人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊學案：4 2 2 第二課時 等差數列前n項和的最值及應用

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第二課時等差數列前n項和的最值及應用課標要求素養(yǎng)要求能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系，并解決相應的問題.通過利用等差數列的前n項和公式解決實際應用問題，提升學生的數學建模和數學運算素養(yǎng).新知探究公元前二千多年的巴比倫人就提出了等差數列問題，“十兄弟分銀子”就是其中之一.有100兩銀子要分給10個兄弟，按年齡的不同分給不同的數量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次類推，都相差一級，每一級相差數都一樣，但不知是多少，只知道老八分到的銀子是6兩.問題每一級的差額是多少？〖提示〗設十兄弟所分得的銀子從多到少依次為a1，a2，…，a10，易知其為等差數列，且a8＝6，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S10＝10a1＋\f(1,2)×9×10d＝100，,a8＝a1＋7d＝6，))解得a1＝eq\f(86,5)，d＝－eq\f(8,5).故每一級的差額是eq\f(8,5)兩.1.前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.2.等差數列前n項和的最值d的符號決定Sn有最大值還是最小值(1)在等差數列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))確定；當a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))確定.(2)因為Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值，且n取最接近對稱軸的自然數時，Sn取到最值.拓展深化〖微判斷〗1.若等差數列{an}的前n項和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，則其最大值或最小值一定在n＝－eq\f(B,2A)取得.(×)〖提示〗只有當－eq\f(B,2A)是正整數時才成立.2.若等差數列{an}的公差d>0，則{an}的前n項和一定有最小值.(√)3.設等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，則Sn在n＝eq\f(1,2)(p＋q)處取得最大值或最小值.(×)〖提示〗當eq\f(1,2)(p＋q)是正整數，即p＋q是偶數時結論才成立.〖微訓練〗1.等差數列{an}的前n項和Sn＝n2－3n，則其最小值為________.〖解析〗由Sn＝n2－3n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,4)，可知當n＝1或2時，Sn的最小值為－2.〖答案〗－22.設an＝14－3n，則數列{an}的前n項和Sn有最________(填“大”或“小”)值為________.〖解析〗由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝14－3n≥0，,an＋1＝14－3（n＋1）≤0，))得n＝4，則其最大值為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26.〖答案〗大26〖微思考〗1.在等差數列{an}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0時，Sn能否取得最值？〖提示〗當a1＞0，d＞0時，Sn的最小值為a1，無最大值；當a1＜0，d＜0時，Sn的最大值為a1，無最小值.2.若數列{an}的通項公式為an＝2n－37，則當n為何值時Sn取得最小值？〖提示〗∵an＝2n－37，an＋1－an＝2＞0，∴{an}為遞增數列.由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，即當n＝18時，Sn取得最小值.題型一等差數列前n項和最值問題的判斷〖例1〗(多選題)在等差數列{an}中，首項a1>0，公差d≠0，前n項和為Sn(n∈N*)，則下列命題正確的是()A.若S3＝S11，則必有S14＝0B.若S3＝S11，則S7是{Sn}中的最大項C.若S7>S8，則必有S8>S9D.若S7>S8，則必有S6>S9〖解析〗根據等差數列的性質，若S3＝S11，則S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，則a7＋a8＝0，S14＝eq\f(14（a1＋a14）,2)＝7(a7＋a8)＝0；根據Sn的圖象，當S3＝S11時，對稱軸是eq\f(3＋11,2)＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，則a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正確.〖答案〗ABCD規(guī)律方法一般地，在等差數列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，則①若p＋q為偶數，則當n＝eq\f(p＋q,2)時，Sn最大；②若p＋q為奇數，則當n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)時，Sn最大.〖訓練1〗設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S15>0，S16<0，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))的前15項中最大的項是()A.第1項 B.第8項C.第9項 D.第15項〖解析〗S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)<0，故a8>0，a9<0，公差d<0，所以數列{an}是遞減數列，所以a1，…，a8均為正，a9，…，an均為負，且S1，…，S15均為正，S16，…，Sn均為負，則eq\f(S1,a1)>0，eq\f(S2,a2)>0，…，eq\f(S8,a8)>0，eq\f(S9,a9)<0，eq\f(S10,a10)<0，…，eq\f(S15,a15)<0.又S8>S7>…>S1>0，a1>a2>…>a8>0，所以eq\f(S8,a8)>eq\f(S7,a7)>…>eq\f(S1,a1)>0，所以最大的項是eq\f(S8,a8)，即第8項.〖答案〗B題型二等差數列前n項和最值的計算〖例2〗設{an}為等差數列，Sn為數列{an}的前n項和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn為數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項和.(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.解(1)設數列{an}的公差為d.依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋4d＝1，,15a1＋\f(15×14,2)d＝75，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝1，))∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－2n＋eq\f(n（n－1）,2)＝eq\f(n2－5n,2).