高考數(shù)學(xué)講義隨機(jī)變量及其分布列參考教案

隨機(jī)變量及其分布列

隹高考要求

要求層次重難點(diǎn)

取有限值的離散型⑴理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及

隨機(jī)變量及隨機(jī)變量及其分布C其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫

其分布列隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.

⑵理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能

超幾何分布A進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

要求層次重難點(diǎn)

條件概率A

二項(xiàng)分布-了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概

事件的獨(dú)立性A

及其應(yīng)用念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與

B項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題.

二項(xiàng)分布

要求層次重難點(diǎn)

離散型隨-

理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均

機(jī)變量的

取有限值的離散型隨值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨

均值與方B

機(jī)變量的均值、方差機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)

差

際問題.

要求層次重難點(diǎn)

正態(tài)分布利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布

正態(tài)分布A

曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

隹知識(shí)內(nèi)容

1.離散型隨機(jī)變量及其分布列

⑴離散型隨機(jī)變量

如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)

果的不同而坐化的，我們把這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母

X,Y,表示.

如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量.

⑵離散型隨機(jī)變量的分布列

將離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值x,與該取值對(duì)應(yīng)的概率p,(i=l,2,,〃)列表表示：

X冗2Xi

pPlp?PiPn

我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.

2.幾類典型的隨機(jī)分布

⑴兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的分布列為

X10

ppq

其中q=\-p,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布.

二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率

為80%,隨機(jī)變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則X的分布列滿足二點(diǎn)分布.

X10

p0.80.2

兩點(diǎn)分布又稱0-1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分

布又稱為伯努利分布.

⑵超幾何分布

一般地,設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件,從所有物品中任取n件(nWN),

這?件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為

p(X=,")=(ow〃?W/,/為〃和M中較小的一個(gè)).

CN

我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,

M,〃的超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道N,"和”，就可以根據(jù)公式求出X

取不同值時(shí)的概率P(X=m),從而列出X的分布列.

⑶二項(xiàng)分布

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果A及入，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同

的條件下，重復(fù)地做〃次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)椤ù为?dú)

立重復(fù)試驗(yàn).〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生人次的概率為

P.*)=C.pkQ-p)i(k=0,l,2,,n).

2.二項(xiàng)分布

若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為4=1-0,那么在〃次獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生*次的概率是P(X=Z)=C其中々=0,1,2,于

是得到X的分布列

X01kn

C：pkq“Y

pCp°q"C：pnq°

由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式

(q+P)"=CpW+C：p“i++c：pW-?+C：：PZ。

各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃，p的二項(xiàng)分布，

記作X~B(n,p).

二項(xiàng)分布的均值與方差：

若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為"和p的二項(xiàng)分布，則

E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).

⑷正態(tài)分布

1.概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)，

直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變

量X，則這條曲線稱為X的概率密度曲線.

曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1,而隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)

數(shù)。，匕之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.

2.正態(tài)分布

⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素

在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的年

隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.x=n\

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量.△

正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為/\

yj2Tl.cy/N

xeR,其中〃，cr是參數(shù)，且cr>0,-oo<f,i<+oo./

式中的參數(shù)必和b分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望------------同-----T

為〃、標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)分布通常記作N（〃，〃）.

正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.

⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

⑶重要結(jié)論：

①正態(tài)變量在區(qū)間（〃-cr,〃+cr）,（〃-2cr,〃+2cr）,（〃-3cr,〃+3cr）內(nèi)，取值的概率分

別是68.3%,95.4%,99.7%.

②正態(tài)變量在（-8,+8）內(nèi)的取值的概率為1,在區(qū)間（〃-3b,〃+3cr）之外的取值的概率

是0.3%,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=〃三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3b原

則.

⑷若g~N（",s）,f（x）為其概率密度函數(shù)，則稱F（x）=pqwx）=fy（ry/f為概率分布

函數(shù)，特別的,尸),稱/x)=L意"，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)?

a

尸修<幻=。（土必）.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.

分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.

3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取的值是百，聲,…，演，這些

值對(duì)應(yīng)的概率是Pi，P2，…，p??則E（x）=x/i+x2P2++x“p”,叫做這個(gè)離散型隨

機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）.

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.

2.離散型隨機(jī)變量的方差

一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x，與，???，相，這些值對(duì)應(yīng)的

概率是Pi,p2>P?>則o（x）=（西-E（X）7PI+電-E僅）力2++觴一￡￡）舫“叫

做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差.

離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散

程度）.

o（x）的算術(shù)平方根辰y(tǒng)叫做離散型隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨

機(jī)變量波動(dòng)大小的量.

