新高考數(shù)學一輪復習 講與練第30講 圓錐曲線的綜合應用（解析版）

第30講圓錐曲線的綜合應用學校____________姓名____________班級____________知識梳理1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當a≠0時，則Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線C相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離.(2)當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.2.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.3.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關系表示中點；(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關系.若已知弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.4.弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).考點和典型例題1、直線與圓錐曲線的位置關系【典例1-1】直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓內，SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交.故選：A.【典例1-2】過SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【詳解】當斜率不存在時，過SKIPIF1<0的直線與雙曲線沒有公共點；當斜率存在時，設直線為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，①式只有一個解；當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；綜上可知過SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0有且只有一個公共點的直線有4條.故選：D.【典例1-3】斜率為SKIPIF1<0的直線過拋物線SKIPIF1<0的焦點，且與C交于A，B兩點，則三角形SKIPIF1<0的面積是（O為坐標原點）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】拋物線SKIPIF1<0的焦點坐標為SKIPIF1<0，則斜率為SKIPIF1<0的直線方程為：SKIPIF1<0，與拋物線方程聯(lián)立得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，點O到直線AB的距離為SKIPIF1<0，所以△AOB的面積為SKIPIF1<0故選：B【典例1-4】（多選）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左、右頂點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點P是雙曲線C右支上異于頂點的一點，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線SKIPIF1<0的斜率與直線SKIPIF1<0的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若P為焦點SKIPIF1<0關于雙曲線C的漸近線的對稱點，則C的離心率為SKIPIF1<0D．延長SKIPIF1<0交雙曲線右支于點Q，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的內切圓半徑分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】由題意知，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，對于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A正確；對于B，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由A選項知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正確；對于C，易得雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，若P為焦點SKIPIF1<0關于雙曲線C的漸近線的對稱點，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則C的離心率為SKIPIF1<0，C錯誤；對于D，設SKIPIF1<0的內切圓與SKIPIF1<0分別切于SKIPIF1<0三點，由切線長定理知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0重合，即SKIPIF1<0的內切圓圓心SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0的內切圓圓心SKIPIF1<0橫坐標也為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軸，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為切點，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD.【典例1-5】（多選）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過其準線上的點SKIPIF1<0作的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的斜率為2 D．SKIPIF1<0面積的最小值為4【答案】ABD【詳解】對A，易知準線方程為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故選項A正確.對B，設直線SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當直線與SKIPIF1<0相切時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是上述方程兩根，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選項B正確.對C，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.代入點SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.

故選項C不正確.對D，同C，切線方程SKIPIF1<0：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，代入點SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的面積小值為SKIPIF1<0，故D正確；故選：ABD2、中點弦及弦長問題【典例2-1】（2022·江蘇·高二）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作一條傾斜角為SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則橢圓SKIPIF1<0的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設點SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0，因直線AB的傾斜角為SKIPIF1<0，即直線AB的斜率為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.故選：A【典例2-2】（2022·內蒙古·赤峰二中高二階段練習（文））已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為SKIPIF1<0，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為SKIPIF1<0，則C的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率SKIPIF1<0．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴雙曲線C的離心率SKIPIF1<0．故選：B．【典例2-3】（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學文科試題）已知拋物線C：SKIPIF1<0，直線l與C交于A，B兩點，若弦SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則直線l的斜率為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．－3【答案】C【詳解】解：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因為弦SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．故選：C【典例2-4】（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的點，則（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓SKIPIF1<0的短軸長為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的兩焦點距離之差的最大值為SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的焦點在SKIPIF1<0軸上，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A對；橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的短軸長為SKIPIF1<0，B錯；SKIPIF1<0，C對；橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其標準方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，如下圖所示：設點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點為點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,當且僅當點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，等號成立，D對.故選：ACD．【典例2-5】（多選）（2021·江蘇省灌云高級中學高二階段練習）過M（1，1）作斜率為2的直線與雙曲線SKIPIF1<0相交于A、B兩點，若M是AB的中點，則下列表述正確的是（

）A．b<a B．漸近線方程為y=±2xC．離心率SKIPIF1<0 D．b>a【答案】CD【詳解】解：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，因為M（1，1）是AB的中點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，故選：CD3、圓錐曲線的綜合應用【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程及其離心率；(2)若SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上第一象限的點，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0的坐標.【答案】(1)SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)依題知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以橢圓方程為SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0.(2)如圖：設SKIPIF1<0，第一象限有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【典例3-2】（2022·陜西咸陽·二模（文））已知拋物線SKIPIF1<0，過焦點F作x軸的垂線與拋物線C相交于M、N兩點，SKIPIF1<0.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若A、B兩點在拋物線C上，且SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0的垂直平分線l恒過定點.【解析】(1)因為SKIPIF1<0過焦點且與SKIPIF1<0軸垂直，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，從而拋物線C的方程為SKIPIF1<0.(2)設線段SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題知，直線SKIPIF1<0的垂直平分線斜率存在，設為k，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0不與x軸垂直，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則直線l斜率為SKIPIF1<0，從而直線l的方程為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0.若直線SKIPIF1<0與x軸垂直，則l為直線SKIPIF1<0，顯然也滿足恒過點SKIPIF1<0.綜上所述，直線l恒過點SKIPIF1<0.【典例3-3】（2021·湖南·模擬預測）已知雙曲線SKIPIF1<0的其中一個焦點為SKIPIF1<0，一條漸近線方程為SKIPIF1<0（1）求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；（2）已知傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且線段SKIPIF1<0的中點的縱坐標為4，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（1）由焦點可知SKIPIF1<0，又一條漸近線方程為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故雙曲線SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0（2）設SKIPIF1<0，AB中點的坐標為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【典例3-4】（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中點SKIPIF1<0為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】解：（1）由橢圓SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為拋物線的焦點為SKIPIF1<0，可設拋物線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以拋物線的標準方程為SKIPIF1<0.（2）由橢圓SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0無斜率，則其方程為SKIPIF1<0，經檢驗，不符合要求.所以直線SKIPIF1<0的斜率存在，設為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.①因為直線SKIPIF1<0與拋物線有兩個交點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由①可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不符合題意，舍去，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3-5】（2022·全國·高考真題）已知點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線l交C于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0