碼字，就構(gòu)成了碼字個(gè)數(shù)m=4t、碼長(zhǎng)L=4t－1的碼組。這時(shí)碼字之間的互相關(guān)系數(shù)都為ρij=。顯然，這是一個(gè)m=4t(偶數(shù))的單純碼。如果在這個(gè)集合中再刪去第一行，則構(gòu)成m=4t－1(奇數(shù))的單純碼。在m=4t的標(biāo)準(zhǔn)矩陣中，由各列的正交性可知，除第一列外，其他各列中“1”元素和“－1”元素的個(gè)數(shù)各占一半，即2t個(gè)。如果去掉某k(k≠1)列中的“1”(或“－1”)元素所在的那些行矢

量，那么只剩下2t行，并且第k個(gè)元素都相同，這些行是正交的。如果再除去這些行中的第一個(gè)和第k個(gè)元素，則構(gòu)成了m=2t(偶數(shù))、碼長(zhǎng)L=4t-2的碼組。各碼之間的互相關(guān)系數(shù)

ρij=－2/(4t－2)=－1/(2t－1)，可見(jiàn)這也是單純碼。如果將此m=2t的單純碼再刪去一行，則構(gòu)成了m=2t－1(奇數(shù))的單純碼。

10.3

m序列信號(hào)

10.3.1

m序列的產(chǎn)生

一個(gè)線性反饋移位寄存器系統(tǒng)的線路結(jié)構(gòu)如圖10.1所示。它是由n級(jí)D觸發(fā)器(作為移位寄存單元)、若干個(gè)模2和加法器以及反饋連線構(gòu)成的。系統(tǒng)在時(shí)鐘脈沖CP的推動(dòng)下，雖然無(wú)外界激勵(lì)信號(hào)，但能自動(dòng)運(yùn)行起來(lái)，且產(chǎn)生一個(gè)循環(huán)的二進(jìn)制周期序列，即線性反饋移位寄存器序列。圖10.1線性反饋移位寄存器的線路結(jié)構(gòu)圖10.1中，ci為反饋系數(shù)，它代表某一級(jí)Di是否參加反饋的模2加運(yùn)算。如果Di參加反饋，則ci=1，否則ci=0。一般來(lái)說(shuō)，c1和cn均為1。

下面分析圖10.2中由三級(jí)(n=3)D觸發(fā)器構(gòu)成的線性反饋移位寄存器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，考查輸出二進(jìn)制序列的規(guī)律。每個(gè)D觸發(fā)器的狀態(tài)只能取“0”或“1”?？疾橄到y(tǒng)的輸出序列，也就是研究系統(tǒng)中各D觸發(fā)器的狀態(tài)組合的演變情況。圖10.2三級(jí)移位寄存器系統(tǒng)圖10.2中，反饋系數(shù)c1=0，c2=1，c3=1，即ci的組合為{c1c2c3}={011}。ci及各D觸發(fā)器的初態(tài)決定了D1觸發(fā)器的輸入ak。設(shè)三級(jí)寄存器的初始狀態(tài)為D1=0，D2=0，D3=1。在這種情況下，第一個(gè)CP脈沖到來(lái)后，狀態(tài)演變?yōu)镈1=1，D2=0，D3=0;第二個(gè)CP脈沖后，狀態(tài)變?yōu)镈1=0，D2=1，D3=0。觸發(fā)器的狀態(tài)依脈沖節(jié)拍的變化情況如表10.1所示，其狀態(tài)演變過(guò)程如圖10.3所示。圖10.3狀態(tài)演變過(guò)程從表10.1中可看出，第七個(gè)狀態(tài)又回到了移位寄存器的初態(tài)。由于反饋系數(shù)ci不變，因此第八個(gè)狀態(tài)與第一個(gè)狀態(tài)相同。這樣依次下去，就產(chǎn)生了第二個(gè)循環(huán)，第三個(gè)循環(huán)……，循環(huán)周期L=7。從表10.1中還可看出，任何一個(gè)D觸發(fā)器的輸出都是一個(gè)周期循環(huán)的二進(jìn)制序列，只不過(guò)它們的初始相位不同而已。這種無(wú)外界激勵(lì)而產(chǎn)生的無(wú)止境的運(yùn)動(dòng)稱為線性反饋移位寄存器的自持運(yùn)動(dòng)(類似自激振蕩器)。以上討論的移位寄存器序列可用一個(gè)遞推公式來(lái)描述。

設(shè)已知序列的前n個(gè)元素a1a2a3…an，或n級(jí)D觸發(fā)器的初態(tài)和

反饋系數(shù)ci，就可以用公式來(lái)計(jì)算下一個(gè)狀態(tài)序列的輸出ak(即k=n+1)。設(shè)第一級(jí)觸發(fā)器D1的反饋輸入為ak，則D1輸出為

ak-1，D2輸出為ak-2，Dn輸出為ak-n,于是ak的遞推公式為

(模2和)(10.17)由式(10.17)可以看出，如果已知序列的前n個(gè)元素(或n級(jí)D觸發(fā)器的初態(tài))，就可以由遞推公式唯一地確定序列的第n+1個(gè)元素。例如，在圖10.2所示的系統(tǒng)中，若已知序列前三個(gè)元素a1a2a3為100，則第4個(gè)元素可由式(10.17)計(jì)算得到，圖中c1=0，c2=c3=1，故

即序列中的第4個(gè)元素為1。表10.1中，D3觸發(fā)器在第三節(jié)拍時(shí)的輸出狀態(tài)就是序列的第4個(gè)元素。同理，可計(jì)算出a5=0，a6=1，a7=1，因而，得到序列的一個(gè)循環(huán)周期為1001011(即a1a2a3a4a5a6a7)。

