教案：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第二冊(cè) 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

教學(xué)設(shè)計(jì)

閡：隔「圜1（教師獨(dú)具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：L了解反函數(shù)的概念.2.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=log..^（a>0且aWl）與指

數(shù)函數(shù)y=a*（a>0且aWl）互為反函數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系，對(duì)比對(duì)數(shù)函數(shù)y=

log.x（a>0且a#l）與指數(shù)函數(shù)y=a（a>0且a#l）的圖像和性質(zhì)，深刻理解兩者

的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?^（a>0且aWl）與指數(shù)函數(shù)y=a'（a>0且a#l）

的圖像的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.

新知1

互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

（1）原函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)尸x對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)尸"的圖像

與y=log,x的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)（其中a>0且aWl）.

溫評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”）

（1）任何一個(gè)函數(shù)都有反函數(shù).（）

（2）函數(shù)y=2'的定義域是函數(shù)y=log2X的值域.（）

（3）函數(shù)y=*的反函數(shù)是y=,.（）

2.做一做（請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上）

（1）函數(shù)y=logj_x的反函數(shù)為.

3

（2）函數(shù)y=log,（矛一1）的反函數(shù)為.

3

（3）若點(diǎn)（1,2）在函數(shù)尸=f（x）的圖像上，則點(diǎn)必在其反函數(shù)尸=f'（才）

的圖像上.

核心素養(yǎng)

題型一求函數(shù)的反函數(shù)

例1求下列函數(shù)的反函數(shù).

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

(4)y=0.2"+l(xWl).

［跟蹤訓(xùn)練1］求下列函數(shù)的反函數(shù):

⑴尸10gl(2x+l)；⑵尸廣不

3

題型二反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

例2已知函數(shù)了=苗+。的圖像過(guò)點(diǎn)(1,4),其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,0),求

a,6的值.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知函數(shù)f(x)=a*+6(a>0且a#l)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7),其反函

數(shù)/YA)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,0),求f(x)的表達(dá)式.

題型三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像間的關(guān)系

例3已知lga+lg6=0,函數(shù)f(x)=a*與函數(shù)g(x)=—log點(diǎn)的圖像可能

［跟蹤訓(xùn)練3］y=log”的反函數(shù)是尸產(chǎn)'(X),則函數(shù)y=fYl—x)的圖像

是下圖中的()

題型四指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4(1)已知/'(*)=log.(a—a")(a>l).

①求函數(shù)/'(x)的定義域、值域；

②判斷f(x)的單調(diào)性，并證明；

(2)設(shè)方程2'+x—3=0的根為m,方程lo&x+x—3=0的根為n,求m+n

的值.

[跟蹤訓(xùn)練4](1)已知0<a<l,則函數(shù)y=a'—|log“x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知f{x)=logt(4,—1).

①求f(x)的定義域；

②討論M的單調(diào)性；

③求F3在區(qū)間2上的值域.

隨堂水平

1.函數(shù)f(x)=log?x與g(x)=2"的圖像()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)尸x對(duì)稱(chēng)

2.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=a"(a>0且aWl)的反函數(shù)，且/'(2)=1,則/'(x)

=()

A.log2*B./

C.loglxD.2「2

2

3.(多選)已知函數(shù)尸e,的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),

則()

A.f(x)=lnx(x>0)

B.F(2x)=-e"(xeR)

C.f(x)=-e*(xWR)

D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)

4.若函數(shù)y=log2x+2的反函數(shù)的定義域?yàn)?3,+°°),則此函數(shù)的定義域

為.

5.若點(diǎn)/(I,2)既在函數(shù)f(x)=af+力(x?0)的圖像上，又在f(x)的反函數(shù)

f'(X)的圖像上，求a,6的值.

課后課時(shí)

人級(jí),》“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知函數(shù)尸/"(X)有反函數(shù)，則方程/"(x)=0的根的情況是()

A.有且僅有一個(gè)實(shí)根

B.至少有一個(gè)實(shí)根

C.至多有一個(gè)實(shí)根

D.0個(gè)，1個(gè)或1個(gè)以上實(shí)根

2.將y=2'的圖像，再作關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的圖像，可得函數(shù)y

=logz(x+D的圖像.橫線(xiàn)處應(yīng)填寫(xiě)()

A.先向左平移1個(gè)單位B.先向右平移1個(gè)單位

C.先向上平移1個(gè)單位D.先向下平移1個(gè)單位

3.若指數(shù)函數(shù)尸a'當(dāng)/0時(shí)，有0＜八1,則在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)尸a-"

