安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開年考2月試題理

PAGEPAGE13安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開年考（2月）試題理 本試卷共4頁,23題（含選考題）。全卷滿分150分,考試時間120分鐘?？忌粢馐马棧?.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合,,則A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿意（,是虛數(shù)單位）,且,則A. B. C. D.3.函數(shù)（,是自然對數(shù)的底數(shù)）且,則A. B. C. D.4.若數(shù)列各項均為正數(shù),滿意,且,,則A. B. C. D.5.我國是世界上嚴峻缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水狀況進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸）,將數(shù)據(jù)依據(jù),,…,分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖。則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)是A.2.25噸 B.2.24噸 C.2.06噸 D.2.04噸6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為A. B. C. D.7.已知圓錐的頂點為,過母線、的截面面積是。若、的夾角是,且與圓錐底面所成的角是,則該圓錐的表面積是A. B. C. D.8.設(shè),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再向下平移4個單位長度,得到函數(shù)的圖象。若在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則A., B., C. D.39.有8位學(xué)生春游,其中小學(xué)生2名、初中生3名、中學(xué)生3名?，F(xiàn)將他們排成一列,要求2名小學(xué)生相鄰、3名初中生相鄰,3名中學(xué)生中隨意兩名都不相鄰,則不同的排法種數(shù)有A.288種 B.144種 C.72種 D.36種10.若關(guān)于的不等式對隨意恒成立,則正實數(shù)的最大值是A.1 B.2 C.3 D.411.設(shè),為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點,則A. B. C. D.12.已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,斜率為的直線與的兩個交點為,。若,則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分。13.命題“,”的否定是__________。14.設(shè)點是外接圓的圓心,,且。則的值是__________。15.如圖1,在一個正方形內(nèi),有一個小正方形和四個全等的等邊三角形。將四個等邊三角形折起來,使,,,重合于點,且折疊后的四棱錐的外接球的表面積是（如圖2）,則四棱錐的體積是16.已知是各項均不為零的等差數(shù)列的前項和,且,使不等式成立,則實數(shù)的最大值是__________。三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題,每個試題考生都必需作答。第22,23題為選考題,考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）在中,角,,的對邊分別是,,,向量,向量,且滿意。（1）求角的大??；（2）若外接圓的半徑是1,求當函數(shù)取最大值時的周長。18.（12分）如圖3,在中,,于?，F(xiàn)將沿折疊,使為直二面角（如圖4）,是棱的中點,連接、、。（1）證明：平面平面；（2）若棱上有一點滿意,求二面角的余弦值。19.（12分）已知橢圓中,以為中點的弦所在直線的方程是。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點為橢圓長軸上的一個動點,過點作斜率為的直線交橢圓于,兩點,證明：為定值。20.（12分）已知函數(shù),其中。（1）探討的單調(diào)性；（2）若函數(shù),證明：當時,。21.（12分）新冠肺炎,全民防控。冠狀肺炎的感染主要是人與人之間進行傳播,可以通過飛沫、糞便、接觸等進行傳染。冠狀肺炎感染人群年齡大多是40歲以上的人群。該病毒進入人體后有潛藏期（潛藏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時期）,潛藏期越長,感染到他人的可能性越高?，F(xiàn)對200個病例的潛藏期（單位：天）進行調(diào)查,統(tǒng)計發(fā)覺潛藏期的中位數(shù)為5,平均數(shù)為7.1,方差為506。