由以上分析可知，反饋移位寄存器的自持運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的序列主要取決于反饋系數(shù)ci的組合情況。在級(jí)數(shù)相同的線性反饋移位寄存器系統(tǒng)中，不同的ci組合可以使系統(tǒng)產(chǎn)生不同周期的序列。以n=3為例，若ci的組合為{111}，則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖10.4(a)所示。此系統(tǒng)的自持運(yùn)動(dòng)在不同的初始狀態(tài)下產(chǎn)生不同周期的循環(huán)，如圖10.4(b)所示。圖10.4

ci為{111}時(shí)三級(jí)移位寄存器的不同循環(huán)情況由圖10.4(b)可看出，只要系統(tǒng)初始狀態(tài)為圖中的某一狀態(tài)，系統(tǒng)就形成該循環(huán)狀態(tài)下的周期序列。圖中，三級(jí)D觸發(fā)器的初態(tài)全為“0”的000狀態(tài)和全為“1”的111狀態(tài)，形成了系統(tǒng)的靜止?fàn)顟B(tài)。因在這兩種情況下，由ci所決定的下一個(gè)狀態(tài)仍為000或111，狀態(tài)沒(méi)有改變，故為靜止?fàn)顟B(tài)。

圖10.4(b)中，當(dāng)初態(tài)為101或010時(shí)，系統(tǒng)形成周期L=2的101010…序列；當(dāng)初態(tài)為100、110、011或001時(shí)，系統(tǒng)形成周期L=4的110011001100…序列。10.3.2特征多項(xiàng)式與序列多項(xiàng)式

為了進(jìn)一步討論線性反饋移位寄存器序列與反饋系數(shù)ci的關(guān)系，可以把ci所處的位置用一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)代表，定義該多項(xiàng)式為

(10.18)

式中，z-i表示ci所處的位置，ci只能取0或1。式(10.18)稱為線性反饋移位寄存器系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。在一般系統(tǒng)中，c0和cn總等于1。例如，在圖10.2所示的系統(tǒng)中，特征多項(xiàng)式為

f(z-1)=1+z-2+z-3

根據(jù)同樣的思想，把遞推公式所產(chǎn)生的序列按元素的位置用多項(xiàng)式表示出來(lái)，該多項(xiàng)式定義為

(10.19)

式中，z-1表示延遲1位碼元，ak只能取“0”或“1”。G(z-1)稱為線性反饋移位寄存器系統(tǒng)的序列多項(xiàng)式。通過(guò)遞推公式可以導(dǎo)出，f(z-1)和G(z-1)之間的關(guān)系為

(10.20)

式中，h(z-1)稱為系統(tǒng)的初態(tài)多項(xiàng)式，它取決于電路的初始

狀態(tài)。由于一般系統(tǒng)中，cn=1，所以f(z-1)中的最高次冪為z-n，而h(z-1)在a-1=1時(shí)最高次冪為z-(n-1)，所以h(z-1)中的最高次冪總低于f(z-1)中的最高次冪。由式(10.20)可得，在已知系統(tǒng)初始狀

態(tài)的情況下，可以用多項(xiàng)式除法(在二元有限域上)來(lái)求得輸出序列，其結(jié)果與由遞推公式求得的序列相同。由于初態(tài)多項(xiàng)式h(z-1)=1時(shí)產(chǎn)生的序列類似于模擬系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，因此稱之為沖激響應(yīng)序列h0(z-1)，即

(10.21)10.3.3

m序列的產(chǎn)生條件

前面分析指出，線性反饋移位寄存器反饋系數(shù)ci的不同組合產(chǎn)生不同周期的序列，只有適當(dāng)?shù)腸i組合才能產(chǎn)生周期最長(zhǎng)的序列——m序列。那么怎樣的ci組合，或系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式應(yīng)滿足什么條件，移位寄存器系統(tǒng)才能產(chǎn)生m序列呢？

定理10.3.1若序列{ak}是n級(jí)線性反饋移位寄存器產(chǎn)生

的周期最長(zhǎng)(L=2n－1)的序列——m序列，則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式f(z-1)應(yīng)為n次本原多項(xiàng)式。n次本原多項(xiàng)式應(yīng)滿足以下條件：

(1)f(z-1)為既約多項(xiàng)式；

(2)f(z-1)應(yīng)能整除z-L+1，L=2n－1；

(3)f(z-1)不能整除z-P+1，P為正整數(shù)，且P<L。

此定理描述了產(chǎn)生m序列的充要條件。首先，f(z-1)應(yīng)是既約多項(xiàng)式。如果不是既約的，則產(chǎn)生的序列的周期L<2n－1

(證明從略)。10.3.4

m序列信號(hào)的性質(zhì)

m序列是一種十分重要的優(yōu)選信號(hào)。它具有以下性質(zhì)：

(1)移位-相加-移位特性(平移等價(jià)性)；

(2)偽隨機(jī)序列性質(zhì)；

(3)雙值自相關(guān)特性；

(4)具有包絡(luò)線為(sinx/x)2型的線狀功率譜。

下面來(lái)分析m序列的這些性質(zhì)。

1.移位-相加-移位性質(zhì)

前述例子中，由D3觸發(fā)器輸出的L=7的序列為0010111，將其移位7次可以得到不同循環(huán)序列，如下所示，這里序列前的數(shù)字表示移位的次數(shù)。

