山東省青島市2025屆高三數(shù)學(xué)自主檢測(cè)試題含解析

PAGE27-山東省青島市2025屆高三數(shù)學(xué)自主檢測(cè)試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到，從而得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在其次象限，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為其次象限，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，留意復(fù)數(shù)的除法是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題.2.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合M，N，依據(jù)集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】,,,,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查了一元二次不等式，余弦函數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題.3.如圖是一個(gè)列聯(lián)表，則表中、處的值分別為（）總計(jì)總計(jì)A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可先求出、的值，再結(jié)合總數(shù)為可分別求得和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表的完善，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.若直線，．，與平行，則下列選項(xiàng)中正確的（）A.p是q的必要非充分條件 B.q是p的充分非必要條件C.p是q的充分非必要條件 D.q是p的非充分也非必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)與平行，得到或，再依據(jù)集合的關(guān)系推斷充分性和必要性得解.【詳解】因?yàn)榕c平行，所以或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或時(shí)，兩直線平行.設(shè)，或，因?yàn)?所以p是q的充分非必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行應(yīng)用，考查充分必要條件的推斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.5.在中，假如，那么的形態(tài)為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】結(jié)合以及兩角和與差的余弦公式，可將原不等式化簡(jiǎn)為，即，又，，所以與一正一負(fù)，故而得解.【詳解】解：，，，即與異號(hào)，又，，與一正一負(fù)，為鈍角三角形．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形態(tài)的推斷，涉及到三角形內(nèi)角和、兩角和與差的余弦公式，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的誕生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜愛(ài)牛、馬和猴，乙同學(xué)喜愛(ài)牛、狗和羊，丙同學(xué)全部的祥瑞物都喜愛(ài)，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜愛(ài)的，則不同的選法有（）A.50種 B.60種 C.80種 D.90種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種狀況探討，求出確定乙，丙的選擇方法，即可得每種狀況的選法數(shù)目，由分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求出答案.【詳解】解：依據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種狀況探討：若甲選擇牛，此時(shí)乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時(shí)有種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時(shí)甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時(shí)有種不同的選法；則一共有種選法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法和分類加法的計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.在三棱柱中，，側(cè)棱底面ABC，若該三棱柱的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)三棱柱的上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，在△中，依據(jù)勾股定理和基本不等式求出的最小值為，結(jié)合已知可得，從而可得側(cè)面積.【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了球的表面積公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有13個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知，設(shè)，且恒過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，函數(shù)有13個(gè)零點(diǎn)，令，有，設(shè)，可知恒過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)，的圖象，如圖所示：則函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得：，則，即，解得：，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查將函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，從而求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)可能的取值為（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)圖象平移求得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則滿意，解得，所以實(shí)數(shù)的可能的取值為.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.在悠久絢麗的中國(guó)古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代有標(biāo)記性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀(jì)．書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問(wèn)日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從其次天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問(wèn)從其次天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個(gè)月有天，記該女子這一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對(duì)于數(shù)列、，下列選項(xiàng)中正確的為（）A. B.是等比數(shù)列 C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義推斷出數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用數(shù)列的通項(xiàng)公式即可推斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，，由題意可得，解得，，，（非零常數(shù)），則數(shù)列等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確；，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零，則實(shí)數(shù)可能的取值（）A. B.3 C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意，得出的導(dǎo)數(shù)，可令切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求得切線的斜率，由題意可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根，考慮判別式大于0，且兩根之和大于0，兩根之積大于0，計(jì)算可得的范圍，即可得答案.【詳解】解：由題可知，，則，可令切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，可得切線斜率，由題意，可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根，且可知，則，即，解得：，的取值可能為，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及依據(jù)一元二次方程根的分布求參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力.12.在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的為（）A.若點(diǎn)P總滿意，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓C.若點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓D.若點(diǎn)P到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】A.依據(jù)平面，推斷點(diǎn)的軌跡；B.依據(jù)平面與球相交的性質(zhì)，推斷選項(xiàng)；C.由條件可轉(zhuǎn)化為，依據(jù)橢圓的定義推斷；D.由條件建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡方程，推斷軌跡是否是雙曲線.【詳解】A.在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，且，所以點(diǎn)的軌跡就是直線，故A正確；B.點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點(diǎn)的軌跡為小圓，設(shè)小圓的半徑為，球心到平面的距離為1，則，所以小圓周長(zhǎng)，故B正確；C.點(diǎn)P到直線AB的距離就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即平面內(nèi)的點(diǎn)滿意，即滿意條件的點(diǎn)的軌跡就是線段，不是橢圓，故C不正確；D.如圖，過(guò)分別做于點(diǎn)，于點(diǎn)，則平面，所以，過(guò)做，連結(jié)，，所以平面，所以，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，即，整理為：，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，截面的形態(tài)推斷，重點(diǎn)考查空間想象實(shí)力，邏輯推理，計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型.