人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：4 3 2 第1課時 等比數(shù)列前n項和公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE14.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第1課時等比數(shù)列前n項和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路.2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題．知識點一等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))知識點二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：①在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．1．等比數(shù)列前n項和Sn不可能為0.(×)2．若首項為a的數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列，則其前n項和等于na.(√)3．若a∈R，則1＋a＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1－an,1－a).(×)4．若某數(shù)列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．(√)一、等比數(shù)列前n項和公式的基本運算例1在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.解(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))從而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11).(2)方法一由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8)，從而q＝eq\f(1,2).又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).(3)因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個根．從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q＝2或eq\f(1,2).反思感悟等比數(shù)列前n項和運算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(3)在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中．(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解(1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得，11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得，16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，則S8＝2S4，不符合題意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝17，兩式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.二、利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和例2求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2n)))的前n項和．解設(shè)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，則有eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，兩式相減，得Sn－eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，即eq\f(1,2)Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1).∴Sn＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n)(n∈N*)．反思感悟錯位相減法的適用范圍及注意事項(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和．(2)注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時，應(yīng)注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達(dá)式．②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．跟蹤訓(xùn)練2已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝eq\f(1,2)，a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差數(shù)列，公比q∈(0,1)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝eq\f(1,2)，因為a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－eq\f(1,8)，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝eq\f(3,2)，又因為q∈(0,1)，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,2n).(2)根據(jù)題意得Sn＝1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,22)＋…＋(2n－1)×eq\f(1,2n)，eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋(2n－3)×eq\f(1,2n)＋(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋…＋2×eq\f(1,2n)－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2))－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Sn＝3－eq\f(4,2n)－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n)，n∈N*.三、等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例3(1)在等比數(shù)列{an}中，若S2＝7，S6＝91，則S4＝________.(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝________.(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k，則實數(shù)k＝________.〖答案〗(1)28(2)2(3)eq\f(3,2)〖解析〗(1)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也構(gòu)成等比數(shù)列，即7，S4－7,91－S4構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.(2)由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.(3)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}為等比數(shù)列，∴3－2k＝0，即k＝eq\f(3,2).延伸探究本例(3)中，若將條件改為“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＋5”，再求實數(shù)a的值．解由Sn＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＋5，可得Sn＝3a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋5，依題意有3a＋5＝0，故a＝－eq\f(5,3).反思感悟處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝1，S8＝3，則a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2〖答案〗C〖解析〗S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比數(shù)列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求數(shù)列的通項公式．解設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，所有奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因為數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因為a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通項公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.1．在數(shù)列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，則數(shù)列{an}的前5項的和等于()A．－25B．25C．－31D．31〖答案〗D〖解析〗因為an＋1＝2an，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的前5項的和為eq\f(25－1,2－1)＝31.2．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn等于()A.eq\f(1－xn,1－x) B.eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1))〖答案〗C〖解析〗當(dāng)x＝1時，Sn＝n；當(dāng)x≠1且x≠0時，Sn＝eq\f(1－xn,1－x).3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3〖答案〗A〖解析〗在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.4．已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，則a1＝________.〖答案〗eq\f(3,2)或6〖解析〗方法一當(dāng)q＝1時，a1＝a2＝a3＝eq\f(3,2)，滿足S3＝eq\f(9,2).當(dāng)q