兩個計數(shù)原理課件 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一節(jié)兩個計數(shù)原理課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(2)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m＋nm×n【常用結(jié)論】1．分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．夯

實

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(

)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)×√√√2．(教材改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(

)A．12

B．24

C．64

D．81答案：B解析：從4本書中選3本有4種選法，把選出的3本書送給3名同學(xué)，有6種送法，所以不同的送法有：4×6＝24(種)．故選B.3.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有4條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．則從甲地到丁地共有________條不同的路．答案：16解析：如果由甲地經(jīng)乙地到丁地，有2×4＝8種不同的路線；如果由甲地經(jīng)丙地到丁地，有4×2＝8種不同的路線；因此，從甲地到丁地共有8＋8＝16種不同的路線．4．(易錯)6名同學(xué)爭奪3項冠軍，不同的結(jié)果有________種．(用具體數(shù)字作答)答案：216解析：每一項冠軍的情況都有6種，故6名學(xué)生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的種數(shù)是63＝216(種)．課堂互動探究案1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2．會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題．問題思考·夯實技能

【問題】在解題過程中，如何判斷使用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示：如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用例1[2024·安徽馬鞍山模擬]據(jù)史書的記載，最晚在春秋末年，人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位制記數(shù)法，普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計算工具．算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推，遇零則置空．如下圖所示：如：10記為

，26記為

，71記為

．現(xiàn)有4根算籌，可表示出兩位數(shù)的個數(shù)為(

)A．8

B．9

C．10

D．12答案：C解析：由題意知，共有4根算籌．當(dāng)十位1根，個位3根，共有2個兩位數(shù)；當(dāng)十位2根，個位2根，共有4個兩位數(shù)；當(dāng)十位3根，個位1根，共有2個兩位數(shù)；當(dāng)十位4根，個位0根，共有2個兩位數(shù)，所以一共有10個兩位數(shù)．故選C.題后師說(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．

答案：A

題型二

分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用例2有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項恰好報一人，且每人至多參加一項，則共有多少種不同的報名方法？解析：每項恰好報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同報名方法共有6×5×4＝120(種)．【變式練習(xí)1】若將本例條件“每項恰好報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？

解析：每人都可以從這三個項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有36＝729(種)．【變式練習(xí)2】若將本例條件“每項恰好報一人，且每人至多參加一項”改為“每項恰好報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解析：每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6個人中選出1人參加，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有63＝216(種)．題后師說(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．鞏固訓(xùn)練2“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為(

)A．72B．108C．144D．196答案：C解析：按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法．由分步乘法計數(shù)原理得，填法總數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.題型三

兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度一與數(shù)字有關(guān)的問題例3[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個．答案：78解析：能被5整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是5或0，當(dāng)末尾數(shù)字是5時，百位數(shù)字除了0有6種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理一共有6×6＝36(種)方法；當(dāng)末尾數(shù)字是0時，百位數(shù)字有7種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理一共有7×6＝42(種)方法；則一共有36＋42＝78(種)．角度二與幾何有關(guān)的問題例4[2024·浙江溫州模擬]一個圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形個數(shù)為__________．答案：8解析：如圖1，由圓上相鄰兩個點和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個；如圖2，由圓上相間隔的三點可構(gòu)成等邊三角形，共有2個；所以7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形個數(shù)為6＋2＝8(個)．角度三涂色問題例5現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色(分割成六個不同區(qū)域)，要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分(有公共邊的兩個區(qū)域)的顏色不同，則不同的涂色方法有(

)A．48種

B．64種

C．96種

D．144種答案：C解析：根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域為A，B，C，D，E，F(xiàn)，如圖所示，先對A區(qū)域涂色，有3種方法，再對B，C，D，E，F(xiàn)這5個區(qū)域進(jìn)行涂色，∵B，C，D，E，F(xiàn)這5個區(qū)域都與A相鄰，∴每個區(qū)域都有2種涂色方法，∴共有3×2×2×2×2×2＝96(種)涂色方法．故選C.題后師說1.在綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題時應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步．在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理．(2)對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．鞏固訓(xùn)練3(1)用0，1，2，3，4五個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為(

)A．18B．24C．30D．48答案：A解析：(1)由題意可知，末位數(shù)字為1或3，首位數(shù)字有3種選擇，則中間的數(shù)位有3種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為2×32＝18.故選A.(2)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為(

)A．192B．420C．210D．72答案：B解析：按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，由分步乘法計數(shù)原理有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法；第二類，A，C不同色，由分步乘法計數(shù)原理有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有180＋240＝420種不同的染色方法．故選B.1．[2024·黑龍江佳木斯模擬]甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法有(

)A．6種

B．8種C．12種

D．16種答案：C解析：甲從4門課程中選擇1門，有4種選法；乙再從甲未選的課程中選擇1門，有3種選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：不同的選法有4×3＝12(種)．故選C.2．[2024·江蘇揚州模擬]用1，2，3，4四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有(

)A．6個

B．18個C．24個

D．12個答案：D解析：先排個位數(shù)，有2種選擇，再排十位和百位，有3×2＝6(種)選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有2×6＝12(個)不重復(fù)的三位偶數(shù)，故選D.3．[2024·山東臨沂模擬]集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－4}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是(

)A．2B．4C．5D．6答案：D解析：第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若M集合提供橫坐標(biāo)，N集合提供縱坐標(biāo)，則有1×2＝2，若M集合提供縱坐標(biāo)，N集合提供橫坐標(biāo)，則有2