所謂移位-相加-移位性質(zhì)，是指將移位以后的兩個(gè)m序列進(jìn)行模2加法運(yùn)算，相加的結(jié)果仍是一個(gè)m序列。此序列是原

m序列移位以后產(chǎn)生的序列，即

(10.22)

這里，mk、mp及mq分別表示原m序列移位k次、p次及q次后的m序列。例如，在上述例子中，有m1

m4=m2,m2

m5=m3，即原序列移位1次和移位4次后的序列相加就是移位2次后的序列,移位2次與移位5次后的序列相加就是原序列移位3次后的序列,即

2．偽隨機(jī)序列性質(zhì)

m序列雖然是由移位寄存器電路產(chǎn)生的周期序列，但它卻具有與二進(jìn)制隨機(jī)序列類似的重要性質(zhì)，所以稱m序列為偽隨機(jī)序列。m序列是偽隨機(jī)序列中重要的一種。為了比較m序列與真正的二進(jìn)制隨機(jī)序列的關(guān)系，下面先來(lái)討論真正的二進(jìn)制隨機(jī)序列的性質(zhì)。

現(xiàn)在來(lái)研究一個(gè)隨機(jī)取值的二進(jìn)制序列。例如，進(jìn)行拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，記錄正面和反面出現(xiàn)的過(guò)程。出現(xiàn)正面記為+1，出現(xiàn)反面記為－1。這樣記錄結(jié)果構(gòu)成一個(gè)二進(jìn)制隨機(jī)序列，稱為貝努利(Bernoulli)序列。當(dāng)該二進(jìn)制隨機(jī)序列較長(zhǎng)時(shí)，它具有以下性質(zhì)：

(1)均衡性。序列中出現(xiàn)+1和－1的概率各占1/2。

(2)游程特性。所謂游程，是指序列中連續(xù)出現(xiàn)相同符號(hào)的一段。這一段中包括的元素個(gè)數(shù)稱為游程長(zhǎng)度l。當(dāng)序列較長(zhǎng)時(shí)，長(zhǎng)度l=1的游程個(gè)數(shù)趨于游程總數(shù)的1/2，長(zhǎng)度l=2的游程個(gè)數(shù)趨于游程總數(shù)的1/22,以此類推，長(zhǎng)度為l的游程個(gè)數(shù)趨于游程總數(shù)的1/2l。

(3)二進(jìn)制隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)為δ(·)函數(shù)。二進(jìn)制隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)定義為

(10.23)

式中，當(dāng)l=0時(shí)，ρ(0)=1。只要l≠0，由于xk與xk+l的取值互相獨(dú)立，因此它們的乘積為0，有:

(10.24)由于二進(jìn)制隨機(jī)序列具有以上三個(gè)性質(zhì)，尤其是其自相關(guān)函數(shù)的尖銳而無(wú)旁瓣特性，使得隨機(jī)序列成為優(yōu)選信號(hào)單元，但隨機(jī)序列同樣存在著無(wú)法復(fù)制的問(wèn)題。

m序列可以通過(guò)電路來(lái)產(chǎn)生，它是一種能夠復(fù)制且具有二進(jìn)制隨機(jī)序列類似性質(zhì)的序列。

m序列的偽隨機(jī)性包括：

(1)均衡性。m序列中“0”和“1”元素的個(gè)數(shù)在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)趨于相等，只是“1”的個(gè)數(shù)比“0”的個(gè)數(shù)多1。這個(gè)性質(zhì)與隨機(jī)序列中“1”和“0”出現(xiàn)的概率各為1/2相似。

例如，當(dāng)n=3，ci為{011}時(shí)，m序列的一個(gè)循環(huán)周期為1001011，其中“1”的個(gè)數(shù)為4，“0”的個(gè)數(shù)為3；當(dāng)n=4，ci為{0011}時(shí)，m序列的一個(gè)循環(huán)周期為100110101111000，其

中“1”的個(gè)數(shù)為8，“0”的個(gè)數(shù)為7。

(2)游程特性。m序列具有與隨機(jī)序列類似的游程特性。m序列中，游程的總數(shù)為2n-1個(gè)，長(zhǎng)度為l的游程個(gè)數(shù)約占序列中游程總數(shù)的1/2l，即長(zhǎng)度為1的游程占1/2，長(zhǎng)度為2的游程占1/4，長(zhǎng)度為3的游程占1/8，以此類推。此外，還有一個(gè)長(zhǎng)度為n的連“1”游程和一個(gè)長(zhǎng)度為n－1的連“0”游程。下面首先確定在周期為L(zhǎng)的m序列中最長(zhǎng)的游程l的界限。由n級(jí)移位寄存器產(chǎn)生的m序列中，各種游程的長(zhǎng)度為1≤l≤n，即游程的最大長(zhǎng)度為n。如果連續(xù)出現(xiàn)n+1個(gè)相同的符號(hào)(設(shè)出現(xiàn)n+1個(gè)“1”)，即a1=1，a2=1，…，an+1=1，則由于

，說(shuō)明序列前n個(gè)“1”決定了第n+1個(gè)元素仍為1，這樣依次遞推下去就有an+2=1，an+3=1，等等，即系統(tǒng)一直保持全“1”狀態(tài)，系統(tǒng)靜止，所以必有l(wèi)≤n?？梢宰C明，長(zhǎng)度為l的游程個(gè)數(shù)占游程總數(shù)的比例(除了l=n外)為

(10.25)

由式(10.25)可以看出，在m序列中，游程長(zhǎng)度每增加1位，則該游程出現(xiàn)的概率就下降一半，這正是隨機(jī)二進(jìn)制序列的重要性質(zhì)。例如，n=4的m序列111100011010010…中，游程總數(shù)