與函數(shù)y=log/的圖像是()

4.函數(shù)f(x)與g(x)=@互為反函數(shù)，則函數(shù)f(4T)的單調(diào)遞增區(qū)間是

)

A.(―0°,0]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

5.(多選)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/'(x)=e'+x—2的零點(diǎn)為a,函數(shù)

g(x)=lnx+x—2的零點(diǎn)為8,則下列不等式中成立的是()

A./(aXAlXA6)B.AaXA6XAl)

C.g(a)〈g(8)〈g(l)D.g(a)〈g(l)〈g(8)

二、填空題

x+1,x〈0,

6.函數(shù)y="的反函數(shù)是—

心0

7.函數(shù)f(x)=log?x(a>0且aWl)滿(mǎn)足f(9)=2,則尸(一log.2)=.

8.已知函數(shù)/1(x)是定義在(一8,十8)上的減函數(shù)，其圖像經(jīng)過(guò)4(一4,1),

8(0,—1)兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)是fXx),則fYD的值是；不等

式|f(x—2)|<1的解集是.

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=log“(2—x)(a〉l).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；

⑵求函數(shù)/U)的反函數(shù)/(x);

(3)判斷廣Y判的單調(diào)性.

10.已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).

⑴當(dāng)xW[1,9]時(shí),求函數(shù)f(x)的反函數(shù)；

(2)若求x的取值范圍.

B級(jí)'“四能”提升訓(xùn)練

1.已知函數(shù)f(x)=>-3—+1,其定義域?yàn)閇0,3]U[12,15].

⑴當(dāng)2=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的反函數(shù)方'(X)；

(2)如果函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

2.已知奇函數(shù)《)=會(huì)芳的反函數(shù)尸3的圖像過(guò)點(diǎn)心3,1).

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)解關(guān)于x的不等式r'W>-i.

IAKI第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與鬲函數(shù)

DISIZHANG4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

閡"陽(yáng)「國(guó).（教師獨(dú)具內(nèi)容）

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解反函數(shù)的概念.2.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=log^（a>0且a#l）與指

數(shù)函數(shù)y=H（a>0且aWl）互為反函數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系，對(duì)比對(duì)數(shù)函數(shù)y=

log^（a>0且a#l）與指數(shù)函數(shù)y=a'（a>0且a#l）的圖像和性質(zhì)，深刻理解兩者

的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga^（a>0且a#l）與指數(shù)函數(shù)y=a'（a>0且aWl）

的圖像的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.

新知卜

互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

（1）原函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)的圖像

與y=log“x的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)（其中a>0且aWl）.

溫評(píng)價(jià)自測(cè)

1.判一判（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）任何一個(gè)函數(shù)都有反函數(shù).（）

（2）函數(shù)尸2?"的定義域是函數(shù)y=logzx的值域.（）

（3）函數(shù)尸*的反函數(shù)是_/=[；.（）

答案⑴X（2）V（3）X

2.做一做（請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上）

（1）函數(shù)y=logj_x的反函數(shù)為.

3

（2）函數(shù)y=log]（x—l）的反函數(shù)為.

3

(3)若點(diǎn)(1,2)在函數(shù)y=f(x)的圖像上,則點(diǎn)必在其反函數(shù)y=尸,(x)

的圖像上.

答案(1)產(chǎn)=⑵尸融十1⑶⑵1)

核心素養(yǎng)形成

題型一求函數(shù)的反函數(shù)

例1求下列函數(shù)的反函數(shù).

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

⑶尸位f

(4)y=0.2"+l(xWl).

13

［解］(1)由y=2x+3得x=~y—~,

i3

所以函數(shù)y=2x+3的反函數(shù)是y=-^x—-

乙乙

(2)y=log2x的底數(shù)是全它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=停).

(3)y=(|1—1的值域是(—1,+8),所以它的反函數(shù)為函數(shù)y=log2(x+

3

1)(-￥>—1).

(4)因?yàn)閥=0.2、+1,所以y—1=0.2",jc=log0.2(y—1)?對(duì)調(diào)其中的x和y

得y=logo.2(x—1),

因?yàn)楹瘮?shù)y=0.2"+1(xWl)的值域是｛y\y^\.2),所以y=log0,2(^—1)的定

義域?yàn)椋?1*21.2),即函數(shù)y=0.2'+1(x〈l)的反函數(shù)是y=log0.2(x—1)(x2

1.2).