一般認為超過8天的潛藏期屬于“長潛藏期”,依據(jù)年齡統(tǒng)計樣本,得到下面的列聯(lián)表：長潛藏期非長潛藏期40歲以上3011040歲以上及40歲以下2040（1）能否有的把握認為“長潛藏期”與年齡有關(guān)？（2）假設(shè)潛藏期聽從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差。（i）許多省份對入境人員一律要求隔離14天,請用概率和統(tǒng)計的學(xué)問說明其合理性；（ⅱ）將樣本頻率近似當作概率,設(shè)另隨機抽取的25個病例中屬于“長潛藏期”的病例個數(shù)是,的概率記作,試求的數(shù)學(xué)期望以及當取最大值時的值。附：。0.1000.0500.0102.7063.8416.635若隨機變量聽從正態(tài)分布,則,,,。（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題做答。假如多做,則按所做的第一題計分。22.（10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,且在兩坐標系下長度單位相同。曲線的極坐標方程為。（1）當時,是什么曲線？（2）當時,求與的公共點的直角坐標。23.（10分）選修4-5：不等式選講設(shè),。（1）當時,解不等式；（2）若對于隨意實數(shù),不等式恒成立,求的取值范圍。理科數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案BCACDCDCBDDA1.【解析】因為,,所以。2.【解析】因為,所以,。3.【解析】由,。即于是。4.【解析】由條件知,數(shù)列是等比數(shù)列,則其公比滿意,。因此。5.【解析】由頻率分布直方圖可知,月用水量在的頻率為。同理,在,,,,,等組的頻率分布為,,,,,。由,解得,設(shè)中位數(shù)為噸。因為前5組的頻率之和為,前4組的頻率之和為,所以。由,解得。6.【解析】時,；時,；時,；時。此時退出循環(huán),輸出的。7.【解析】設(shè)圓錐的母線長是,則,。則高是,圓錐底面半徑是,于是該圓錐的表面積是。8.【解析】由題意知,。當時,函數(shù)取得最大值,所以,。解得,。因為在區(qū)間上遞增,在上遞減,所以且,解得。因此。9.【解析】第一步,先將2名小學(xué)生看成一個人,3名初中生看成一個人,然后排成一排有種不同排法；其次步,將3名中學(xué)生插在這兩個整體形成的3個空檔中,有種不同排法；第三步,排2名小學(xué)生有種不同排法,排3名初中生有種不同排法。依據(jù)分步計數(shù)原理,共有種不同排法。10.【解析】,即,解得。11.【解析】由得,。因為,所以。因此。令,,則。由得。當時,；當時,,所以。因此。12.【解析】雙曲線的標準方差是,其右焦點是。所以,,拋物線是。聯(lián)立消去,化簡整理得。由得,,。因為,所以,即。而,即,解得。代入得到,,或。13.【答案】,14.【答案】【解析】設(shè)點是邊的中點,則即,。故。15.【答案】【解析】在圖4中,連接,交于點,則是正四棱錐外接球的球心,正四棱錐的全部棱都相等,設(shè)其為,則外接球的半徑是,所以,。因此。故四棱錐的體積是。16.【答案】【解析】因為,所以就是,,。等差數(shù)列的首項,公差。因為一般項,所以原式。即。所以存在,使成立,。故實數(shù)的最大值是。17.【解析】（1）由已知,得再依據(jù)正弦定理有,,即。由余弦定理得,,因為,所以。（2）由（1）知。因為,所以。因此當時,有最大值此時,。故的周長是。18.【解析】（1）在圖4中,,是的中點,。又為直二面角,,底面。而平面,,且,因此平面。又平面,平面平面。（2）以、、所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,因為,所以,那么。設(shè)平面的法向量,由得,。由得,。所以。同理可以求得平面的一個法向量。于是。又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.19.【解析】（1）設(shè),,則,相減得,,所以,即。所以,。故橢圓的方程是。（2）設(shè)直線交橢圓于,,由消去得,。因此,。于是。故為定值,且為15。20.【解析】（1）,。若,,在內(nèi)單增,在內(nèi)單減。若,由知,。當,即時,,此時在內(nèi)單增。當,即時,。此時在,內(nèi)單增,在內(nèi)單減。（2）因為,所以就是,即。令,,則,,,。由得,,是的最小值。于是,在時單增,所以,在時單增。故當時,,即。21.【解析】（1）,由于,故沒有的把握認為“長潛藏期”與年齡有關(guān)；（2）（i）若潛藏期聽從,由,得潛藏期超過14天的概率很低,因此隔離14天是合理的。（ii）由于200個病例中有50個屬于“長潛藏期”,將樣本頻率視作概率,一個患者屬于“長潛藏期”的概率是,又另隨機抽取的25個病例中屬于“長潛藏期”的病例個數(shù)是,則,則,且。由,得,又,所以。故的數(shù)學(xué)期望是,取最大值時的值為6。22.【解析】（1）當時,就是,即。因為,所以