3.X為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則E(aX+%)=〃E(X)+8,D(aX+力="2￡>(X)；

4.典型分布的期望與方差：

⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為°,在〃次二

點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為即.

⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃和p的二項(xiàng)分布，則E(X)=叩，

0(x)=npq(q=\-p).

⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,〃的超幾何分布，

則￡(%)=—,=——

N儲(chǔ)(N-1)

4.事件的獨(dú)立性

如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件3發(fā)生的概率沒有影響，即尸(0A)=P(B),

這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件A,8相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

如果事件A,&A.相互獨(dú)立，那么這〃個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)

生的概率的積，即p(4&4)=尸(A)xP(4)xxP(4),并且上式中任意多個(gè)事

件A換成其對(duì)立事件后等式仍成立.

5.條件概率

對(duì)于任何兩個(gè)事件A和3,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概

率，用符號(hào)“P(8|A)”來表示.把由事件A與8的交(或積)，記做O=AB(或。=M).

■tte典例分析

版塊一：離散型隨機(jī)變量及其分布列

【例1】以下隨機(jī)變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是：

(1)某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)X;

⑵某城市一天之內(nèi)的溫度Y.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的定義

【難度】1星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】⑴X是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,;

⑵丫不是隨機(jī)變量，它可以取某一范圍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，無法一一列舉.

【例2】拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為g,那么g=4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是()

A.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)

B.兩顆都是2點(diǎn)

C.兩顆都是4點(diǎn)

D.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的定義

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】對(duì)A,B中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4,

而D是彳=4代表的所有試驗(yàn)結(jié)果.掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試險(xiǎn)

的結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵.

【答案】D:

【例3】如果g是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則假命題是()

A.J取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)；

B.J取所有可能值的概率之和為1;

C.J取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和；

D.4在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)

【難度】1星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】D:

【例4】有六節(jié)電池，其中有2只沒電，4只有電，每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試，不放回,

直至分清楚有電沒電為止，所要測(cè)試的次數(shù)J為隨機(jī)變量，求J的分布列.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】容易知道§=2,3,4,5.

A21

：4=2表示前2只測(cè)試均為次品，尸(§=2)=+=—

A：15

4=3表示前兩次中一好一壞，第三次為壞,尸片一3)—一^一百

?.?《=4表示前四只均為好，或前三只中一壞二好，第四個(gè)為壞,

A：?_1?14

P片=4)=

父415515

4=5表示前四只三好一壞，第五只為壞或前四只三好一壞第五只為好

.C；CM_8

??-5)-丁+丁-百

分布列為

g2345

P1248

15Isis

【例5】設(shè)隨機(jī)變量J所有可能取值為1,2,3,4,且已知概率P(J=&)與Z成正比，求4

的分布.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】=k)=ak(a為常數(shù))，由分布列的性質(zhì)有a+2a+3a+4a=1,解得a=\.

b

因此g的分布為尸?=幻=歷.

【例6】一批產(chǎn)品分為一、二,三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品為二級(jí)品的

從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)，其級(jí)別為隨機(jī)變量

年代|卜()

123

A.-B.-C.-D.-

7777

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】設(shè)二級(jí)品有A個(gè)，一級(jí)品有2A個(gè)，三級(jí)品有4個(gè),總數(shù)為爻個(gè).

22

4123

421

P-77一

二分布列為1____L2_L2_L_7_

154

P(嚴(yán)W?=PC=1)=,

【答案】D：

【例7】隨機(jī)變量X的分布列尸(X=舟=P(k,1,2,3,p為常數(shù)，則

k(k+1)

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】無

【解析】X的分布列為

【答案】D：

【例8】在第1,3,6,8,16路公共汽車都要依靠的一個(gè)站（假設(shè)這個(gè)站只能?？恳惠v汽

車），有一位乘客等候第6路或第16路汽車.假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可

能性都是相等，則首先到站正好是這位乘客所需求的汽車的概率等于.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算

【難度】1星

【題型】填空

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】-；

5

【例9】（2010廣東高考）

已知隨機(jī)量X服從正態(tài)分布N（3,1）,且P（2WXW4）=0.6826,則P（X>4）=

（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算

【難度】2星

【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】2010年，廣東高考

X—3

【解析】當(dāng)XN(3,l)時(shí)，有1N(0，l)即p(-iwx-3W1)=0.6826

P(0vX-3W1)=g.0.6826-0.3413

p（X>4）=P（X-3>l）=0.5-0.3413=0.1587

于是

【答案】B:

【例10】袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為L現(xiàn)有甲、

7

乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，

直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能

的，用X表示取球終止所需要的取球次數(shù).