為2n-1=23=8個(gè)。l=1的游程數(shù)為4個(gè)，占游程總數(shù)的4/8=1/2；l=2的游程數(shù)為2個(gè)，占游程總數(shù)的1/4；l=3的游程數(shù)為1個(gè)，

占游程總數(shù)的1/23=1/8；l=4(1111)的游程數(shù)為1個(gè)，不符合這

個(gè)規(guī)律。

3.雙值自相關(guān)特性

m序列是一個(gè)周期性的序列，其自相關(guān)函數(shù)為βii(l)=

xik·xik+l,xi∈(－1，+1)，自相關(guān)系數(shù)為。其中，L為m序列周期長(zhǎng)度，l為移位數(shù)。

若xi∈(0，1)，則根據(jù)序列自相關(guān)函數(shù)公式，可得:

(10.26)在m序列中，應(yīng)用式(10.26)計(jì)算自相關(guān)函數(shù)較為方便，因?yàn)锳－D代表原序列與移位序列模2和后得到的新序列中“0”的個(gè)數(shù)與“1”的個(gè)數(shù)的差值。由m序列的移位-相加-移位性質(zhì)可知，原序列和移位序列模2和后得到的新序列仍為m序列，由

m序列的偽隨機(jī)性又知，在m序列中“0”的個(gè)數(shù)比“1”的個(gè)數(shù)少1個(gè)，所以A－D=－1,即有:

(10.27)自相關(guān)系數(shù)為

(10.28)

式(10.27)和式(10.28)表明，m序列具有非常良好的自相關(guān)性質(zhì)。在l=0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)取最大值2n－1，在l≠0的各點(diǎn)上的自相關(guān)值為同一負(fù)數(shù)，所以稱m序列為雙值自相關(guān)序列。這一性質(zhì)與二進(jìn)制隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)有最大值而在其他各點(diǎn)的值為0的性質(zhì)類似。m序列具有尖銳而無(wú)旁瓣的自相關(guān)函數(shù)，是一種典型的優(yōu)選信號(hào)。以上討論的m序列的特性(即“0”、“1”元素的均衡性，游程特性以及雙值自相關(guān)性)與二進(jìn)制隨機(jī)序列的性質(zhì)非常相似，特別是自相關(guān)函數(shù)的雙值性和波形尖銳的特點(diǎn)使得m序列成為信號(hào)設(shè)計(jì)中典型的優(yōu)選信號(hào)單元。此外，同長(zhǎng)不同宗的m序列(即不同的本原多項(xiàng)式生成的m序列)之間的互相關(guān)特性也較好，互相關(guān)量的統(tǒng)計(jì)平均值為

(10.29)

4.包絡(luò)線為(sinx/x)2型的線狀功率譜

信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)的功率譜密度是一對(duì)傅立葉變換，所以m序列的功率譜P(ω)可以用m序列的自相關(guān)函數(shù)R(τ)求得，即

(10.30)由序列分析可以求得，m序列的功率譜P(ω)為

(10.31)當(dāng)L=7時(shí)，m序列的功率譜曲線如圖10.5所示。由式(10.31)可以看出：

(1)在ω=0，處，P(ω)具有線狀譜。

(2)在譜線中，每隔L次諧波出現(xiàn)譜能量減小，能量大小不是按的包絡(luò)線規(guī)律下降，而是僅為原包絡(luò)線強(qiáng)度的1/2n，形成“缺口”。圖10.5周期L=7的m序列波形信號(hào)的功率譜

(3)m序列功率譜的包絡(luò)線按變化，在ω=2π/tp的整數(shù)倍處出現(xiàn)包絡(luò)線的零點(diǎn)。當(dāng)碼元采用全占空脈沖，即tp=ts時(shí)，“缺口”與零點(diǎn)重合。10.3.5

m序列的應(yīng)用

1.誤碼率測(cè)量

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，誤碼率是一項(xiàng)主要的質(zhì)量指標(biāo)。一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際信道中傳輸?shù)亩M(jìn)制數(shù)字信號(hào)“0”和“1”是等概且隨機(jī)出現(xiàn)的。因此，在進(jìn)行誤碼率測(cè)試時(shí)，信號(hào)源中的“0”和“1”碼應(yīng)該具備以上特征。由于m序列中“0”和“1”碼具有均衡性和偽隨機(jī)性，且在接收端復(fù)制m序列十分容易，因而m序列常用來(lái)作為誤碼率測(cè)試的數(shù)字信號(hào)源。圖10.6中示出了數(shù)字信號(hào)單程傳輸時(shí)的誤碼率測(cè)量原理框圖。圖10.6中,發(fā)送端將偽碼發(fā)生器產(chǎn)生的m序列作為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)發(fā)送設(shè)備，通過(guò)信道傳送到接收端。接收到的數(shù)字碼與本地產(chǎn)生且和發(fā)送端同步的m序列進(jìn)行比較，記錄錯(cuò)誤碼元個(gè)數(shù)，并計(jì)算出傳錯(cuò)的碼元數(shù)與總碼數(shù)之比，即得到信道的誤碼率。圖10.6誤碼率測(cè)量原理框圖