金版點(diǎn)睛

求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟

1求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；

2從x中解出x；

3x,y互換并注明反函數(shù)的定義域.

［跟蹤訓(xùn)練1］求下列函數(shù)的反函數(shù)：

2'+1

(l)y=logl(2x+l)；(2)y=-.~~

一Z—1

3

解(1)y=logi(2x+D,得2x+l=(gJ,

3

所以A=2XB-2>

對(duì)調(diào)x,y得y=〈x

所以y=logl(2x+l)的反函數(shù)是y=：xf11一J

一yOJ乙

3

2r+l

⑵由y=—~~得2'(y—1)=y+l.

zx-1

y-\-1

:產(chǎn)￡1，???2”=2~x.①

y-i

y-\-1

V2v>0,/~->0,解得y〉l或八一1.

y-i

故反函數(shù)的定義域是{x|x>l或X<—1}.

由①式，得X=1og2』±J.

y—1

x~\~1

因此，所求的反函數(shù)為y=log?----，(x<—1或x>l).

X—1

題型二反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

例2已知函數(shù)尸H+8的圖像過(guò)點(diǎn)（1,4）,其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（2,0）,求

a,6的值.

［解］解法一：???），=a,+6的圖像過(guò)點(diǎn)（1,4）,

.,.a+8=4,①

由y=a'+b得a=y—b,

x=log”(y—6),對(duì)調(diào)x,y得y=log。(x—6),

將點(diǎn)(2,0)代入y=loga。-8)得log”(2—8)=0,

.,.2-6=1.(2)

a=3,

由①②解得

6=1.

解法二：?.?尸a'+b的圖像過(guò)點(diǎn)（1,4）,.?.a+8=4.①

又?.?尸H+6的反函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(2,0)，

...點(diǎn)(0,2)在原函數(shù)尸H+力的圖像上,

：.a+b=2.?

a=3,

聯(lián)立①②得,

.6=1.

金版點(diǎn)睛

利用反函數(shù)的性質(zhì)解題

互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反

函數(shù)圖像上任一成對(duì)的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以若點(diǎn)a,b在函數(shù)y=

fx的圖像上，則點(diǎn)b,a必在其反函數(shù)x的圖像上.

［跟蹤訓(xùn)練2］已知函數(shù)f(x)=a*+6(a>0且aWl)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7)，其反函

數(shù)尸Yx)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,0),求f(x)的表達(dá)式.

解...y=fi(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,0),

：.y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,4),

.?.1+6=4,.?"=3,又???f(x)=H+6的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7),

Aa+b=7,，a=4..?.f(x)=4'+3.

題型三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像間的關(guān)系

例3已知lga+lg6=0,函數(shù)/'(x)=a*與函數(shù)g(x)=-log〃x的圖像可能

是()

［解析］Viga+lgb-O,/.ab=1,則力=一，從而g(x)=—log〃x=log,x,

a

故g(x)與/"(x)=a'互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線(xiàn)尸x對(duì)稱(chēng).結(jié)合選項(xiàng)可知選B.

［答案］B

金版點(diǎn)睛

利用反函數(shù)的性質(zhì)識(shí)圖

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，二者的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).在有關(guān)指

數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像識(shí)別問(wèn)題中利用這一性質(zhì)，結(jié)合平移翻轉(zhuǎn)等可以很方便

地解決問(wèn)題.

［跟蹤訓(xùn)練3］尸log?x的反函數(shù)是尸尸(x),則函數(shù)尸尸(l—x)的圖像

是下圖中的()

答案C

解析?.,y=log2X的反函數(shù)為了=f'(才)=2*,則(1—x)=2一,=2?2一

故排除A,B.又此函數(shù)圖像過(guò)(0,2),故正確答案為C.

題型四指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4⑴已知f(x)=loga(a—H)(a〉l).

①求函數(shù)/Xx)的定義域、值域；

②判斷f(x)的單調(diào)性，并證明；

(2)設(shè)方程2'+x—3=0的根為m,方程log2x+x—3=0的根為n,求m+n

的值.

［解］(D①要使函數(shù)f(要=log.(a-H)(a〉D有意義,需滿(mǎn)足a—a'>0,即

a\a,又.?.水1,故定義域是(一8,1),又a—a'e(0,a),所以值域是(一

8,1).

②設(shè)為<也<1,則a*i<a*2〈a,Ay=f［x^)—f{x^)=1og,.,(a——loga(a—a'O

a-a*2

=iog,Kr<°'所以函數(shù)f(x)為減函數(shù)?

