人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊學案：4 2 1 第二課時 等差數列的性質及實際應用

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第二課時等差數列的性質及實際應用課標要求素養(yǎng)要求1.能根據等差數列的定義推出等差數列的性質，并能運用這些性質簡化運算.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系，并解決相應的問題.通過推導等差數列的性質及其應用，提升學生的數學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過利用等差數列的相關公式解決實際應用問題，提升學生的數學建模和數學運算素養(yǎng).新知探究請同學們思考以下問題：若等差數列{an}為1，3，5，7，…，2n－1，則數列{an＋2}，{2an}是等差數列嗎？〖提示〗因為等差數列的通項為an＝2n－1，則an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判斷數列{an＋2}，{2an}都是等差數列，一般地，若{an}為等差數列，則{an＋c}，{can}也是等差數列，你還知道等差數列的其他性質嗎？1.等差數列通項公式的變形及推廣(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，(3)d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n).2.若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有數列結論{c＋an}公差為d的等差數列(c為任一常數){c·an}公差為cd的等差數列(c為任一常數){an＋an＋k}公差為2d的等差數列(k為常數，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)3.等差數列的項的對稱性在有窮等差數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….4.下標性質在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.拓展深化〖微判斷〗1.等差數列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(×)〖提示〗反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不滿足a10＝a1＋a9.2.若數列a1，a2，a3，a4，…是等差數列，則數列a1，a3，a5，…也是等差數列.(√)3.若數列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差為d的等差數列，則a1，a2，a3…也是等差數列.(×)〖提示〗反例：設兩數列為1，3，5，…，4，6，8，…，顯然1，4，3，6，5，8，…不是等差數列.4.若數列{an}為等差數列，則an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)〖微訓練〗1.在等差數列{an}中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝()A.－1 B.2C.4 D.6〖解析〗由題意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.〖答案〗B2.已知等差數列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0 D.a51＝51〖解析〗∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.〖答案〗C3.在等差數列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，則a6＝________.〖解析〗由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.〖答案〗－1〖微思考〗1.在等差數列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差數列嗎？若是，公差是多少？〖提示〗是.若{an}的公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差為md.2.在等差數列{an}中，若m，n，p，q，…成等差數列，那么am，an，ap，aq，…也成等差數列嗎？若成等差數列，公差是什么？〖提示〗成等差數列，若{an}的公差為d，則am，an，ap，aq，…的公差為(n－m)d.題型一an＝am＋(n－m)d的應用〖例1〗在等差數列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數列的公差及通項公式.解因為a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因為an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.規(guī)律方法靈活利用等差數列的性質，可以減少運算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負擔.〖訓練1〗已知{bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.〖解析〗法一∵{bn}為等差數列，∴可設其公差為d，則d＝eq\f(b10－b3,10－3)＝eq\f(12－（－2）,7)＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.法二由eq\f(b8－b3,8－3)＝eq\f(b10－b3,10－3)＝d，得b8＝eq\f(b10－b3,10－3)·5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.〖答案〗8題型二等差數列性質的應用〖例2〗已知數列{an}為等差數列，且公差為d.(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解(1)法一由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a105＝a1＋104d＝eq\f(64,15)＋104×eq\f(4,15)＝32.法二∵{an}為等差數列，∴d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a105＝a60＋45×eq\f(4,15)＝32.法三∵{an}為等差數列，∴a15，a60，a105也成等差數列，則2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝17，,a2a5＝52，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.))∴d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(13－4,3)＝3或d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(4－13,3)＝－3.規(guī)律方法等差數列運算的兩條常用思路(1)根據已知條件，列出關于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量.(2)利用性質巧解，觀察等差數列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.〖訓練2〗(1)在等差數列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.(2)已知等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.