三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，結(jié)合已知條件列出不等式，求解即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題可知，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，是基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的考查，屬于基礎(chǔ)題.14.已知定義在的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則x的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得，即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，所以，又在單調(diào)遞減，，所以，解得.所以x的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.若，則（1）________；（2）________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)二項(xiàng)式為，利用通項(xiàng)，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，依據(jù)和（1）中，即可求解.【詳解】（1）由題意，可化為，由，可得，令，即時(shí)，可得，所以.（2）令，則，則，由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)綻開(kāi)式的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中精確賦值，以及利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔試題.16.已知，是平面上不共線的兩個(gè)向量，向量與，共面，若，，與的夾角為，且，，則________．【答案】【解析】分析】設(shè)，由已知，可得，，從而可求出，則，即可求出模長(zhǎng).【詳解】解：設(shè)，因?yàn)榕c的夾角為，所以，則，，解得，則，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了平面對(duì)量基本定理，考查了向量模的求解.本題的難點(diǎn)是用已知表示.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將，分別沿，向上折起，使，重合于點(diǎn)，得到三棱錐．試在三棱錐中，（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)勾股定理的逆定理，得出，而，依據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，最終利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間坐標(biāo)的運(yùn)算可得出和平面的法向量，利用空間向量法求夾角的公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：（1）由題知：在直角梯形中，，所以在三棱錐中，，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，平面平?（2）由（1）知：，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別作為軸，軸，軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，設(shè)為平面的法向量，，，由，可得，令得：，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值，考查推理證明實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.18.已知為等差數(shù)列，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且，，中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列．第一列其次列第三列第一行其次行469第三行1287請(qǐng)從①，②，③的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表，使?jié)M意以上條件的數(shù)列存在；并在此存在的數(shù)列中，試解答下列兩個(gè)問(wèn)題（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)分別代入①，②，③，結(jié)合已知條件可推斷，，，求出數(shù)列的公差，即可求出通項(xiàng)公式.(2)由(1)知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)合數(shù)列的求和的定義求出，由等差數(shù)列的求和公式即可求解；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即可求解.【詳解】解：（1）若選擇條件①，當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍衅浯瘟袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍械谌袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿意條件的等差數(shù)列都不存在，若選擇條件②，則放在第一行其次列，結(jié)合條件可知，，，則公差，所以，，若選擇條件③，當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍衅浯瘟袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍械谌袨闀r(shí)，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿意條件的等差數(shù)列都不存在，綜上可知：，.（2）由（1）知，，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是其次問(wèn)求和時(shí)，分狀況探討.19.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（1）若還同時(shí)滿意下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①，②，③，④的面積，請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；（2）若，求周長(zhǎng)L的取值范圍．【答案】（1）①③④，理由見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）首先條件變形，利用兩角差的正弦公式變形，求得，再推斷①②不能同時(shí)成立，最終依據(jù)③④推斷能同時(shí)成立的第三個(gè)條件；（2）首先利用正弦定理邊角互化，表示，，再利用三角函數(shù)恒等變形表示周長(zhǎng)，最終依據(jù)角的范圍求周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)樗约此砸驗(yàn)锳，B，，所以，即，所以（1）還同時(shí)滿意條件①③④理由如下：若同時(shí)滿意條件①②則由正弦定理得，這不行能所以不能同時(shí)滿意條件①②，所以同時(shí)滿意條件③④所以的面積所以與②沖突所以還同時(shí)滿意條件①③④（2）在中，由正弦定理得：因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，所以周長(zhǎng)L的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形，正余弦定理解三角形，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算實(shí)力，邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題型.20.某市居民用自然氣實(shí)行階梯價(jià)格制度，詳細(xì)見(jiàn)下表：階梯年用氣量（立方米）價(jià)格（元/立方米）第一階梯不超過(guò)228的部分3.25其次階梯超過(guò)228而不超過(guò)348的部分3.83第三階梯超過(guò)348的部分4.70從該市隨機(jī)抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的自然氣運(yùn)用狀況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用氣編號(hào)12345678910年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一戶居民年用氣費(fèi)y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中隨意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過(guò)228立方米而不超過(guò)348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民的年用氣狀況，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中恰有k戶年用氣量不超過(guò)228立方米的概率為，求取最大值時(shí)的值．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）6．【解析】【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)結(jié)合題意，即可求得一戶居民年用氣費(fèi)y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意知10戶家庭中年用氣量超過(guò)228立方米而不超過(guò)348立方米的用戶有3戶，得到隨機(jī)變量可取，利用超幾何分布求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而求得期望；（3）由，列出不等式組由，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以年用氣費(fèi)y關(guān)于年用氣量x的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題知10戶家庭中年用氣量超過(guò)228立方米而不超過(guò)348立方米的用戶有3戶，設(shè)取到年用氣量超過(guò)228立方米而不超過(guò)348立方米的用戶數(shù)為，則可取，則，，，，故隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以.（3）由題意知，由，解得，，所以當(dāng)時(shí)，概率最大，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔試題.21.已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，．（1）探討函數(shù)單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；（2）．【解析】【分析】（1）先求得，利用導(dǎo)數(shù)可得恒成立，故可得的單調(diào)區(qū)間.（2）對(duì)隨意的恒成立等價(jià)于對(duì)隨意恒成立，就和結(jié)合的單調(diào)性分類探討可得對(duì)隨意恒成立，參變分別后再次利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所?令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，又因?yàn)?，，所以，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由得，即，所以，即對(duì)隨意恒成立，設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，所以，綜上可知，對(duì)隨意恒成立，即對(duì)隨意恒成立.設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及含參數(shù)的不等式的恒成立，前者利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)探討，后者需