⑴求袋中所有的白球的個(gè)數(shù)；

⑵求隨機(jī)變量X的概率分布；

⑶求甲取到白球的概率.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

n(n-1)

【答案】⑴設(shè)袋中原有"個(gè)白球，由題意知』=￡=一^=弛二12,

7C,7x6

可得〃=3或〃=-2(舍去)即袋中原有3個(gè)白球.

(2)由題意，X的可能取值為1,2,3,4,5,

3P（X=2）=非號(hào),尸（X=3）=黑!=*

p(X=l)=-9

尸(X=4)=塵巨x2x33n/v—4x3x2xlx31

--------=—,r（X=5）=------------=—.

7x6x5x4357x6x5x4x335

所以X的分布女為：

X12345

32631

P

77353535

(3)因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次，第三次和?次上漢球,記“甲取到白球”

為事件A,

則P（A）=P（X=1）+P（X=3）+P（X=5）=—.

【例11】某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)

紅球與綠球的概率都是工，從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次

2

出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為1,2；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠

33

球的概率分別為記第〃(〃eN*)次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為4.

⑴求鳥的值；

⑵當(dāng)〃wN,〃22時(shí)，求用月一表示Pn的表達(dá)式；

⑶求P"關(guān)于n的表達(dá)式.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算

【難度】5星

【題型】解答

【關(guān)鍵詞】無

【解析】略

【答案】⑴鳥是“第二次按下按鈕后出現(xiàn)紅球

若第一次，第二次均出現(xiàn)紅球，則概率為：---=-

236

133

第一次出現(xiàn)綠球，第二次出現(xiàn)紅球的概率為：.

2510

137

故所求概率為：P,=-+—=一.

-61015

⑵第〃-1次按下按鈕出現(xiàn)紅球的概率為：21（〃22）,則出現(xiàn)綠球的概率為：1一加

若第〃一1次，第w次均出現(xiàn)紅球，其概率為：9T.

若第〃一1次，第”次依次出現(xiàn)綠球，紅球，其^率為：（1一匕_1）］.

1343

于是口=尹+（1-^.）-=--^,+-;

1343

⑶由⑵E,=§EI+（1_CI）7=-EEI+W，

4

引入代定參數(shù)x,使得Pn+x=-—（^_j+x）.

4IQ1Q39

上式即為乙=一1月1一］尤，與月的表達(dá)式對(duì)比=因此,x=---

19

Q4Q4941

于是勺_歷=―石區(qū)--歷）==（一話）"歷）=（一百）"'

38

41Q

=(——產(chǎn)——+—(〃eN,心2).

153819

版塊二：幾類典型的隨機(jī)分布

1.超幾何分布

【例12】一盒子內(nèi)裝有10個(gè)乒乓球，其中3個(gè)舊的，7個(gè)新的，從中任意取4個(gè)，則取

到新球的個(gè)數(shù)的期望值是.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】超幾何分布，忙=2.8.

10

【答案】2.8;

【例13】以隨機(jī)方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個(gè)委員會(huì)，求該委員會(huì)中女

性委員人數(shù)的概率分布、期望值與方差.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】設(shè)女性委員的人數(shù)為X,則X服從參數(shù)為(8,3,5)的超幾何分布，其概率分布

為尸(X=o)=-L尸(X=l)="，尸(X=2)=的，尸(X=3)=W,

56565656

期望E(X)="=—,方差￡>(X)=1=經(jīng)“0.5022.

8882X(8-1)448

【答案】概率分布：P(X=O)=—,P(X=1)=—,P(X=2)=—,P(X=3)=—,

56565656

期望：—,方差：0.5022.

8

【例14】在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次任取一個(gè)，并且

取出不再放回，若以J和〃分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù).求J，77的期望值

及方差.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】抽取樣本連續(xù)抽取3次，也可認(rèn)為一次抽取3個(gè)，所以自服從參數(shù)為12,2,3的

超幾何分布.7；服從參數(shù)為12,10,3的超幾何分布.且J+〃=3.

于是―舒斗助=3_喏4”=3(12-3)x2(12-2)15

122(12-1)~44

015

Dz7=(-1)2^=—.

44

【答案】E^=-,Erj=~,D^=—

2244

【例15】某人可從一個(gè)內(nèi)有2張100元，3張50元的袋子里任取2張，求他獲得錢數(shù)的

期望值.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】方法一：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,2,2的超幾何分布.

卬…一的.3w-CC_6

i(A_U)-z———,i(X_1)_z———,i(A—2)-z———.