2.距離及延遲時(shí)間測(cè)量

雷達(dá)測(cè)量目標(biāo)與觀察點(diǎn)間距離的測(cè)量及信號(hào)經(jīng)過(guò)某一系統(tǒng)后時(shí)間上延遲(或相移)的測(cè)量，都可以通過(guò)m序列進(jìn)行相關(guān)檢測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)。目標(biāo)與觀察點(diǎn)之間的距離可以通過(guò)信號(hào)從目標(biāo)返回到觀察點(diǎn)的時(shí)間延遲τ來(lái)計(jì)算。測(cè)距原理如圖10.7所示。m序列通過(guò)移位后在相關(guān)器中與從測(cè)量目標(biāo)返回的m序列進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。當(dāng)參考m序列信號(hào)的移位延遲等于發(fā)送m序列信號(hào)在傳輸路徑上的延遲時(shí)，相關(guān)器輸出峰值。由m序列移位的碼元數(shù)(即時(shí)間τ)與電波的空間傳播速度就可以計(jì)算出目標(biāo)與觀察點(diǎn)之間的距離。測(cè)量的精度由序列的碼元寬度決定，碼元越窄，測(cè)量精度越高。如果增加m序列的長(zhǎng)度，則可以提高檢測(cè)信噪比，增加測(cè)量的距離。圖10.7測(cè)距原理利用同樣的原理，m序列可作為系統(tǒng)識(shí)別中的測(cè)試信號(hào)。圖10.8所示的是m序列在地層結(jié)構(gòu)勘探中的應(yīng)用原理圖。圖

中,m序列作為振動(dòng)信號(hào)源，使地層隨信號(hào)縱向振動(dòng)(垂直上、下)，振動(dòng)波每碰到不同結(jié)構(gòu)的介質(zhì)面就產(chǎn)生回波。通過(guò)拾振器(即振動(dòng)傳感檢波器)把振動(dòng)信號(hào)(m序列)變?yōu)殡娦盘?hào)，經(jīng)放大之后與振動(dòng)源的m序列信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理,然后通過(guò)各相關(guān)峰值出現(xiàn)的時(shí)間及子波(相關(guān)波形)形狀，判斷各種地層的厚度及各層土質(zhì)的差別，從而為尋找礦類、地下水及石油等資源提供依據(jù)。圖10.8

m序列在地層結(jié)構(gòu)勘探中的應(yīng)用原理圖

3.數(shù)字通信中的加密

現(xiàn)代通信系統(tǒng)對(duì)保密性的要求越來(lái)越高。數(shù)字通信系統(tǒng)中信號(hào)的加密可以通過(guò)m序列來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖10.9所示的是數(shù)字信號(hào)加密、解密的基本原理圖。圖中,信源輸出的二進(jìn)制碼元與m序列發(fā)生器產(chǎn)生的m序列進(jìn)行模2相加，產(chǎn)生難以理解的數(shù)字序列，這就是加密后的信號(hào)。加密后的信號(hào)在傳輸過(guò)程中若被竊聽(tīng)者截獲，竊聽(tīng)者也不能理解其內(nèi)容。在接收端，將加密后的信號(hào)與同步的m序列再進(jìn)行模2相加運(yùn)算，就可以恢復(fù)原來(lái)的數(shù)字信號(hào)。圖10.9利用m序列加密、解密的原理圖如果想要破譯加密后的信號(hào)，就必須了解加密所用的m序列的類型、長(zhǎng)度及相位等信息。由于m序列越長(zhǎng)(即n越大),不同宗的m序列越多，且不同相位的m序列也越多，破譯者找到與發(fā)信用的同宗同相的m序列所需的時(shí)間越長(zhǎng)，所以加密用的m序列越長(zhǎng)，破譯難度就越大。因而，非線性移位寄存器產(chǎn)生的m序列更適用于通信加密。例如，用n=10的m序列進(jìn)行加密，假定破譯者用大型計(jì)算機(jī)搜索，每試探一種n=10的m序列設(shè)為1納秒(1ns)，則平均約需2×10134年才能破譯密碼。這實(shí)際上等于不可破譯！

4.m序列在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

所謂擴(kuò)頻通信，是指?jìng)鬏斝盘?hào)的帶寬遠(yuǎn)大于原信號(hào)本身帶寬的一種通信方式。擴(kuò)頻通信技術(shù)是在香農(nóng)(Shannon)的信道容量公式C=Blb(1+S/N)的指導(dǎo)下產(chǎn)生的。該公式表明，在相同信道容量的條件下，帶寬與信噪比是可以互換的，即通過(guò)編碼利用較寬的頻帶可以換取低信噪比下的無(wú)誤信息傳輸。在擴(kuò)展頻譜系統(tǒng)中，常使用偽隨機(jī)碼來(lái)擴(kuò)展頻譜。偽隨機(jī)碼的特性(如編碼類型、長(zhǎng)度、速度等)在很大程度上決定了擴(kuò)頻系統(tǒng)的性能，如抗干擾能力、多址能力、碼捕獲時(shí)間。在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，傳輸信號(hào)帶寬與原信號(hào)帶寬的比值用擴(kuò)頻因數(shù)Be表示，即Be=B/R，其中，B是擴(kuò)頻后的信號(hào)帶寬，R為擴(kuò)頻前信號(hào)本身的帶寬。通常Be的取值在100~1000

