人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案：5 3 2 第三課時 導數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實際生活中的應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第三課時導數(shù)在函數(shù)有關(guān)問題及實際生活中的應(yīng)用課標要求素養(yǎng)要求1.能用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題.2.體會導數(shù)在解決實際問題中的作用.3.能利用導數(shù)解決簡單的實際問題.1.通過學習用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng).2.借助實際問題的求解，提升邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).自主梳理1.函數(shù)圖象的畫法函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì).通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的零點；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分成若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，并得出f(x)的單調(diào)性與極值；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；(5)畫出f(x)的大致圖象.2.用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路(1)在建立函數(shù)模型時，應(yīng)根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域.(2)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的應(yīng)舍去，如：長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價為正數(shù)等.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)用導數(shù)研究實際問題要先求定義域.(√)(2)方程xex＝2有兩個不相等的實數(shù)根.(×)〖提示〗令y＝xex，則y′＝ex(x＋1).由于x>－1時，y′>0，x<－1時，y′<0.∴x＝－1時y＝xex取到最小值－eq\f(1,e).結(jié)合單調(diào)性及變化趨勢畫出如圖所示，由圖可以看出y＝xex與y＝2只有一個交點，故方程只有一個解.2.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A.8 B.eq\f(20,3)C.－1 D.－8〖答案〗C〖解析〗由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時變化率的最小值是－1.3.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A.13萬件 B.11萬件C.9萬件 D.7萬件〖答案〗C〖解析〗由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).當0<x<9時，y′>0；當x>9時，y′<0.故當x＝9時，y取得極大值，也是最大值.4.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)關(guān)系式為y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)關(guān)系式為y2＝2x3－x2，已知x>0，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品________千臺.〖答案〗6〖解析〗由題意，利潤y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當x∈(0，6)時，y′>0，當x∈(6，＋∞)時，y′<0，∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù).則當x＝6時，y有最大值.題型一利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象〖例1〗函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()〖答案〗B〖解析〗法一由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當x＝0時，y＝0，排除C；當x<0時，y<0，排除A；y′＝eq\f(3x2ex－x3ex,（ex）2)＝eq\f(x2（3－x）,ex)，當x<3時，y′>0，當x>3時，y′<0，∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減.故選B.法二由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當x＝0時，y＝0，排除C；當x<0時，y<0，排除A；當x→＋∞時，y→0.故選B.思維升華根據(jù)〖解析〗式判斷函數(shù)的圖象時，綜合應(yīng)用各種方法：如判斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特殊值和單調(diào)性，有時還要用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，甚至最值等.〖訓練1〗函數(shù)f(x)＝ex2－2x2的圖象大致為()〖答案〗A〖解析〗∵f(x)＝f(－x)，當x>0時，f′(x)＝ex2·2x－4x，令f′(x)＝0，則2x(ex2－2)＝0?x＝eq\r(ln2)∈(0，1)，且f(eq\r(ln2))＝2－2ln2>0，∴當x>0時，f(x)>0，且只有一個極值點，∴排除B，C，D.故選A.題型二利用導數(shù)解決函數(shù)的零點或方程的根問題〖例2〗已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)－1，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a≤1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e〗上零點的個數(shù).解(1)f′(x)＝eq\f(1－lnx－a,x2)，令f′(x)＝0，得x＝e1－a.f′(x)及f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).(2)由(1)可知f(x)的最大值為f(e1－a)＝eq\f(1－e1－a,e1－a)，①當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞減.又f(1)＝0，故f(x)在區(qū)間(0，e〗上只有一個零點.②當a<1時，1－a>0，e1－a>1，則f(e1－a)＝eq\f(1－e1－a,e1－a)<0，所以f(x)在區(qū)間(0，e〗上無零點.綜上，當a＝1時，f(x)在區(qū)間(0，e〗上只有一個零點，當a<1時，f(x)在區(qū)間(0，e〗上無零點.思維升華與函數(shù)零點有關(guān)的問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，討論圖象與x軸的位置關(guān)系.(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的圖象交點問題)確定參數(shù)的取值范圍.〖訓練2〗若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極值－eq\f(4,3).(1)求函數(shù)f(x)的〖解析〗式；(2)若方程f(x)＝k有3個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍.解(1)對f(x)求導得f′(x)＝3ax2－b，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（2）＝12a－b＝0，,f（2）＝8a－2b＋4＝－\f(4,3)，))解得a＝eq\f(1,3)，b＝4(經(jīng)檢驗滿足題意).∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴當x<－2或x>2時，f′(x)>0；當－2<x<2時，f′(x)<0.因此，當x＝－2時，f(x)取得極大值eq\f(28,3)，當x＝2時，f(x)取得極小值－eq\f(4,3).∴函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的大致圖象如圖所示.由圖可知，實數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(28,3))).題型三導數(shù)在生活實際問題中應(yīng)用角度1利潤最大、效率最高問題〖例3〗某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中3<x<6，從而，f′(x)＝10〖(x－6)2＋2(x－3)(x－6)〗＝30(x－4)·(x－6)，于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.思維升華解決利潤最大問題的思路及注意點(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)〖解析〗式，再利用導數(shù)求最大值.(2)求解此類問題需注意兩點：①售價要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利.〖訓練3〗某電子公司開發(fā)一種智能手機的配件，每個配件的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進工藝，每個配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果每個配件的銷售價提高的百分率為x(0<x<1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤是y(元).(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進工藝后，試確定該智能手機配件的售價，使電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.解(1)改進工藝后，每個配件的銷售價為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤y＝a(1－x2)·〖20(1＋x)－15〗(元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1).(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍)，當0<x<eq\f(1,2)時，y′>0；eq\f(1,2)<x<1時，y′<0，∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在x＝eq\f(1,2)時取得極大值也是最大值，故改進工藝后，每個配件的銷售價為20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30元時，該電子公司銷售該配件的月平均利潤最大.角度2用料最省、成本(費用)最低問題〖例4〗為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最?。坎⑶笞钚≈?解(1)由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,（3x＋5）2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,（3x＋5）2)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去).當0≤x<5時，f′(x)<0，當5<x≤10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.思維升華在實際生活中關(guān)于用料最省、費用最低、損耗最小、用時最短等問題，一般情況下都需要利用導數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.若求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍去不合適的極值點)后，函數(shù)在該點附近滿足“左減右增”，則此時唯一的極小值就是所求的函數(shù)的最小值.〖訓練4〗已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的航行速度為v千米/時(8<v≤v0).若船每小時航行所需的燃料費與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當v＝12千米/時時地，船每小時航行所需的燃料費為720元.為了使全程燃料費最省，船在靜水中的航行速度v應(yīng)為多少？解設(shè)船每小時航行所需的燃料費為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2.∵當v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，則y1＝5v2.設(shè)全程燃料費為y元，由題意，得y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000v（v－8）－1000v2,（v－8）2)＝eq\f(1000v2－16000v,（v－8）2).令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，當v∈(8，16)時，y′<0，y為減函數(shù)；當v∈(16，v0〗時，y′>0，y為增函數(shù).故當v＝16千米/時時，y取得極小值，也是最小值，此時全程燃料費最省.若v0<16，則v∈(8，v0〗，且y′<0，y在(8，v0〗上為減函數(shù).故當v＝v0時，y取得最小值，此時全程燃料費最省.綜上可得，若v0≥16，則當