新高考數學一輪復習 講與練第1講 集合與常用邏輯用語講義（解析版）

集合與常用邏輯用語學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常用數集及記法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集記法NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關系(1)子集：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.記作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.記作AB(或BA).(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.5.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“?”表示.(2)存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“?”表示.6.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中的任意一個x，有q(x)成立存在M中的一個x，使p(x)成立簡記?x∈M，q(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，非q(x)?x∈M，非p(x)7.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p考點和典型例題集合的性質【例題1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0<x<4,x∈Z}，且M?P，則M可以是（

）A．{1,2} B．{2,4} C．{0,2} D．{3,4}【詳解】因為P={x|0<x<4,x∈Z}={1,2,3}，又M?P，所以任取x∈M，則x∈所以M可能為{2,3}，A對，又0?M，4?M，∴

M不可能為{2,4}，{0,2}，{3,4}，B，C，D錯，故選：A.【例題1-2】（2022·山東聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，則集合BA．2 B．3 C．4 D．5【詳解】解：因為A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合故選：C【例題1-3】（2022·海南海口·模擬預測）已知集合M=?2,0,1，N=xx2+ax?2=0，若N?MA．2 B．1 C．0 D．-1【詳解】對于集合N，因為Δ=所以N中有兩個元素，且乘積為-2，又因為N?M，所以N=?2,1所以?a=?2+1=?1．即a＝1．故選：B.【例題1-4】（2022·湖南·雅禮中學二模）已知集合A={?,?}，下列選項中均為A的元素的是（（1）?（2）?（3）?（4）?A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【詳解】集合A有兩個元素：?和?，故選：B集合的運算【例題2-1】（2022·廣東韶關·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?UA∪B=A．{4，5} B．{1，2}C．{2，3} D．{1，2，3，4}【詳解】A∪B=1,2,3，則?故選：A．【例題2-2】（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知全集為R，集合A=x15x<1，B=A．xx≤0 B．x0<x≤1 C．x【詳解】集合A=x15∵B=x1x∴B=x|0<x≤1，?由集合交集運算得到：A∩?RB=【例題2-3】（2022·河北唐山·二模）設全集U=R，集合A=0,1,2，B=xx≥2，則A∩?A．0,1,2 B．0,1 C．2 D．x【詳解】解：因為B=xx≥2，所以?U所以A∩?【例題2-4】（2022·廣東·二模）已知集合M=x|xx?2<0,N=x|x?1<0A．?∞,2 B．?∞,1【詳解】集合M=x|xx?2<0則M∩N=x|0<x<1=故選：C【例題2-5】（2022·廣東潮州·二模）已知集合A=xx≤?1或x>2，則?RA．x?1≤x<2 B．C．x?1<x<2 D．A=x【詳解】因為A=xx≤?1或x>2，所以?R故選：B量詞命題的否定、充分條件和必要條件【例題3-1】（2022·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）命題“?x0∈0,+∞A．?x0∈0,+∞，C．?x∈0,+∞，lnx<x?1 D．【詳解】由特稱命題的否定知原命題的否定為：?x∈0,+∞，故選：C.【例題3-2】（2022·山東濟寧·二模）“x>y”的一個充分不必要條件是（