之間。

擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的工作過(guò)程是：在發(fā)送端用一高速偽隨機(jī)序列(稱為擴(kuò)頻碼)去調(diào)制待發(fā)送的信號(hào)，由于偽隨機(jī)序列的碼速遠(yuǎn)大于原信息速率，因而傳輸信號(hào)的帶寬被大大展寬，這個(gè)過(guò)程稱為擴(kuò)頻；在接收端用與發(fā)送端同步的偽隨機(jī)序列對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理，把寬帶信號(hào)還原為原信號(hào)，這個(gè)過(guò)程稱為解擴(kuò)。圖10.10中示出了用m序列作為擴(kuò)頻碼的擴(kuò)頻通信過(guò)程。圖10.10擴(kuò)頻通信系統(tǒng)原理圖按擴(kuò)頻信號(hào)產(chǎn)生的方法不同，擴(kuò)頻通信系統(tǒng)可分為兩種：一種是直接序列擴(kuò)頻(DSSS，DirectSequenceSpreadSpectrum)系統(tǒng)，另一種是頻率跳變擴(kuò)頻(FHSS，F(xiàn)requencyHoppingSpreadSpectrum)系統(tǒng)，也稱為跳頻擴(kuò)頻系統(tǒng)。直接序列擴(kuò)頻(DSSS)系統(tǒng)的基本原理如圖10.11(a)所示。為了說(shuō)明擴(kuò)頻原理，圖中略去了信道編碼部分。在直接序列擴(kuò)頻系統(tǒng)中，發(fā)送端用信碼序列(或經(jīng)信道編碼后的信碼序列)先對(duì)載波進(jìn)行二進(jìn)制調(diào)相(PSK)，再用偽隨機(jī)碼序列對(duì)PSK信號(hào)進(jìn)行二次調(diào)制。由于偽隨機(jī)碼的速率遠(yuǎn)大于信碼序列的速率，因而使PSK信號(hào)頻譜擴(kuò)展，如圖10.11(c)所示。擴(kuò)展寬度取決于偽隨機(jī)碼的速率Rc，信號(hào)帶寬W=2Rc。通常用信息碼中的

“1”或“0”對(duì)應(yīng)m序列中的一個(gè)周期，這樣系統(tǒng)的擴(kuò)頻因數(shù)Be=L=2n－1。所以,m序列越長(zhǎng),擴(kuò)頻因數(shù)越大。由于信碼和擴(kuò)頻用的偽隨機(jī)碼都是二進(jìn)制序列，并且是對(duì)同一載波進(jìn)行調(diào)制，因此圖10.11(a)中的調(diào)制部分可簡(jiǎn)化為圖10.11(b)。圖10.11直接序列擴(kuò)頻方框圖及頻譜在接收端用提取出的時(shí)鐘信號(hào)先產(chǎn)生與發(fā)送端同步的偽碼(m序列)序列，再用此序列去調(diào)制本振，然后將已調(diào)本振與接收信號(hào)混頻，這樣就得到了受信碼調(diào)制的窄帶中頻信號(hào)，頻譜如圖10.11(d)所示，最后由PSK解調(diào)器解調(diào)出原信息序列。由圖10.11(d)可以看出，由于干擾和噪聲與接收端本地偽碼序列無(wú)關(guān)，混頻(去擴(kuò)頻)后仍為寬帶(如圖中的虛線所示)，經(jīng)中頻放大及窄帶濾波后，干擾和噪聲僅有一小部分落入信號(hào)頻帶內(nèi)，干擾和噪聲電平大大降低，因而使輸出信噪比有了很大提高。信噪比提高的倍數(shù)稱為擴(kuò)頻系統(tǒng)的處理增益Ge，理論上應(yīng)等于擴(kuò)頻因數(shù)Be(實(shí)際上可能達(dá)不到此值)。處理增益不可能無(wú)限制增加，當(dāng)干擾和噪聲被降低到熱噪聲的電平強(qiáng)度時(shí)，信噪比不能再升高，達(dá)到此界限的擴(kuò)頻序列的速率稱為最佳擴(kuò)頻速率。

跳頻擴(kuò)頻(FHSS)系統(tǒng)的原理如圖10.12(a)所示。系統(tǒng)中的關(guān)鍵部分是由偽碼序列控制的頻率合成器。圖10.12跳頻擴(kuò)頻系統(tǒng)及擴(kuò)頻變化在發(fā)送端，系統(tǒng)將由信碼調(diào)制得到的調(diào)頻信號(hào)(FSK)與由偽碼(m序列)控制的頻率合成器的輸出信號(hào)混頻。在每個(gè)信息碼元之內(nèi)發(fā)送一個(gè)或幾個(gè)頻率的組合，構(gòu)成一個(gè)矩形包絡(luò)的梳狀擴(kuò)頻頻譜，如圖10.12(b)所示。擴(kuò)頻因數(shù)取決于頻率合成器提供的不同頻率個(gè)數(shù)，即偽碼序列的不同狀態(tài)數(shù)(每種狀態(tài)產(chǎn)生一個(gè)頻率)，頻率合成器受m序列控制而產(chǎn)生2n－1個(gè)不同的頻率。控制頻率合成器的m序列速率可以高于，也可以等于或低于信碼速率。圖10.12(b)所示的是在每個(gè)信息碼元時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生一次跳頻時(shí)的時(shí)頻編碼圖。擴(kuò)頻技術(shù)除了可以提高通信系統(tǒng)的輸出信噪比外，還可以

應(yīng)用于以下場(chǎng)合。

(1)抗干擾。

(2)低信噪比通信及信號(hào)隱藏。

(3)碼分多址(CDMA，CodeDivisionMultipleAccess)。

(4)多徑分離，克服衰落。

10.4巴克(Barker)序列

10.4.1巴克序列及其自相關(guān)函數(shù)

對(duì)于巴克序列，首先定義它的自相關(guān)函數(shù)及其取值，然后按照所要求的條件去尋找符合條件的序列。巴克序列的自相關(guān)函數(shù)β(l)定義為

(10.32)