(2)將方程整理得2'=-*+3,log2%=-x+3.如圖可知，/是指數(shù)函數(shù)y=

2,的圖像與直線(xiàn)尸一矛+3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，〃是對(duì)數(shù)函數(shù)尸logzx的圖像與直

線(xiàn)尸一矛+3交點(diǎn)6的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y=2'與y=log/互為反函數(shù)，所以它

們的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，由題意可得出46兩點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)尸x對(duì)稱(chēng)，于

是可設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)為力(加，ri),B(n,ni).而48都在直線(xiàn)y=-x+3上，

.,.〃=一7+3(4點(diǎn)坐標(biāo)代入)，或/=一〃+3(6點(diǎn)坐標(biāo)代入)，故加+〃=3.

金版點(diǎn)睛

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題的解決方法

1指數(shù)函數(shù)y=a"a>0且與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/a>0且aWl

互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖像和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.

2利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可較為簡(jiǎn)便地解決函數(shù)零點(diǎn)方程的

根問(wèn)題.

[跟蹤訓(xùn)練4]⑴已知0<a<l,則函數(shù)-，'一|1。83的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知fU)=log,1(4,—1).

①求/'(x)的定義域；

②討論f(x)的單調(diào)性；

一1

：-2

③求/V)在區(qū)間上的值域.

2J

一

答案(DB(2)見(jiàn)解析

解析⑴函數(shù)y=a'—|logR(0〈a〈l)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程a，=

Ilog,x|(0<a<l)的根的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)f(x)=ax(0<a<l)與g(x)=

Ilog^l(0〈水1)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

畫(huà)出函數(shù)/'(x)=a'(0〈a〈l)與g(x)=|log“x|(0<a<l)的圖像，如圖所示，觀

察可得函數(shù)f(x)=a'(0(水1)與g(x)=|log“x|的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,

從而函數(shù)y=a'-|log,x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

(2)①由4'-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定義域?yàn)?0,+8).

②設(shè)0<xt<x2,則—

因此log,.(4xi-l)<log?(4"1),即f(x)3x3,

故/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

③因?yàn)閒(x)在區(qū)間；，2上單調(diào)遞增，

又弱=0,F(2)=log/5,

因此/U)在g,2上的值域?yàn)閇0,log/5].

隨堂水平

1.函數(shù)/V)=log./與g(x)=2酎的圖像()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)

答案D

解析?.,g(x)=2"=4",.,.函數(shù)f(x)=log/■與g(x)=2"互為反函數(shù)，它們

的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

2.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=a*(a〉O且aWl)的反函數(shù)，且f(2)=l,則f(x)

=()

1

A.Iog2*B.亍

C.log]xD.2T

2

答案A

解析尸a，的反函數(shù)/'(x)=log“x,則l=log〃2,，a=2.故/'(x)=log2X.

3.(多選)已知函數(shù)y=e'的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，

則()

A.f(力=lnx(x>0)

B.f(2x)=—e/lxeR)

C.f(x)=-e，(xWR)

D.F(2x)=lnx+ln2(x>0)

答案AD

解析由題意可得，尸以玲是y=e*的反函數(shù)，.'"(x)=lnx(x〉0),.'"(Zx)

=ln(2x)=ln2+lnx(x>0).故選AD.

4.若函數(shù)y=log2x+2的反函數(shù)的定義域?yàn)?3,+8),則此函數(shù)的定義域

為?

答案(2,+8)

解析函數(shù)y=logzx+2的反函數(shù)的定義域?yàn)?3,+-),即這個(gè)函數(shù)的值域

為(3,+8),.?Jog2x+2>3,即logz+l,，x>2.則此函數(shù)的定義域?yàn)?2,+-).

5.若點(diǎn)4(1,2)既在函數(shù)f(x)=aV+6(x20)的圖像上，又在f(x)的反函數(shù)

尸Yx)的圖像上，求a,6的值.

解;尸⑴=2,...f(2)=l.又/'(1)=2,

,a+8=2,

解得j7

.4a+8=l,

b=0

課后課時(shí)精練

A級(jí)€》“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知函數(shù)尸/■(%)有反函數(shù)，則方程/■(*)=()的根的情況是()

A.有且僅有一個(gè)實(shí)根

B.至少有一個(gè)實(shí)根

C.至多有一個(gè)實(shí)根

D.0個(gè)，1個(gè)或1個(gè)以上實(shí)根

答案C

解析若f(x)=O有根加，則FE)=O,又因?yàn)閒(x)有反函數(shù)，所以0在y

=尸1(又)關(guān)系下有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故勿必唯一，所以y=f(x)的圖像與x軸至

多有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)=O至多有一個(gè)實(shí)根.

