2024年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件小專題2與角平分線有關(guān)的輔助線作法

小專題2與角平分線有關(guān)的輔助線作法

過角平分線上的點向角兩邊作垂線方法1

1．如圖，直線AB∥CD，且這兩條直線距離為8，∠AEF與∠EFC兩角的平分線交于點P，則點P到EF的距離為

(

)A．3 B．3.5C．4 D．4.5C過P點分別作AE，EF，CD的垂線2．如圖，在∠EAF的平分線上取點B作BC⊥AF于點C，在直線AC上有一動點P，在直線AE上取點Q，使得BQ＝BP.(1)如圖1，當(dāng)點P在線段AC上時，∠BQA＋∠BPA＝__________°；圖1中，作BM⊥AE于點M.證Rt△BMQ≌Rt△BCP(HL)．180(2)如圖2，當(dāng)點P在CA延長線上時，探究AQ，AP，AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；

(3)在滿足(1)的結(jié)論條件下，當(dāng)點P運動到在射線AC上時，直接寫出AQ，AP，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________________________________．當(dāng)點P在線段AC上時，AQ－AP＝2PC；當(dāng)點P在線段AC的延長線上時，AP－AQ＝2PC.AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC若P是∠MON的平分線上的一點，A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB＝OA，連接PB，則△OPB≌△OPA.利用圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造軸對稱圖形(全等三角形)，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行等量代換是一種常用的技巧．在角兩邊截取，構(gòu)造軸對稱圖形方法23．如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分線，若AC＝5，BD＋BC＝18，求AB的長．解：在BC上截取CE＝AC，連接DE.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠ECD.又∵CD＝CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)．∴AD＝ED，∠A＝∠CED.∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B.∴∠EDB＝∠B.∴AD＝ED＝EB.∴BC＝CE＋EB＝AC＋AD.∵AC＝5，BD＋BC＝18，∴AB＝AD＋BD＝BD＋BC－AC＝18－5＝13.

若P是∠MON的平分線上的一點，AP⊥OP于點P，延長AP交ON于點B，則△AOB為等腰三角形．構(gòu)造此模型巧妙地把角平分線和“三線合一”聯(lián)系起來了，可以利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．“角平分線”＋“垂線”，利用等腰三角形“三線合一”方法34．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于點P，連接PC，若△ABC的面積為16cm2，則△PBC的面積為

(

)A．4cm2

B．8cm2C．12cm2

D．不能確定B延長AP交BC于點D，構(gòu)造三角形全等AP=DP三角形ABP與三角形PBD面積相等,三角形APC與三角形PDC面積相等5．如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，過點B的直線BE交直線AC于點D，CE⊥BE于點E，當(dāng)BE平分∠ABC時，求證：BD＝2CE.延長BA，CE交于點F，構(gòu)造三角形全等證明：延長CE，BA交于點F.∵CE⊥BE于點E，BE平分∠ABC，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，∠CBE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△CBE≌△FBE(ASA)．∴CE＝FE.∴CF＝2CE.∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF(ASA)．∴BD＝CF.∴BD＝2CE.1．若點P是∠MON平分線OP上一點，且PQ∥ON，可以構(gòu)造等腰△OPQ，利用等腰三角形的性質(zhì)解題；2．有角平分線無平行就構(gòu)造平行，同樣可以得到等腰△OPQ.可簡記為“角平分線＋平行線，等腰必呈現(xiàn)”．“角平分線”＋“平行線”，構(gòu)造等腰三角形方法4

6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°.∵AB＝AC，D是BC邊上的中點，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°.(2)求證：FB＝FE.證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.7.(1)如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F(xiàn).直接寫出線段EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系：_______________．EF＝EB＋FC∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO.∴EB＝EO，F(xiàn)C＝FO.∵EF＝EO＋FO，∴EF＝EB＋FC.(2)如圖2，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點O，過點O作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F.則EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？說明你的理由．解：