式中:L為序列長(zhǎng)度;l為位移數(shù);xk為序列的第k個(gè)元素。按照以上定義，用試探的方法去尋找在l≠0時(shí)自相關(guān)值不超出±1的序列。設(shè)二元序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，計(jì)算2L個(gè)不同序列的自相關(guān)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)某些序列具有良好的自相關(guān)特性，完全符合以上條件。到目前為止，已找到碼長(zhǎng)L=1，2，3，4，5，7，11，13的8種基本巴克序列，如表10.2所示。從巴克碼自相關(guān)函數(shù)的定義來(lái)看，巴克碼越長(zhǎng)越好。序列越長(zhǎng)，自相關(guān)主峰越高，越尖銳。所以，人們一直在尋找更長(zhǎng)的巴克序列。然而，到目前為止，L>13的巴克碼仍未找到。

根據(jù)巴克碼自相關(guān)函數(shù)的定義，可以得到巴克碼自相關(guān)函數(shù)并畫(huà)出其波形。圖10.13中畫(huà)出了L=7及L=13時(shí)的巴克碼(B－7及B－13)自相關(guān)函數(shù)波形。從圖10.13中可以看出，巴克碼自相關(guān)函數(shù)主瓣寬度為一個(gè)碼的寬度(平均寬度)。因而，巴克碼具有良好的脈沖壓縮特性。圖10.13巴克碼自相關(guān)函數(shù)10.4.2巴克序列的演變

從同步識(shí)別的角度來(lái)看，希望找到識(shí)別性能好而且較長(zhǎng)的序列。將巴克碼以及與此碼反符號(hào)的碼(實(shí)際上仍為巴克碼)串排起來(lái)，可以構(gòu)成更長(zhǎng)的碼。通過(guò)嘗試，可以找到在l≠0時(shí)自相關(guān)值β(l)≤+1的良好序列。例如，L=3的巴克碼(++－)串排兩次，再串一反符號(hào)序列(－－+)，則得到L=9的序列。L=9的巴克序列的自相關(guān)函數(shù)值如表10.3所示。根據(jù)式(10.32)巴克序列的自相關(guān)函數(shù)的定義，考查表10.2中所列的基本巴克序列的逆序列及反號(hào)序列可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)任何一種巴克序列，將其首尾順序逆轉(zhuǎn)，構(gòu)成逆序列后，仍為巴克序列。同樣可以驗(yàn)證，基本巴克序列乘以－1所構(gòu)成的反符號(hào)序列也是巴克序列。

此外，對(duì)于基本的巴克序列，還可以將其元素演變?yōu)槎酄顟B(tài)而模仍為1的復(fù)數(shù)元素，從而構(gòu)成多種形式的演變巴克序列。例如，將基本巴克序列{xk}按以下方式演變?yōu)閧yk}：

(10.33)

式中，m為非零整數(shù)。當(dāng)m=1時(shí)，yk=1，{yk}就是原來(lái)的巴克序列。演變后的{yk}的自相關(guān)函數(shù)定義如下:

(10.34)

式中，y*k+l為yk+l的復(fù)共扼。由式(10.34)可得到:

(10.35)

可見(jiàn)，演變巴克序列與基本巴克序列具有相同的自相關(guān)

函數(shù)。10.4.3巴克序列的檢測(cè)

接收并判別巴克碼的裝置是一個(gè)巴克碼相關(guān)器。它把收到的巴克碼各元素與參考巴克碼對(duì)應(yīng)的元素相乘，然后求其總和。當(dāng)收到的巴克碼與參考的巴克碼相位對(duì)齊時(shí)，相關(guān)器輸出峰值L，這一時(shí)刻由判決器進(jìn)行判決。

下面簡(jiǎn)單介紹用移位寄存器產(chǎn)生巴克碼及檢測(cè)巴克碼的例子。圖10.14(a)為B－7碼(L=7)發(fā)生器，其中一種是串行式巴克碼發(fā)生器，另一種為反饋式巴克碼發(fā)生器。它們都產(chǎn)生1110010的巴克碼(這里用0和1代表－1和+1)。圖10.14(b)為

B－7碼的檢測(cè)電路，它由移位寄存器、相加器以及判決電路

構(gòu)成。圖10.14(c)畫(huà)出了檢測(cè)波形及判決輸出。圖10.14(b)中“0”狀態(tài)對(duì)應(yīng)于相加器的－1V，而“1”狀態(tài)對(duì)應(yīng)于+1V。輸出波形中，假定巴克碼的前后為空，調(diào)節(jié)判決電平，可以調(diào)節(jié)檢測(cè)時(shí)錯(cuò)判的概率。巴克碼作為同步碼時(shí)，調(diào)節(jié)判決電平可以調(diào)節(jié)漏同步或假同步的概率。如果巴克序列的前后不是全“0”的序列，而是1、0等概的隨機(jī)序列，則這時(shí)檢測(cè)器的輸入-輸出特性與圖10.14(c)會(huì)有明顯的區(qū)別。圖10.14

B－7碼發(fā)生器及檢測(cè)器設(shè)未進(jìn)入檢測(cè)器的巴克碼的位數(shù)為m，則檢測(cè)器輸出的最大可能值為

A(m)=β(m)+|m|

(10.36)

式中:β(m)為巴克碼的自相關(guān)函數(shù);m應(yīng)小于巴克碼的長(zhǎng)度L。

對(duì)于7位長(zhǎng)的B－7巴克碼來(lái)說(shuō)，檢測(cè)器的輸出值如表10.4所示，相應(yīng)的輸入-輸出特性如圖10.15所示，圖中P(m)為出現(xiàn)A(m)的概率。圖10.15