C；10C；10C；10

X=0,1,2時(shí)他所獲得的錢數(shù)分別為100,150,200.

因此他獲得錢數(shù)的期望值為：

100P(X=0)+150P(X=1)+200P(X=2)=140元.

方法二：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,2,2的超幾何分布.

由公式知EX=2x2=9.

55

44

因此他獲得錢數(shù)的期望值為：100><弓+50乂(2-1)=140元.

【答案】140.

【例16】某人有一張100元與4張10元，他從中隨機(jī)地取出2張給孫兒、孫女，每人一

張，求孫兒獲得錢數(shù)的期望值.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】方法一：設(shè)他取出100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,1,2的超幾何分布.

C'C14

p(X=0)=^L=—,p(X=l)=^-±=—

C；10C；10

X=0,1時(shí)他所取出的錢數(shù)分別為20,110.

因此他取出錢數(shù)的期望值為：20P(X=0)+110P(X=1)=12+44=56.

孫兒獲得錢數(shù)的期望值為」56=28.

2

方法二：設(shè)他取得100元的張數(shù)為X,則X服從參數(shù)為5,1,2的超幾何分布.

由公式知EX—I、2=—.

55

22

因此他取出錢數(shù)的期望值為：100xy+10x(2-7=56元.

【答案】56.

【例17】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道題中，甲能答對(duì)其中

的6題，乙能答對(duì)其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行

測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格.

⑴求甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差;

⑵求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

【考點(diǎn)】超幾何分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】⑴依題意，X可能取的值為0,1,2,3,k=0,1,2,3.

甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列如下:

X0123

1311

P

301026

13119

甲答對(duì)試題數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x—+lx—+2x—+3x-=-.

3010265

D(X)=[o-1

(注：X服從參數(shù)為10,6,3的超幾何分布，故由公式得E(X)=4\xU6=]Q)

⑵設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,

11256+56_14

則P(A)=-+-=-,P(B)=六三~~工-

263jo120Ts

因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，

法一：

二甲、乙兩人考試均不合格的概率為

G歷=隔)嗝+即一國*?

——144

甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1-P(A?B)=1——=—.

4545

法二：

甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為P=P(A-5)+P(A?歷+P(A-B)

——2111421444

=尸(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x—+-x—+-x—=—.

31531531545

【答案】⑴甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列如下:______________

X0123

131_

P

301026

91444

￡(X)=-.D(X)=—;⑵一.

52545

2.二項(xiàng)分布

【例18】已知隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布，4~8(4,4,則尸(4=2)等于-

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】1星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】C^(1)2(I-1)2=A

【答案】—:

27

【例19】某人參加一次考試，4道題中解對(duì)3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4,

則他能及格的概率為(保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù))

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】他能及格則要解對(duì)4道題中解對(duì)3道或4道：解對(duì)3道的概率為

P(A)=C：?0.43.0.6,解對(duì)4道的概率為P(B)=C：0.44,且A與8互斥，

他能及格的概率為P(A+B)=C^-0.43-0.6+C*.0.44?0.18.

【答案】0.18;

【例20】從一批由9件正品，3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件,

求恰好抽到兩次次品的概率(結(jié)果保留2位有效數(shù)字).

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】2星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】有放回地抽取5件，視為5重Bernoulli實(shí)驗(yàn).

，1

設(shè)A表示“一次實(shí)驗(yàn)中抽到次品"，P(A)=-記X為抽到的次品數(shù)，則

124

X~B(5,；),于是P(X=2)=C式;)2(l-；)3=0.26.

【例21】某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2

件，求次品數(shù)4的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】J的取值分別為0、1、2

J=0表示抽取兩件均為正品，F(xiàn)(^=0)=C(l-0.05)2=0.9025.

表示抽取一件正品一件次品，PC=1)=C；(1-0.05)?0.05=0.095.

g=2表示抽取兩件均為次品，PC=2)=C；(0.05)2=0.0025.

，g的概率分布列為：

g012

P0.90250.0950.0025

PC>1)=0.095+0.0025=0.0975.

【例22】某萬國家具城進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方案是：顧客每消費(fèi)1000元，便可獲得獎(jiǎng)券

一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為工，若中獎(jiǎng)，則家具城返還顧客現(xiàn)金200元.某

顧客消費(fèi)了3400元，得到3張獎(jiǎng)券.

⑴求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金200元的概率；

⑵求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金200元的概率.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】⑴家具城恰好返還給該顧客現(xiàn)金200元，即該顧客的三張獎(jiǎng)券有且只有一張中

獎(jiǎng).所求概率為p=C；（g＞（§2=^.