〖解析〗(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)法一由性質可知，數列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二設等差數列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.〖答案〗(1)20(2)27題型三等差數列的設法與求解〖例3〗已知四個數依次成等差數列且是遞增數列，四個數的平方和為94，首尾兩數之積比中間兩數之積少18，求此等差數列.解設四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＋（a＋3d）2＝94，,（a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），))又因為是遞增數列，所以d>0，所以解得a＝±eq\f(7,2)，d＝eq\f(3,2)，此等差數列為－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.〖遷移〗已知單調遞增的等差數列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數列{an}的通項公式.解法一根據題意，設等差數列{an}的前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝21，,a1（a1＋d）（a1＋2d）＝231，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1（a1＋d）（a1＋2d）＝231，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因為數列{an}為單調遞增數列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4，))從而等差數列{an}的通項公式為an＝4n－1.法二由于數列{an}為等差數列，所以可設前三項分別為a－d，a，a＋d，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝21，,（a－d）a（a＋d）＝231，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,a（a2－d2）＝231，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于數列{an}為單調遞增數列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，))從而an＝4n－1.規(guī)律方法等差數列項的常見設法(1)通項法：設數列的通項公式，即設an＝a1＋(n－1)d.(2)對稱項設法：當等差數列{an}的項數為奇數時，可設中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設項：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當等差數列{an}的項數為偶數時，可設中間兩項分別為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設項：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….對稱項設法的優(yōu)點是：若有n個數構成等差數列，利用對稱項設法設出這個數列，則其各項和為na.〖訓練3〗已知四個數成等差數列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數.解法一設此等差數列的首項為a1，公差為d.根據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋（a1＋3d）＝26，,（a1＋d）（a1＋2d）＝40.))化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,aeq\o\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－3.))所以這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.法二設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，,（a－d）（a＋d）＝40，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2)，))所以所求四個數為2，5，8，11或11，8，5，2.題型四等差數列的實際應用〖例4〗中國歷法推測遵循以算為主、以測為輔的原則.例如《周髀算經》和《易經》里對二十四節(jié)氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其他節(jié)氣的晷影長則是按照等差數列的規(guī)律計算得出的.下表為《周髀算經》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中115.1eq\f(4,6)寸表示115寸1eq\f(4,6)分(1寸＝10分).節(jié)氣冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)驚蟄(寒露)春分(秋分)晷影長/寸135.0125.eq\f(5,6)115.1eq\f(4,6)105.2eq\f(3,6)95.3eq\f(2,6)85.4eq\f(1,6)75.5節(jié)氣清明(白露)谷雨(處暑)立夏(立秋)小滿(大暑)芒種(小暑)夏至晷影長/寸65.5eq\f(5,6)55.6eq\f(4,6)45.7eq\f(3,6)35.8eq\f(2,6)25.9eq\f(1,6)16.0已知《易經》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經》中小寒與清明之間的晷影長之差為()A.105.6寸 B.48寸C.57.6寸 D.67.2寸〖解析〗設晷影長構成等差數列{an}，公差為d，則a1＝130.0，a13＝14.8，d＝eq\f(a13－a1,13－1)＝－9.6，故小寒與清明之間的晷影長之差即為a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6.〖答案〗C規(guī)律方法解決等差數列實際應用問題的步驟及注意點(1)解答數列實際應用問題的基本步驟：①審題，即仔細閱讀材料，認真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數學(數列)語言，將實際問題轉化成數學問題；③判型，即判斷該數列是否為等差數列；④求解，即求出該問題的數學解；⑤還原，即將所求結果還原到實際問題中.(2)在利用數列方法解決實際問題時，一定要弄清首項、項數等關鍵問題.〖訓練4〗假設某市2020年新建住房400萬平方米，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在________年新建住房的面積開始大于820萬平方米.〖解析〗設n年后該市新建住房的面積為an萬平方米.由題意，得{an}是等差數列，首項a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>eq\f(42,5).由于n∈N*，則n≥9.所以該市在2029年新建住房的面積開始大于820萬平方米.〖答案〗2029一、素養(yǎng)落地1.通過學習等差數列的性質解決等差數列問題，培養(yǎng)邏輯推理及數學運算素養(yǎng)，通過利用等差數列解決實際問題，提升數學建模素養(yǎng).2.在等差數列{an}中，當m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.3.等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列.4.等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.二、素養(yǎng)訓練1.在等差數列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差