B－7碼檢測(cè)器輸入-輸出特性本章仿真實(shí)驗(yàn)舉例

1.SystemView仿真舉例

所謂擴(kuò)頻通信，是指?jìng)鬏斝盘?hào)的帶寬遠(yuǎn)大于原信號(hào)本身帶寬的一種通信方式。擴(kuò)頻通信技術(shù)是在香農(nóng)(Shannon)提出的信道容量公式C=Blb(1+S/N)的指導(dǎo)下產(chǎn)生的。根據(jù)上述擴(kuò)頻原理，結(jié)合SystemView中可利用的元件可以得出如圖10.16所示的仿真圖。圖10.16

m(d=15)序列擴(kuò)頻解擴(kuò)SystemView仿真圖圖10.16中,用一個(gè)100Hz的隨機(jī)序列來(lái)模擬信號(hào)源，和一個(gè)由1kHz周期方波控制的m序列發(fā)生器相乘進(jìn)行擴(kuò)頻，其中m序列是15位的(在參數(shù)設(shè)置中寄存器長(zhǎng)度設(shè)為4，抽頭1、4設(shè)為1，其他不考慮)，然后乘一個(gè)10kHz的載波。其中，調(diào)制和擴(kuò)頻環(huán)節(jié)可以互換，不影響系統(tǒng)輸出。在調(diào)制和擴(kuò)頻環(huán)節(jié)中間

加一噪聲，接著同步解調(diào)、解擴(kuò)，然后用前面已經(jīng)介紹過(guò)的

線性系統(tǒng)的模擬濾波器——Butterworth低通濾波器(截止頻率為100Hz)進(jìn)行濾波，最后進(jìn)行抽樣判別(判別器設(shè)定一個(gè)“1”的判決門(mén)限)，得出解調(diào)波形。這里要注意的是，采樣率一定要大于系統(tǒng)最高頻率的兩倍，采樣點(diǎn)也要多，否則輸出就是全1或全0。這里設(shè)定采樣率為25kHz，采樣點(diǎn)為2048。運(yùn)行以后給各個(gè)輸出端子的波形(這里的輸出端子最好按系統(tǒng)的流程排列)加上標(biāo)注，如圖10.17所示。圖10.17

m(d=15)序列擴(kuò)頻解擴(kuò)SystemView仿真波形由圖10.17可以看出，輸入、輸出波形有一定的延遲，這是由于仿真圖中的低通濾波器(元件11)造成的，低通濾波器包含的一些延遲元件造成了信號(hào)的延遲。m序列擴(kuò)頻以后的信號(hào)是在源信號(hào)基礎(chǔ)上乘以長(zhǎng)度為7、頻率為10倍于源信號(hào)的m序列。調(diào)制后的波形由于載波信號(hào)頻率為m序列的頻率的10倍，所以不是十分明顯，調(diào)大之后會(huì)看到幅度不均勻的波形，這是因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)不足，并非仿真系統(tǒng)。不斷加大噪聲或干擾的幅度，當(dāng)達(dá)到系統(tǒng)的干擾門(mén)限時(shí)，不能準(zhǔn)確地恢復(fù)原始波形。在這個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上可以延伸至63位長(zhǎng)的m序列(即6個(gè)觸發(fā)器)的擴(kuò)頻解擴(kuò)系統(tǒng)。當(dāng)然，m序列發(fā)生器和GOLD序列發(fā)生器的仿真圖就十分簡(jiǎn)單了，只是這個(gè)系統(tǒng)的一部分而已。以上是m序列d=15時(shí)的情形，因此當(dāng)m序列擴(kuò)頻解擴(kuò)系統(tǒng)d取不同的值時(shí)將得到不同的m序列發(fā)生器的仿真情形。

圖10.18和圖10.19是d=8的情形。圖10.18

m序列擴(kuò)頻解擴(kuò)系統(tǒng)(d=8)仿真模型圖10.19

m序列擴(kuò)頻解擴(kuò)系統(tǒng)(d=8)仿真波形

2.MATLAB仿真舉例

1)m序列發(fā)生器仿真模型

m序列發(fā)生器模型如圖10.20所示。其仿真波形如圖10.21所示。

根據(jù)擴(kuò)頻通信系統(tǒng)原理，可以建立圖10.22所示的擴(kuò)頻通信原理仿真系統(tǒng)。圖中的偽隨機(jī)序列發(fā)生器的參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表10.5。圖10.20

m序列發(fā)生器模型圖10.21

m序列發(fā)生器仿真波形圖10.22擴(kuò)頻通信原理仿真系統(tǒng)原始信號(hào)波形如圖10.23所示。圖10.24所示為當(dāng)m序列

和偽隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)異或運(yùn)算后得到的信號(hào)波形。圖10.25~圖10.30分別為調(diào)制信號(hào)波形、解頻信號(hào)、解調(diào)后波形、經(jīng)

BPSK調(diào)制后信號(hào)的頻譜、解調(diào)后頻譜和解頻后頻譜。圖10.23原始信號(hào)波形圖10.24隨機(jī)序列圖10.25調(diào)制信號(hào)波形圖10.26解頻信號(hào)圖10.27解調(diào)后波形圖10.28經(jīng)BPSK調(diào)制后信號(hào)的頻譜圖10.29解調(diào)后頻譜圖10.30解頻后頻譜

2)m序列擴(kuò)頻解頻MATLAB程序仿真

BPSK源程序如下：

echoon

t0=.15；