）A．lnx>lny B．x2【詳解】因為lnx>lny，所以x>y>0，由于x>y>0?x>y令x=?2,y=0，則滿足x2>y由x3>y令x=?2,y=1，則滿足1x<1故選：A【例題3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知p:?1<x<2，q:2x+1?x<2，則p是qA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】對于不等式2x+1<x+2，作出曲線y=2由圖象可知，不等式2x+1<x+2的解集為因為x?1<x<2x?1<x<0，因此，p是故選：B.【例題3-4】（2022·陜西·安康市高新中學三模（理））直線l:y=kx+1?k與函數y=1?x2A．k>0 B．0<k<2 C．0<k≤12【詳解】由題意知直線l:y=kx+1?k定點(1,1)，函數y=1?x2如圖所示．易求l1，l2的斜率分別為0，由圖知，當l介于l1與l2之間（含l2）時，l與函數y=故選:C．【例題3-5】（2022·山西呂梁·模擬預測（理））“?x>0，使得a≤xx2A．a≤13 B．a≥13【詳解】?x>0，a≤xx2又xx2+x+1即xx2+x+1故選：A．綜合應用【例題4-1】（2022·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））已知條件p:A={x∣x2?4ax+4a2(1)若a=1，求?U(2)若q是p的必要不充分條件，求a的取值范圍．【解析】(1)由x2?4ax+4a所以A={x∣2a?1≤x≤2a+1}，由x2?x?2≤0，得?1≤x≤2當a=1時，A={x∣1≤x≤3}.所以A∩B={x∣1≤x≤2}所以?U(2)由（1）知，A={x∣2a?1≤x≤2a+1}，B={x∣?1≤x≤2}，∵q是p的必要不充分條件，∴A?所以{2a+1≤22a?1≥?1所以實數a的取值范圍為[0,1【例題4-2】（2022·北京密云·高三期中）設n≥2且n∈N，集合U={1,2,3,4,?,2n}，若對U的任意k元子集Vk，都存在a,b,c∈Vk，滿足：a<b<c，a+b>c，且a+b+c為偶數，則稱Vk(1)當n=2時，是否存在理想集？若存在，求出相應的K；若不存在，請說明理由；(2)當n=3時，是否存在理想集？若存在，直接寫出對應的Vk以及滿足條件的a,b,c(3)證明：當n=4時，K=6.【解析】(1)依題意，Vk要為理想集，k≥3當n=2時，U={1,2,3,4}，顯然{2,3,4}?U，有2<3<4,2+3>4，而2+3+4不是偶數，即存在3元子集不符合理想集定義，而{1,2,3,4}?U，在{1,2,3,4}中任取3個數，有4種結果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4，它們都不符合理想集定義，所以，當n=2時，不存在理想集.(2)當n=3時，U={1,2,3,4,5,6}，由（1）知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集定義，5元子集{1,2,3,4,6}，在此集合中任取3個數，滿足較小的兩數和大于另一個數的只有2,3,4與3,4,6兩種，但這3數和不為偶數，即存在5元子集{1,2,3,4,6}不符合理想集定義，而U的6元子集是{1,2,3,4,5,6}，3<4<5,3+4>5,3+4+5是偶數，3<5<6,3+5>6,3+5+6是偶數，即U的6元子集{1,2,3,4,5,6}符合理想集定義，{1,2,3,4,5,6}是理想集，所以，當n=3時，存在理想子集V6={1,2,3,4,5,6}，滿足條件的a,b,c可分別為3,4,5或(3)當n=4時，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，由（1），（2）知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，Vk要為理想集，k≥6，顯然{1,2,3,4,5,6}符合理想集的定義，滿足條件的a,b,c分別為3,4,5或3,5,6U的6元子集中含有3,5,6的共有C5U的6元子集中含有3,5不含6的有5個，其中含有4的有4個，這4個集合都符合理想集的定義，不含4的為{1,2,3,5,7,8}，顯然有5<7<8,5+7>8,5+7+8為偶數，即U的6元子集中含有3,5不含6的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有3,6不含5的有5個，它們是{1,2,3,4,6,7},{1,2,3,4,6,8},{1,2,3,6,7,8}，{1,3,4,6,7,8},{2,3,4,6,7,8}，它們對應的a,b,c可依次為：3,6,7；4,6,8；3,6,7；3,6,7；3,6,7，即U的6元子集中含有3,6不含5的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有5,6不含3的有5個，它們是{1,2,4,5,6,7},{1,2,4,5,6,8},{1,2,5,6,7,8}，{1,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8}，它們對應的a,b,c可依次為：5,6,7；4,6,8；5,6,7；5,6,7；5,6,7，即U的6元子集中含有5,6不含3的5個都符合理想集的定義，U的6元子集中含有3,5,6之一的有3個，它們是{1,2,3,4,7,8},{1,2,4,5,7,8},{1,2,4,6,7,8}，對應的a,b,c可依次為：3,7,8；5,7,8；4,6,8，即U的6元子集中含有3,5,6之一的3個都符合理想集的定義，因此，U的所有C86=28U的7元子集有C87=8個，其中含有3,5,6它們是{1,2,3,4,5,7,8},{1,2,3,4,6,7,8},{1,2,4,5,6,7,8}，對應的a,b,c可依次為：3,7,8；3,7,8；4,6,8，即U的所有8個7元子集都符合理想集的定義，V7U的8元子集是{1,2,3,4,5,6,7,8}，對應的a,b,c可以為：3,7,8，因此，V8因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6，所以當n=4時，K=6.【例題4-3】（2022·天津·漢沽一中高三階段練習）不等式5?2xx+2>1的解集是A，關于x的不等式x2(1)若m=1，求A∩B；(2)若A∪B=B，求實數m的取值范圍.(3)設p:實數x滿足x2?4ax+3a2<0，其中a>0，命題q:實數x滿足x2【解析】(1)由5?2xx+2>1的解集是A，解得：當m=1時，x2?4mx?5m2≤0所以A∩B=x|?1≤x<1(2)因為A∪B=B，所以A?B.由（1）得：A=x|?2<x<1當m>0時，由x2?4mx?5m2≤0可解得B=x|?m≤x≤5m.要使當m=0時，由x2?4mx?5m2≤0當m<0時，由x2?4mx?5m2≤0可解得B=x|5m≤x≤?m.要使所以，m≤?1或m≥2.所以實數m的取值范圍為：?∞(3)設關于x的不等式x2?4ax+3a2<0（其中a不等式組x2?x?6≤0x2+2x?8>0要使p是q的必要不充分條件，只需NM，即a≤23a>3，解得：1<a≤2即實數a的取值范圍1,2.【例題4-4】（2022·北京豐臺·二模）設I1=a1,b1，I2=a2,b2，…，(1)已知I1=1,3，I(2)已知I1=a1,b1（?。┰Ox0，y0是該聚合區(qū)間的兩個不同的聚合點．求證：存在k，j∈1,2,…,n+1（ⅱ）若對任意p，q（p≠q且p，q∈1,2,…,n+1），都有Ip，Iq互不包含．求證：存在不同的i，j∈【解析】(1)由0<t<π可得0<sint≤1，又I1，I2為聚合區(qū)間，由定義可得I(2)（?。┯蓌0，y0是該聚合區(qū)間的兩個不同的聚合點，不妨設x0<y0，因為x0∈Iii=1,2,…,n+1，故a1,a2...an+1（ⅱ）若存在as=ats≠t不妨設a1<否則，若bk≥b取l=mina當am+1?aa又b1>an+1，所以即am+1?a此時取i=m,j=m+1，則bi當bm+1?bm=l綜上，存在不同的i，j∈1，【例題4-5】（2022·北京朝陽·一模）對非空數集X，Y，定義X與Y的和集X+Y=x+yx∈X,y∈Y.對任意有限集A，記A為集合(1)若集合X=0,5,10，Y=?2,?1,0,1,2，寫出集合X+X與(2)若集合X=x1,x2,?,xn滿足x1<x2