⑵設(shè)家具城至少返還給該顧客現(xiàn)金200元為事件A,這位顧客的三張獎(jiǎng)券有且

只有一張中獎(jiǎng)為事件A,這位顧客有且只有兩張中獎(jiǎng)為事件&,這位顧客有且

只有三張中獎(jiǎng)為事件則人=4+42+4，且A，4,A是互斥事件.

P（A）=P（A）+P（4）+P（A）=嘿）42+嗯）24）+c沖3嚏+蒜+擊

61

-125,

_461

也可以用間接法求：P（A）=1-P（A）=1-（-）3=—.

【例23］（05浙江）

袋子A和3中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是

從8中摸出一個(gè)紅球的概率為2.

3

⑴從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率；

②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為求隨機(jī)變量g的分布.

⑵若A,8兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1:2,將4,8中的球裝在一起后，從中摸出一

個(gè)紅球的概率是:，求〃的值.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】4星

【題型】解答

【關(guān)犍字】2005年，浙江高考

【解析】略

【答案】（1）恰好摸5次停止，則第5次摸到的是紅球，前面4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)摸到兩次

紅球，所求概率為：C沖2（|）2義：=郎

隨機(jī)變量J的取值為0,1,2.由〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式

P.（kpgYbT,得

g）9吟嗤,-=1）=令*1一*果,

pc=2）=c；x（+xaJ;幽，-擔(dān)心

53324324381

⑵設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子3中有2加個(gè)球，且A中紅球數(shù)為，3中紅

m+2mp

球數(shù)為2rnp,由--------I,解得p塌.

3m

【例24】假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是1-P,且各發(fā)動(dòng)機(jī)互不影

響.如果至少50%的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以順利地飛行.問對(duì)于多大

的P而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】3星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】分析：4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)中要有2臺(tái)(或3、4臺(tái))正常運(yùn)行，而這2臺(tái)可以是任意的.故

屬〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題.2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的情形同理.建立不等式求解.

解：四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)成功飛行的概率為

C〉p2.(i_p)2+c：.p3.(l-P)‘+C；?尸=6P2(1-P)2+4^(1-P)+P4

二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)成功飛行的概率為C)P-(l-P)+C；p2=2P(1-P)+尸

要使四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)安全，只要

6產(chǎn)(1_p)2+4尸(1—P)+戶1>2P(1-P)+P2

nP(P-l)2(3P-2)>0,解得±<P<1.

3

答：當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)不出故障的概率大于士時(shí)，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)安全.

3

注：計(jì)算飛機(jī)成功飛行的概率時(shí)可從反而考慮：四發(fā)動(dòng)機(jī)為

—C1P(1-P)3,二發(fā)動(dòng)機(jī)為這樣更簡單.

【例25】已知X~8(10,0.8),求E(X)與￡)(X).

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】1星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】由二項(xiàng)分布的期望與方差公式得E(X)=，w=8,n(X)=〃p(l-p)=1.6.

【例26】已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為6,0.4的二項(xiàng)分布，則它的期望或X)=,

方差O(X)=.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】2星

【題型】填空

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】2.4,1.44.

【例27】同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上

的次數(shù)為g,則g的數(shù)學(xué)期望是（）

A.20B.25C.30D.40

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】3星

【題型】選擇

【關(guān)鍵字】無

【解析】拋擲一次，4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的概率是與=3,故

248

3a

g~8（80，N，因此數(shù)學(xué)期望為8Ox—=3O,選C.

88

【答案】C:

【例28】某班級(jí)有〃人，設(shè)一年365天中，恰有班上的機(jī)（〃?W〃）個(gè)人過生日的天數(shù)

為X,求X的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布

【難度】5星

【題型】解答

【關(guān)鍵字】無

【解析】略

【答案】〃個(gè)人在哪天過生日可看成〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)某天過生日的人數(shù)為y,則

y~8（"，?1），因此p（y=附=c;（白1）m（黑364廠=c：364"-'",

3o5Jo?JOJ303

365天每天有多少人過生日，又可看作365次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此

X~8（365,P（Y=機(jī)））.

由二項(xiàng)分布的期望值公式知：

E(X)=365-P(y=〃?)=C：^3r

364"364"

沒有人過生日的天數(shù)期望值為C；

365“T365"T

恰有一人過生日的天數(shù)期望值為c,"T=〃WrT

365"365"

364"364”T

因此至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值為：365-―n---------

365”T365"T

【例29】將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入

口處，小球?qū)⒆杂上?/p>