2.將y=2'的圖像,再作關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的圖像，可得函數(shù)y

=logz(x+l)的圖像.橫線(xiàn)處應(yīng)填寫(xiě)()

A.先向左平移1個(gè)單位B.先向右平移1個(gè)單位

C.先向上平移1個(gè)單位D.先向下平移1個(gè)單位

答案D

解析與函數(shù)y=logz(x+D的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是函數(shù)y=2*

-1的圖像.為了得到它，只需將尸2”的圖像向下平移1個(gè)單位.故選D.

3.若指數(shù)函數(shù)尸"當(dāng)x<0時(shí)，有則在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)尸加"

與函數(shù)y=log/的圖像是()

答案A

解析?「xVO時(shí)，y=a^.(0,1),.?.a>L「.y=log“x單調(diào)遞增，y=ax

單調(diào)遞減.結(jié)合選項(xiàng)知，選A.

4.函數(shù)f(x)與g(x)=|J|'互為反函數(shù)，則函數(shù)/'(4—*)的單調(diào)遞增區(qū)間是

()

A.(—8,o]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

答案D

解析,函數(shù)f(x)與g(x)互為反函數(shù)，/.f{x)=logj_X=一

log2*(x>0),則函數(shù)A4-7)=-log2(4-7).由4-/>0,得一2cA<2..*.函數(shù)f(4

一力的單調(diào)遞增區(qū)間是02).故選D.

5.(多選)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/'(x)=e'+x—2的零點(diǎn)為a,函數(shù)

g(x)=lnx+x—2的零點(diǎn)為，，則下列不等式中成立的是()

A.f(a)<f(l)</(/>)B.f(aXA^XAl)

C.g(a)〈g(A)〈g⑴D.g(a)〈g(l)〈g(A)

答案AD

解析分別作出函數(shù)y=e*,y=lnx,y=2—x的圖像，如圖所示，不難發(fā)

現(xiàn)a<l<b,而函數(shù)f(x),g(x)均為增函數(shù)，所以AaXAlXA6),

g(a)〈g(l)<g(8).故選AD.

二、填空題

x+1,KO,

6.函數(shù)y=<的反函數(shù)是一

e”,心0

x-l,XI,

答案/=<

Inx,

解析當(dāng)K0時(shí)，y=x+l的反函數(shù)是y=x—1,矛<1；

當(dāng)x20時(shí)，y=e”的反函數(shù)是y=lnx,x2L

x—1,x<.\,

故原函數(shù)的反函數(shù)為y=,、

.Inx,

7.函數(shù)f(x)=logaX(a>0且a#l)滿(mǎn)足f(9)=2,則/"'(—log92)=.

答案當(dāng)

1

解析Vlog?9=2,...a=3,而r'(jd=a,.Yx)=3",Ar(-log92)

l°g；'2、歷

=3-%=3乙=華

8.已知函數(shù)f(x)是定義在(一8,十8)上的減函數(shù)，其圖像經(jīng)過(guò)力(-4,1),

8(0,—1)兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)是f'(X),則方'(1)的值是；不等

式"(x—2)|〈1的解集是.

答案一4(-2,2)

解析由題意，可知的圖像過(guò)點(diǎn)(1,—4)和點(diǎn)(一1,0),...尸|(1)=

-4；V|f(^-2)|<1,/.-1</(^-2)<1,即f(0)<f(x—2)〈F(—4),又函數(shù)f(x)

為(-8,+8)上的減函數(shù)，.\-4<%-2<0,即一2〈矛<2,不等式|f(x—2)

的解集為3—2〈水2},即(一2,2).

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=log<2—x)(a〉l).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；

(2)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)尸i(x)；

(3)判斷尸'(X)的單調(diào)性.

解(1)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿(mǎn)足2—x>0,即水2,

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-8,2),值域?yàn)镽.

⑵由y=log,,(2—%),得2—x=a1

即x=2—耳.,.尸(x)=2—a.

⑶/Xx)在R上是減函數(shù).

證明如下：任取矛|,%eR且Xi<x2.

''尸(照)一尸(為)=2—a、2—2+ai=a'[一a*2,

xx

,/a>1,Xt<x2,I.a+VaZ即a'—a2<0,

...尸(就〈尸3),

：.y=r'(x)在R上是減函數(shù).

10.