(2)法一由(1)知Sn＝eq\f(n2－5n,2)，∴eq\f(Sn,n)＝eq\f(n－5,2).設bn＝eq\f(Sn,n)＝eq\f(n－5,2)，則bn＋1－bn＝eq\f(（n＋1）－5,2)－eq\f(n－5,2)＝eq\f(1,2)，∴數列{bn}是公差為eq\f(1,2)的等差數列，首項b1＝eq\f(S1,1)＝a1＝－2.又Tn為數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項和，∴Tn＝－2n＋eq\f(n（n－1）,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2－9n,4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(81,16).∴當n＝4或n＝5時，(Tn)min＝－5.法二易知bn＝eq\f(n－5,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn≤0，,bn＋1≥0，))解得4≤n≤5.故Tn的最小值為T4＝T5＝－5.規(guī)律方法求等差數列前n項和的最值的方法有：(1)運用配方法轉化為二次函數，借助二次函數的單調性以及數形結合的思想，從而使問題得解；(2)通項公式法，求使an≥0(an≤0)成立時最大的n即可.〖訓練2〗已知等差數列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數列{an}的通項公式；(2)當n為何值時，數列{an}的前n項和取得最大值？解(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一∵a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴當n＝5時，Sn取得最大值.法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是遞減數列.令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N*，∴n≤5時，an>0，n≥6時，an<0.∴當n＝5時，Sn取得最大值.題型三等差數列求和的實際應用〖例3〗7月份，有一新款服裝投入某市場.7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件.(1)問7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？(2)按規(guī)律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時，則不再流行.問該款服裝在社會上流行幾天？解(1)設7月n日售出的服裝件數為an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak＝3＋3（k－1），,ak－2（31－k）＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝13，,ak＝39，))∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件.(2)設Sn是數列{an}的前n項和，∵an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n，1≤n≤13，,65－2n，14≤n≤31，))∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(（3＋3n）n,2)，1≤n≤13，,273＋（51－n）（n－13），14≤n≤31.))∵S13＝273>200，∴當1≤n≤13時，由Sn>200，得12≤n≤13，當14≤n≤31時，日銷售量連續(xù)下降，由an<20，得23≤n≤31，∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日).規(guī)律方法應用等差數列解決實際問題的一般思路：〖訓練3〗某地去年9月份曾發(fā)生流感，據統(tǒng)計，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數比前一天新感染者人數增加40.從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數比前一天的新感染者人數減少10.(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數；(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解(1)由題意，知該地區(qū)9月份前10天每天新感染者人數構成一個首項a1＝40，公差d＝40的等差數列{an}，所以9月10日的新感染者人數為a10＝40＋(10－1)×40＝400.從9月11日起，每天的新感染者人數比前一天的新感染者人數減少10，所以9月11日的新感染者人數為400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人數的和為S10＝eq\f(10×（40＋400）,2)＝2200，9月份后20天每天新感染者人數構成一個首項b1＝390，公差d1＝－10的等差數列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人數的和為T20＝eq\f(20×（390＋200）,2)＝5900，所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).一、素養(yǎng)落地1.通過學習等差數列前n項和最值的求法，提升數學運算素養(yǎng)，通過學習利用等差數列前n項和解決實際問題，提升數學建模素養(yǎng).2.求等差數列前n項和最值的方法：(1)二次函數法：用求二次函數的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意n∈N*，結合二次函數圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀.(2)通項法：當a1>0，d<0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值.3.解決與等差數列有關的實際應用題時，要抓住其反映等差數列的特征，仔細審題，用心聯想.要明確該問題是求an還是求Sn？要特別注意弄清項數是多少.二、素養(yǎng)訓練1.設an＝2n－9，則當數列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為()A.4 B.5C.4或5 D.5或6〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0，))解得eq\f(7,2)≤n≤eq\f(9,2)，故n＝4.〖答案〗A2.設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝S12，則()A.S9最大 B.S10最大C.S9與S10相等且最大 D.以上都不對〖解析〗由于不能明確公差的符號，所以S9與S10相等可能是最大值也可能是最小值.〖答案〗D3.若在數列{an}中，an＝43－3n，則當Sn取最大值時，n＝()A.13 B.14C.15 D.14或15〖解析〗∵數列{an}中，an＝43－3n，∴a1＝40，∴Sn＝eq\f(n（40＋43－3n）,2)是關于n的二次函數，函數圖象是開口向下的拋物線上的一些橫坐標為正整數的點，對稱軸為n＝eq\f(83,6)，又n為正整數，與eq\f(83,6)最接近的一個正整數為14，故Sn取得最大值時，n＝14.故選B.〖答案〗B4.《算法